第七章 §7.7　向量法求空间角(一)

第七章数学

大一轮复习202X/01/01§7.7向量法求空间角(一)能用向量法解决异面直线所成角、直线与平面所成角的问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.课标要求第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型01内容索引02课时精练目录落实主干知识01单击此处添加章节副标题

×××√

√

√

4.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为

.

1.斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中的最小角.2.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|.返回微点提醒探究核心题型02单击此处添加章节副标题

题型一√异面直线所成的角

√

思维升华

√

题型二例2

(2024·沈阳模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面三角形ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面AA1C1C是边长为2的菱形，且∠A1AC＝60°.(1)求点A1到平面ABC的距离；直线与平面所成的角

(2)求直线A1B与平面AB1C所成角的余弦值.

思维升华利用空间向量求线面角的解题步骤

返回课时精练03单击此处添加章节副标题答案123456789101112题号1234567答案AACAACDAB题号81112答案C对一对答案123456789101112(1)依题意，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在三棱台ABC－A1B1C1中，因为A1C1＝B1C1，所以AC＝BC＝4，所以C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，因为A1C1＝B1C1＝CC1＝2，所以A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112(1)如图，连接BC1，FE，FD1，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，由AB与C1D1平行且相等，得四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，又BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，所以BC1∥平面AD1E，又BC1⊂平面BCC1B1，平面AD1E∩平面BCC1B1＝EF，所以BC1∥EF，因为E是BB1的中点，所以F是B1C1的中点.10.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.一、单项选择题1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α的所成的角等于A.40° B.50°C.130° D.以上均错123456789101112知识过关答案因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α的所成的角等于130°－90°＝40°.√123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点，当直线DQ与DA1所成的角为45°时，点Q的轨迹为A.圆

B.直线

C.抛物线

D.椭圆√123456789101112答案

123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案

√√√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

√√123456789101112答案

123456789101112答案

三、填空题7.(2024·福州模拟)若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－1，－2)，b＝(4，0，2)，则异面直线l1与l2所成角的余弦值为

.

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案四、解答题9.(2024·贵阳模拟)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝4，A1C1＝B1C1＝CC1＝2.(1)求异面直线A1B与B1C1所成角的余弦值；123456789101112答案依题意，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在三棱台ABC－A1B1C1中，因为A1C1＝B1C1，所以AC＝BC＝4，所以C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，因为A1C1＝B1C1＝CC1＝2，所以A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，123456789101112答案

123456789101112答案(2)求直线A1B与平面A1B1C所成角的正弦值.123456789101112答案

123456789101112答案10.(2025·咸阳模拟)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，E为BB1的中点，直线B1C1与平面AD1E交于点F.(1)证明：F为B1C1的中点；123456789101112答案如图，连接BC1，FE，FD1，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，由AB与C1D1平行且相等，得四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，又BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，所以BC1∥平面AD1E，又BC1⊂平面BCC1B1，平面AD1E∩平面BCC1B1＝EF，所以BC1∥EF，因为E是BB1的中点，所以F是B1C1的中点.123456789101112答案

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123456789101112答案能力拓展

√123456789101112答案

123456789101112答案

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