《通信系统原理》课件第3章

3.1引言

3.2随机事件与概率

3.3随机变量及其数字特征

3.4随机过程的概念及其统计特性

3.5平稳随机过程和高斯随机过程

3.6随机过程通过线性系统

3.7噪声分析

3.8匹配滤波器

3.9衰落信道

思考题

习题第3章随机信号分析3.1引言实际通信系统中由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而携带信息的信号也都是随机的，如话音信号、数字信号等。这种信号称为随机信号。携带了信息的信号在传输过程中将受到噪声的污染。噪声也是一种随机的波形。由于随机信号和噪声在波形上的随机性，因而无法用一个或几个时间函数准确地加以描述。但这并不意味着随机波形就毫无规律，实际上它们都遵循一定的统计规律，因此可以用概率统计的方法来研究。

虽然随机信号和噪声都具有不可预测的波形特点，但两者的意义完全不同。随机信号的不可预测性是它携带信息的能力，而噪声的不可预测性则是有害的，它将使有用信号受到污染。研究发现，随机信号和噪声的统计特性有许多差异，因此可以利用这种差异在某种程度上把信号从噪声中提取出来，并且尽量恢复信号所携带的信息。本章将在复习概率论基本概念的基础上，对随机信号和噪声的数学模型即随机过程进行理论分析，然后用随机过程理论来研究实际应用问题。3.2随机事件与概率3.2.1事件和概率在概率论中，把某次试验中可能发生的和可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。例如，二元数字序列的某一位的取值就是一个随机事件。对随机现象进行的这种试验，称为随机试验。假定进行一次试验，可能出现A、B、C这3种结果，把试验重复N次，并记录每一事件发生的次数，分别用nA、nB、nC表示，则每个事件发生的相对频率分别为nA/N、nB/N、nC/N，在N→∞的情形下，这些频率就趋于事件发生的概率，用P(·)表示，即

(3.1)

概率的取值范围为0~1，P(A)=0的事件A称为不可能事件，P(A)=1的事件A称为必然事件。3.2.2复杂事件复杂事件是指两个或两个以上简单事件构成的事件，并且事件之间有一个相互关系问题。其基本关系大致有如下几种：

(1)事件相等：若事件A的发生必然导致事件B的发生，而事件B的发生也必然导致事件A的发生，则称事件A和B相等，记作A=B。

(2)事件和：两事件A与B至少发生其中之一而构成的事件，称为A与B的和，记作A+B。

(3)事件积：事件A与B同时发生而构成的事件，称为A与B的积，记作A·B。

(4)互不相容事件：事件A与B不能同时出现，即事件A·B是一个不可能事件，则称A与B是互不相容的事件。

(5)对立事件：若A+B是必然事件，而A·B却是不可能事件，则称A与B为对立事件。例如：在某一时刻观察二元数字序列的取值，出现“0”与出现“1”是对立事件。事件A的对立事件常记为，也称为逆事件。

(6)事件的完备群：如果试验的结果必然要在某些事件中发生一件，则称这些事件构成了一个完备的事件群。3.2.3条件概率与统计独立在事件A发生的条件下，事件B发生的概率用P(B|A)表示。按定义，有(3.2)上式只适用于P(A)≠0的情形。在一般情形下，P(B|A)≠P(B)，这说明事件A的发生对事件B出现的概率有影响，只有在P(B|A)=P(B)时，才可以认为这种影响不存在，这时称事件A和B是统计独立的。当A和B统计独立时，由式(3.2)可得

P(A·B)=P(A)P(B)

(3.3)这就是两个事件统计独立的条件。3.2.4概率的基本定理

(1)事件之和的概率：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)

(3.4)当A与B互不相容时，有P(A+B)=P(A)+P(B)

(3.5)

(2)事件之积的概率：

P(A·B)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B)(3.6)

(3)全概率公式：如果事件B能且只能与n个互不相容事件A1、A2、…、An之一同时发生，则(3.7)

(4)贝叶斯(Bayes)公式：在全概率公式的命题中，如果知道事件B已发生，那么，各个互不相容事件之一Ai发生的概率为

(3.8)3.3随机变量及其数字特征3.3.1随机变量与概率分布某随机试验有许多种可能的结果，我们可以规定一些数值来对应表示各个可能的结果。例如，在掷一枚硬币出现正面和反面的随机试验中，规定数值“1”表示出现反面，数值“0”表示出现正面，这就引入一个变量X，它随机地取某些数值，而对应于每一个可能取的数值，都有一个概率，这一变量X就称为随机变量。当随机变量X的取值个数是有限的或者可数无限个时，则称它为离散随机变量，否则就称为连续随机变量，即可能的取值充满某一有限或无限区间。

1.概率分布函数和概率密度函数

假设随机变量X可以取xi=x1，x2，x3，x4四个值，并且有x1<x2<x3<x4，相应的概率为P(xi)或P(X=xi)，则有P(X≤x2)=P(x1)+P(x2)。用P(X≤x)定义的x的函数称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数，记作F(x)，即

F(x)=P(X≤x)

(3.9)在这个定义中，X可以是离散的，也可以是连续的，显然有

F(-∞)=P(X≤-∞)=0

F(+∞)=P(X≤+∞)=1以及F(x1)≤F(x2)，x1≤x2即F(x)是单调不减函数。考虑一连续随机变量X，设其分布函数F(x)对于一个非负函数f(x)满足

(3.10)则称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度。因为式(3.10)表示随机变量X在(-∞，x］区间上取值的概率，因此f(x)具有概率密度的含义，进而式(3.10)可以写成

(3.11)因此，概率密度就是分布函数的导数。概率密度有如下的性质：

(1)f(x)≥0； (3.12)

(2) (3.13)

(3) (3.14)

2.多维随机变量和多维概率分布许多随机试验的结果只用一个随机变量来描述是不够的，而必须同时用两个或多个随机变量来描述，将这种由多个随机变量所组成的一个随机变量总体称为多维随机变量。例如二维变量(X1，X2)，n维变量(X1，X2，…，Xn)等。应当注意，多维随机变量不是多个随机变量的简单组合，它不但取决于组成它的每个随机变量的性质，而且还取决于这些随机变量两两之间的统计关系。

设有两个随机变量X和Y，将两个事件(X≤x)和(Y≤y)同时出现的概率定义为二维随机变量(X，Y)的二维分布函数，记作F(x，y),F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)

(3.15)如果F(x，y)可以表示成(3.16)则称f(x，y)为二维概率密度，式(3.16)也意味着下式成立：

(3.17)二维联合概率分布有如下性质：

(1)f(x，y)≥0； (3.18)

(2)(3.19)

(3)F(-∞，y)=F(x，-∞)=0； (3.20)

(4)(3.21)以及

(3.22)式(3.21)、式(3.22)分别称为二维边际分布函数和二维边际概率密度，这说明知道了二维概率分布，就可以求得一维概率分布。

(5)前面讨论的统计独立的条件也可以用概率分布来表述，即当满足

f(x，y)=f(x)·f(y)

(3.23)并且也只有满足此条件时，随机变量X和Y是，也才是统计独立的。由式(3.23)可见，当随机变量X、Y统计独立时，可以由一维概率分布确定二维联合分布。但是在一般情况下，知道一维的概率分布时，并不一定能求出二维的联合分布，这时就需要引进条件概率分布的概念。给定随机变量X后，变量Y的条件概率密度定义为

(3.24)由此可得

f(x，y)=f(x)·f(y|x)=f(y)·f(x|y)

(3.25)即：二维联合概率密度等于一个随机变量的概率密度与另一个随机变量的条件概率密度之积。f(x)≠0

由式(3.23)和式(3.25)又可以得出，只有当

f(y|x)=f(y)

(3.26)时，式(3.25)才能变成式(3.23)。以上概念和结论可以推广到n维随机变量中。

3.几种典型的概率分布

1)二项分布下面通过一个例子来说明二项分布。在二元传输系统中，设“1”码出现(即被发送)的概率为p，“0”码出现的概率为q=1-p。记X为n位二元码中出现“1”码的次数，显然X是一个离散型的随机变量。下面确定X的分布函数。我们先来确定n位码中出现“1”码为k次的概率。显然，如果“1”码出现了k次，则“0”码出现n-k次，因而，“n位码中出现‘1’码为k次”这一随机事件便是事件“‘1’码出现k次”与事件“‘0’码出现n-k次”之积。又考虑到，“1”码出现k次在n位中可以任意组合，共有种组合方法，于是“X=k”的概率为(3.27)由于式(3.27)的右边恰好是(p+q)n展开式中的第k+1项，因此，称X是服从二项分布的随机变量，X的分布函数为

(3.28)式中，u(x)是单位阶跃函数。而X的概率密度为(3.29)

2)均匀分布设-∞<a<b<∞，令

(3.30)以此f(x)为概率密度的随机变量X称为是服从均匀分布的，其分布函数为(3.31)

f(x)和F(x)如图3.1所示。均匀分布是常见的概率分布之一。例如，观察到正弦振荡源所产生的振荡的初始相位是在(0，2π)上均匀分布的随机变量。图3.1均匀分布

3)高斯(Gauss)分布高斯分布也称正态分布，它的概率密度为

(3.32)

式中，m为高斯随机变量的数学期望，σ2为方差。如果m=0，σ2=1，则称这种高斯分布为标准化的，即有(3.33)

高斯分布的分布函数为(3.34)式中，称为概率积分函数。高斯分布如图3.2所示。图3.2高斯分布

4)瑞利(Rayleigh)分布后面将要遇到的窄带噪声的包络就是服从瑞利分布的。瑞利随机变量的概率密度为(3.35)

式中，σ>0。其图形如图3.3所示。图3.3瑞利分布3.3.2随机变量的函数一维或多维随机变量经过函数变换后，可得到一个新的随机变量，称为随机变量的函数。它可以表示为以下几种情况：

(1)

Y=q(X)式中，X，Y均为一维随机变量。

(2)Y=q(X1，X2，…，Xn)式中，X是n维随机变量，函数Y是一维的。

(3)

式中，X是n维随机变量，函数(Y1，Y2，…，Yk)则是k维的。3.3.3随机变量的数字特征如果要完整地表述一个随机变量的统计特性，就必须求得它的分布函数或者概率密度函数。然而在许多实际问题中，往往并不关心随机变量的概率分布，而只想知道它的某些特征。这些表述随机变量“某些特征”的数，就称为随机变量的数字特征。常用的数字特征有：

(1)随机变量的数学期望，也称均值，反映了随机变量取值的集中位置；

(2)随机变量的方差，反映随机变量取值的集中程度；

(3)两个随机变量的相关系数，反映了它们之间的线性相关程度。

1.数学期望设P(xi)(i=1，2，…，K)是离散随机变量X取值xi的概率，则其数学期望为

(3.36)式中的E{·}表示“统计平均运算”，它实际上就是对随机变量的加权求和，而加权值就是各个可能值出现的概率。这一定义也可推广到对X的函数Y=g(X)的集合平均，根据式(3.36)有

(3.37)式中，xi和yi是相互对应的取值。

对于连续随机变量的数学期望可以用积分计算。设f(x)为连续随机变量X的概率密度函数，则X的数学期望定义为

(3.38)

只要下面的积分存在，则X的函数g(x)的数学期望为(3.39)

2.n阶矩

Xn的期望称为X的n阶(原点)矩，由式(3.39)可知，此n阶矩为(3.40)显然，上面讨论的数学期望E{x}就是一阶矩，它常用m来表示，即m=E{x}。除了原点矩外，还有相对于均值m的n阶矩，即E{(X-m)n}，也称为n阶中心矩。由式(3.39)可知：(3.41)

在n阶矩中，最重要的是二阶中心矩，又称为方差，它由下式定义：D{X}=E{(X-m)2}

(3.42)它也经常用σ2来表示，方差的平方根σ称为“标准偏差”。

3.两个随机变量的矩矩的概念可以推广到两个随机变量上，称为混合矩。随机变量X和Y的n+k阶混合原点矩定义为

(3.43)其相应的混合中心矩unk则定义为unk=E{(X-mX)n(Y-mY)k}式中

mX=E{X}，mY=E{Y}

(3.44)

在混合中心矩unk中，最重要的是n=1，k=1的混合中心矩E{(X-mX)(Y-mY)}，记作u11，它反映着X与Y之间的内在联系，因此，u11又称为相关矩或者协方差。我们也常用到X和Y的归一化相关矩，又称为X和Y的相关系数，定义为(3.45)相关系数是十分重要的概念，具有如下性质：

(1)|ρ|≤1；

(2)相关性：若X和Y的相关系数|ρ|=0，则称X，Y是线性不相关的；

(3)独立与相关：若两随机变量X和Y是统计独立的(见式(3.23))，则它们必不相关。这是因为代入式(3.45)中有ρ=0

但是应当注意，如果X和Y不相关，则并不意味着它们一定是统计独立的。3.4随机过程的概念及其统计特性3.4.1随机过程的概念自然界中事物变化的过程大致可以分成两类。一类是其变化过程具有确定的形式，或者说变化过程有一定的规律，因此经过观察、研究后，就可以用一个或几个确定的时间函数或者时间曲线精确地描述这个变化过程。例1如图3.4(a)所示的RLC串联电路，在开关闭合后，描述回路电流i(t)的变化过程。图3.4RLC电路中的电流波形图3.4(b)中给出了欠阻尼①、临界阻尼②、过阻尼③三种情况下的电流i(t)变化曲线。显然，只要给定了电路参数，电流i(t)的变化过程是完全可以预知的，而且可以精确地描述出来。但是另一类事物的变化过程就复杂多了，它们没有一个确定的变化过程，即不可能用时间函数对它们进行精确的描述。换句话说，对事物变化的全过程进行一次观测得到一条时间的变化曲线，但在完全同样的条件下，进行另一次观测却得到一条完全不同的时间曲线。下面给出一个例子。

例2

设有N台性能完全相同的通信机，在同样的工作条件下记录各通信机输出的噪声波形，这也可以理解为对一台通信机作N次观测，得到如图3.5所示的N条噪声曲线x1(t)，x2(t)，…，xN(t)。每次观测的结果都得到一条确定的时间波形，但是在各次观测中所得到的波形都不相同，而且在观测之前无法预知输出波形的形状。进一步地，如果在t时刻之前已经做了观测，则这些观测结果对以后某一时刻上波形取值的大小都无法准确地作出预测。这种对通信机输出噪声波形的不可预知性正是由于噪声电压变化的随机性的结果。与例1的变化特点相对照，将这种由于某一种随机性的物理因素所引出的变化过程称为随机过程。图3.5通信机输出噪声波形根据概率论的知识，我们把对通信机输出噪声波形的观测看做是进行一次随机试验，这种观测(即随机试验)是在一段时间内持续进行的。每次随机试验的结果是得到一条时间波形，记作xi(t)。由此而得到的时间波形的全体{x1(t)，x2(t)，…，xN(t)，…}就构成一个随机过程，记作X(t)，而某次试验的结果xi(t)则称做随机过程X(t)的一个样本函数或者实现。显然，通信机的输出噪声是一个随机过程，它是由所有可能出现的噪声波形构成的。在某次观测中，只是得到这个随机过程的一个样本，至于它是过程的所有可能样本中的哪一个样本，它将如何随时间变化，在进行观测前是无法预测的。这种不可预测性或者说随机性表现在两个方面：其一，每个样本都以某一概率出现；其二，样本在尚未观测的某一时刻t上的取值是一个随机变量。根据这个观点，可以从另一个角度来定义随机过程。仍以图3.5所示的通信机噪声输出为例。如果在时刻t1对n条样本波形同时进行观测，就得到各个样本波形在t1时刻的取值：x1(t1)，x2(t1)，…，xN(t1)。由于噪声电压是随机变化的，因此全体样本在t1时刻的取值就构成一个随机变量，记作X(t1)。沿时间轴在不同的时刻t2，t3，…，tn上进行观测，得到随机变量X(t2)，X(t3)，…，X(tn)。于是，沿时间轴顺序出现的这一族随机变量{X(t1)，X(t2)，…，X(tn)}构成了这个输出噪声的随机过程。因此，就又可以把随机过程定义为依赖于时间参数的随机变量的全体。下面再以具有随机初始相位的正弦信号为例来说明随机过程的概念。

例3

分析随相信号s(t)=A0sin(ω0t+θ)，-∞<t<∞。其中A0、ω0为常数，θ为在(-π，π)上均匀分布的随机变量。当初相位θ取值为θ1(以一定的概率)时，s1(t)=A0sin(ω0t+θ1)就是一个确定的正弦波，即它是随相信号s(t)的一个样本。当θ取值为θ2，θ3，…时，就可以得到与之相对应的一系列样本，如图3.6所示(图中仅给出随机信号的两个样本)。而所有可能的样本的全体就构成了随相信号这个随机过程。另一方面，对某一时刻t1，s(t1)=A0sin(ω0t1+θ)是一个随机变量。在时间轴上取一系列抽样时刻t2，t3，…时，就得到相应的随机变量s(t2)，s(t3)…。这些依赖于时间参数的随机变量同样描述了随相信号s(t)。在通信系统中，除了随相信号外，还经常遇到具有随机频率的信号过程、具有随机振幅的信号过程等。

图3.6随机信号的样本函数3.4.2随机过程的统计描述当我们对某一个随机过程进行观测时，实际上所观测到的或记录下来的只是它的若干个样本波形。这些样本波形看上去千变万化、各不相同，似乎很难定量地描述这些样本以至这个随机过程的变化规律。但是，任何随机过程总是由具有某种统计性质的物理因素所支配的，这些物理因素的统计特性必然会体现在随机过程的每一个样本波形中。因此，从统计意义上来看，样本波形将具有一定的共性，即相同的统计特性。也就是说，在描述一个随机过程时，我们关心的仅仅是它所具有的统计特性，而不关心也难以描述这个过程的各个样本波形变化的细节。

随机过程的统计特性包括以下几个方面：随机过程在任一时刻的取值(随机变量)的概率分布函数是什么？过程是围绕什么均值起伏变化的？对均值的偏离程度如何？波形变化的快慢程度如何？这些特性是否随时间变化?我们已经知道，随机过程X(t)是在时间点t1，t2，…，tn上的随机变量X(t1)，X(t2)，…，X(tn)的全体。那么，只要知道了随机变量X(t1)，X(t2)，…，X(tn)的n维联合概率分布函数，可以认为随机过程X(t)也就是由这个概率分布函数描述的。这就是讨论如何描述随机过程的出发点。在某一固定时刻t1，随机过程X(t)的取值就是一个一维随机变量X(t1)。它的概率分布函数为F1(x1，t1)=P［X(t1)≤x1］(3.46)概率密度函数(下式偏导存在的话)为

(3.47)式(3.46)、式(3.47)描述了随机过程X(t)在特定时刻t1的统计分布情况，分别称为随机过程X(t)的一维分布函数和一维概率密度函数。但是，一维概率分布函数和一维概率密度函数只描述了随机过程在某个时刻上的统计分布特性，并没有反映出随机过程在不同时刻取值间的关联程度，因此有必要再研究随机过程X(t)的二维分布。

随机过程X(t)在t=t1和t=t2时，X(t1)≤x1和X(t2)≤x2同时出现的概率为P［X(t1)≤x1，X(t2)≤x2］，记作

F2(x1，x2；t1，t2)=P［X(t1)≤x1，X(t2)≤x2］(3.48)称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。如果F2(x1，x2；t1，t2)对x1，x2的偏导存在，则有

(3.49)称为随机过程X(t)的二维概率密度函数。为了更加充分地描述随机过程X(t)，需要考虑随机过程在更多时刻上的多维联合分布函数。一般地，定义随机过程X(t)的n维概率分布函数为Fn(x1，…，xn；t1，…，tn)=P［X(t1)≤x1，…，X(tn)≤xn］

(3.50)定义n维概率密度函数(如果n阶偏导存在)为

(3.51)

显然，随着n的增大，对随机过程的统计特性的描述也越充分，但问题的复杂性也随之增加。实际上，一般情况下掌握二维分布函数就已经足够了。3.4.3随机过程的数字特征除了用概率分布函数来描述一个随机过程外，我们更关心这个随机过程的数字特征。因为这些数字特征比较容易用实验方法来确定，从而更简捷地解决实际工程问题。随机过程的数字特征包括数学期望、方差和相关函数，它们是由随机变量的数字特征的概念推广而来的，但不再是确定的数值，而是确定的时间函数。首先分析随机过程X(t)的数学期望。对某个固定时刻t，随机过程X(t)是一个随机变量，因此可以求得这个随机变量的数学期望。随着时间t的变化，我们可以求得对应不同时刻的随机变量的数学期望。显然，数学期望是一个依赖于时间t的函数，称此函数为随机过程X(t)的数学期望，记作m(t)，即(3.52)由图3.7所示随机过程的数学期望可见，随机过程X(t)的数学期望m(t)是一个平均函数，过程的所有样本都围绕着m(t)变化。在通信中，假定传送的是一确定的时间信号s(t)，噪声n(t)是数学期望为零的随机过程，那么接收信号X(t)=s(t)+n(t)为一随机过程，它的数学期望就是信号s(t)。图3.7随机过程的数学期望其次，为了描述随机过程X(t)的各个样本过程对数学期望的偏离程度，我们引入随机过程的方差这个数字特征量，定义为(3.53)

由式(3.52)、式(3.53)可见，随机过程的数学期望和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因此它们只描述了随机过程在各个时间点的统计性质，而不能反映过程在任意两个时刻之间的内在联系。为此，考察图3.8给出的两个随机过程X(t)和Y(t)的一条样本波形，它们具有大致上相同的数学期望和方差，但是随机过程X(t)的样本波形比较平缓，说明这个过程在不同时刻的取值之间有较强的相关性，而过程Y(t)的这种相关性就要弱得多。图3.8具有相同数学期望和方差的两个随机过程为了定量地描述随机过程的这种内在联系的特征，即随机过程在任意两个不同时刻上取值之间的线性相关程度，引入自相关函数的概念，定义如下：(3.54)式中，t1

、t2为任意两个时刻。有时也用自协方差函数来描述随机过程内在联系的特征，定义为

(3.55)

可以得到自相关函数RX(t1，t2)和自协方差函数CX(t1，t2)的关系如下：

CX(t1，t2)=RX(t1，t2)-m(t1)·m(t2)

(3.56)

由此表明，它们所描述的随机过程的特征是一致的。因此为简单起见，以后只讨论自相关函数。相关函数的概念可以引申到两个随机过程中，以描述它们之间的关联程度，称为互相关函数。设有随机过程X(t)和Y(t)，则它们的互相关函数为(3.57)式中，f2(x，y；t1，t2)为随机过程X(t)和Y(t)的二维联合概率密度函数。3.5平稳随机过程和高斯随机过程在通信理论和技术中应用最广泛的是具有平稳统计特性的平稳随机过程。在这一节中，将给出平稳随机过程的概念，讨论平稳随机过程的数学特征和它们一般都具有的一种特性即各态历经性；然后分析在理论中应用最为广泛的高斯随机过程；最后讨论平稳随机过程的功率谱密度及其与自相关函数的关系。3.5.1平稳随机过程如果对任意的n和Δt，随机过程X(t)的n维概率密度函数满足

fn(x1，x2，…，xn；t1，t2，…，tn)

=fn(x1，x2，…，xn；t1+Δt，t2+Δt，…，tn+Δt)(3.58)则称X(t)是平稳随机过程。由式(3.58)可见，平稳随机过程的概率密度函数或者说它的统计特性并不随着时间的推移而变化。特别地，对一维分布有

f1(x；t)=f1(x；t+Δt)=f1(x)

(3.59)表明平稳随机过程的一维分布与时间无关。对二维分布有

f2(x1，x2；t1，t2)=f2(x1，x2；t1+Δt，t2+Δt)=f2(x1，x2；τ)(3.60)其中τ=t2-t1。式(3.60)表明平稳随机过程的二维分布仅与所取的两个时间点的间隔τ有关。或者说，平稳随机过程具有相同间隔的任意两个时间点之间的联合分布保持不变的特性。根据平稳随机过程的定义，可以求得平稳随机过程X(t)的数学期望、方差和自相关函数，分别为(3.61)

可见，平稳随机过程的数字特征变得简单了，数学期望和方差都是与时间无关的常数，自相关函数只是时间间隔τ的函数。正如以前曾指出的，由于随机过程的数字特征在一定程度上描述了这个随机过程，同时在通信技术中感兴趣的主要是这些数字特征，因此可以用式(3.61)直接定义平稳过程。即：如果随机过程的数学期望和方差与时间无关，而且自相关函数仅与时间间隔有关，那么该随机过程就称为广义平稳的。相应地，式(3.58)所定义的过程称为严格平稳的。

可以根据式(3.61)来判断一个随机过程是否平稳。从本质上来说，只要产生随机过程的物理因素在很长的时间内保持不变，那么就可以认为这个随机过程是平稳的。例如，在稳定的环境下工作的通信机，其输出噪声就是平稳的。一旦确定某一随机过程是平稳的，那么就可以在任意时刻上测定它的统计特性。下面举例说明随机过程的广义平稳性。例如随相正弦信号s(t)=Asin(ω0t+θ)，经计算m(t)=0，，其中，A、ω0是常数，相位θ是在区间(-π，π)上均匀分布的随机变量。数学期望与时间无关，自相关函数R(t，t+τ)=R(τ)与t无关，仅与τ有关。所以，随相正弦信号是广义平稳的。3.5.2各态历经性前面所讨论的数字特征，都是对随机过程的全体样本函数在特定时刻上取值，然后按概率密度函数加权积分而求得，所以它们都是统计平均量。这样的求法在原则上是可行的，但实际上却是极为困难的，因为这不仅要知道随机过程的一维和二维概率密度函数，而且要得到随机过程的全体样本，而往往我们只能得到随机过程的一个或至多几个样本。那么，能否根据随机过程的一个样本函数求得随机过程的数字特征呢？如果可以，又应该怎么求呢？这就是平稳过程的各态历经性所要解决的问题。首先，我们给出平稳随机过程的样本函数的时间平均量的概念。对平稳随机过程X(t)进行一次观测，从而记录下一条样本波形，设为x(t)。既然是进行观测的结果，那么x(t)就是一个确定的时间函数了。可以求得它们的时间平均为(3.62)上式的积分限(-T，T)取在观测时间内。同样，它们的时间相关函数(随机过程的样本一般是功率信号，而不是能量信号)为

(3.63)以及样本x(t)与〈x(t)〉之差平方的时间平均为

(3.64)这些时间平均量描述了样本x(t)的时间特征。对平稳随机过程X(t)，如果它的数字特征与某一样本x(t)的相对应的时间平均值之间有下列关系：(3.65)则称平稳随机过程X(t)具有各态历经性。上面的分析虽然是针对平稳随机过程的某一特定样本而言的，但是，只要平稳随机过程的所有样本都具有相同的性质，那么这些分析就与样本的选择无关了。

平稳随机过程的各态历经性可以理解为平稳过程的各个样本都同样地经历了随机过程的各种可能状态。由于任一样本都内蕴着平稳过程的全部统计特性的信息，因而任一样本的时间特征就可以充分地代表整个平稳随机过程的统计特性。这就是式(3.65)的实质。如果一个平稳随机过程具有各态历经性，那么就可以通过过程的一个样本很容易地求得平稳过程的各数字特征量，这是很有实际意义的结论。由此也可以看出平稳随机过程数字特征的物理意义(以平稳过程是一个噪声电压为例)：

(1)m=E{X(t)}=〈x(t)〉是直流分量；

(2)RX(0)=〈x2(t)〉是总平均功率；

(3)σ2=〈［x(t)-〈x(t)〉］2〉是交流平均功率。从上面的讨论中可以看到，具有各态历经性的随机过程一定是平稳随机过程，但是平稳随机过程却并不都具有各态历经性。实际应用中，经常把各态历经性作为一种假设，然后再根据实验来检验这个假设是否合理。3.5.3高斯随机过程高斯过程(或正态过程)在通信理论中应用得最为广泛。所谓高斯过程，是指它的任意n维分布服从高斯分布的过程，即

(3.66)式中：mk=E{x(tk)}是随机变量x(tk)的数学期望；是随机变量x(tk)的方差；|ρ|为相关系数矩阵的行列式，即

|ρ|jk是行列式中元素ρjk所对应的代数余子式。高斯过程具有下面几个重要性质：

(1)由式(3.66)可以看出，高斯过程的n维分布完全由n个随机变量X(t1)，X(t2)，…，X(tn)的数学期望、方差及两两之间的相关系数所决定。因此，对高斯过程来说，只要研究它的数字特征就可以了。

(2)由上面的特点可以看出，如果高斯过程是广义平稳的，即数学期望、方差与时间无关，相关函数仅取决于时间间隔，而与时间起点无关，那么高斯过程的n维分布也与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是严格平稳的。

(3)如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即满足当j≠k时ρjk=0且ρjj=1，那么，式(3.66)为也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是互不相关的，那么它们也是统计独立的。

(4)如果一个线性系统的输入随机过程是高斯的，那么线性系统的输出过程仍然是高斯的。这个特点我们在后面讨论。3.5.4平稳随机过程的功率谱密度及其与自相关函数的关系讨论确定信号和线性系统时，有时域分析法和频域分析法，这两种分析法是用傅里叶变换联系起来的。那么，能否把傅里叶变换运用到平稳随机过程理论中呢？回答是可以，但是将带有随机过程的特点，这是应当注意的。自相关函数R(τ)是在时域上描述平稳随机过程的主要方式。通过傅里叶变换，由自相关函数R(τ)引出平稳随机过程功率谱密度的概念，这将是本节所要讨论的问题。为此先深入讨论一下平稳随机过程的自相关函数R(τ)的性质。

(1)R(τ)是偶函数，即

R(τ)=R(-τ)

(3.67)

根据定义R(τ)=E{X(t)X(t+τ)}令t′=t+τ，则t=t′-τ，代入上式中，有R(τ)=E{X(t′-τ)X(t′)}=E{X(t′)X(t′-τ)}=R(-τ)

(2)|R(τ)|≤R(0)。显然有E{［X(t)±X(t+τ)］2}≥0上式展开后有

E{X2(t)±2X(t)X(t+τ)+X2(t+τ)}

=E{X2(t)}±2E{X(t)X(t+τ)}+E{X2(t+τ)}

=2［R(0)±R(τ)］≥0所以有|R(τ)|≤R(0)。

(3)R(τ)与协方差函数C(τ)、数学期望、方差的关系。对平稳随机过程，式(3.56)变为

C(τ)=E{［X(t)-m］［X(t+τ)-m］}=R(τ)-m2

(3.68)由上式可见，R(τ)与C(τ)仅相差一个常数。当τ=±∞时，X(t)-m与X(t±∞)-m显然是相互独立的随机变量，这一点从物理意义上可以理解为：随机过程在相距非常远的两个时间点上的取值是毫无关联性可言的。因此C(±∞)=E{［X(t)-m］}·E{［X(t±∞)-m］}=0代入式(3.68)得到R(±∞)=m2写成极限形式，有

(3.69)因此，可以从自相关函数R(τ)求得该平稳随机过程的数学期望。

在式(3.68)中，令τ=0，得到

C(0)=σ2=R(0)-m2=R(0)-R(±∞)(3.70)因此，平稳随机过程的又一数字特征即方差也可以从自相关函数R(τ)中求出。上面的讨论表明，自相关函数R(τ)是描述平稳随机过程最重要的数字特征。图3.9给出一条典型的R(τ)曲线，并且从图形上可以反映出它的全部特点。图3.9平稳过程R(τ)和C(τ)的典型曲线下面先给出平稳随机过程功率谱密度的概念，然后推导它与平稳随机过程的自相关函数的关系。首先要指出的一点是，一个平稳随机过程的持续时间是无限长的，所以其总能量不是有限的。这说明随机过程的振幅频谱不存在。然而，平稳随机过程的平均功率却是有限值。因此，研究平稳随机过程的功率谱密度是有意义的。考察平稳随机过程X(t)的一个样本x(t)，该样本在-∞<t<∞上存在。我们对其截取2T长的一段，如图3.10所示，记为xT(t)，则有显然，xT(t)的傅里叶变换存在，它的频谱函数为(3.71)XT(ω)为xT(t)的频谱函数。图3.10x(t)及其截矩函数xT(t)

根据帕塞瓦尔定理有

在上式两边除以2T，有令T→∞，就得到平稳随机过程X(t)的一个样本x(t)的平均功率为(3.72)需要强调的是，式(3.72)仅仅给出平稳随机过程X(t)的一个样本x(t)的平均功率，当然它不能代表这个随机过程的平均功率。我们知道，样本x(t)是对平稳随机过程X(t)做一次观测的结果，所以样本x(t)的平均功率是一个随机变量。而平稳随机过程X(t)的平均功率S只要对所有样本的平均功率进行统计平均即可，于是有

(3.73)令

(3.74)则有

(3.75)

由此可见，式(3.74)所定义的P(ω)具有三个特点：

(1)它是ω的确定函数而不再具有随机性；

(2)它描述了在各个不同的频率上功率分布的情况；

(3)当在整个频率范围内对它进行积分后，就给出了平稳随机过程X(t)的总平均功率。因此，将P(ω)称为平稳过程X(t)的功率谱密度，简称功率谱。它是从频域角度描述平稳随机过程X(t)的统计特性的重要数字特征。虽然式(3.74)给出了平稳随机过程X(t)的功率谱P(ω)，但是直接用这个表达式来计算功率谱P(ω)还是很困难的。那么，应当如何求功率谱P(ω)呢？为此重新考察式(3.73)，则平稳随机过程X(t)的平均功率S为

(3.76)于是有(3.77)如前所述，平稳随机过程X(t)的自相关函数在τ=0的取值R(0)表示该过程的平均功率。这里又验证了这一点。因此R(τ)与功率谱P(ω)是有联系的，把这二者联系起来的就是傅里叶变换，即(3.78)及(3.79)式(3.78)也称维纳-辛钦定理，是一个在理论与实际应用中都有极大意义的重要公式。

例4

求随相正弦信号的功率谱。前面已经推导出了随相正弦信号s(t)=Asin(ω0t+θ)的自相关函数，即。根据式(3.78)可以求得它的功率谱P(ω)为上式表明，这个随相正弦信号的功率谱是由位于±ω0的两条谱线构成的，如图3.11所示。图3.11随相信号的R(τ)和P(ω)

根据自相关函数的性质及式(3.68)，很容易得出平稳随机过程的功率谱具有以下性质：

(1)P(ω)是实偶函数，即

P(-ω)=P(ω)

(3.80)

(2)P(ω)是非负函数，即

P(ω)≥0

(3.81)

根据同样的分析方法，还可以定义两个随机过程X(t)和Y(t)的互功率谱密度函数(简称互功率谱)PXY(ω)。互功率谱PXY(ω)和互相关函数RXY(τ)是一对傅里叶变换，即

(3.82)及

(3.83)3.6随机过程通过线性系统在这一节中，将运用以前所学过的确定信号通过线性系统的分析方法，来讨论当一个平稳随机过程加到某个线性系统的输入端时，该系统的输出将是如何变化的。

为什么确知信号通过线性系统的分析方法仍然适用于平稳随机过程通过线性系统的情况呢？如前所述，随机过程是以某一概率出现的样本函数的全体。因此，我们说把随机过程加到线性系统的输入端，实际上应当理解为随机过程的某一可能的样本函数出现在线性系统的输入端。既然如此，我们完全可以应用确定信号通过线性系统的分析方法来求得相应的系统输出。如果加到线性系统输入端的是随机过程X(t)的某一样本x(t)，系统相应的输出为y(t)，则有(3.84)其中，h(t)为线性系统的冲激响应函数，且有进而很容易理解，在线性系统的输出端，将得到一族时间函数y(t)，它们构成一个新的随机过程，记作Y(t)，称为线性系统的输出随机过程。于是，式(3.84)可以表示为

(3.85)

因此，我们所关心的问题就是线性系统输出端的随机过程Y(t)将具有什么样的统计特性，即它的数学期望、自相关函数、功率谱以及概率密度函数。下面就分别讨论这些问题。首先假定线性系统的输入过程X(t)是平稳的，它的数学期望mX、自相关函数RX(τ)、功率谱PX(ω)均已知。3.6.1输出过程Y(t)的数学期望在式(3.85)两边取统计平均，得(3.86)式中，因为mX是常数，所以可以放到积分号外面来。再由则有

E{Y(t)}=mX·H(0)

(3.87)3.6.2输出过程Y(t)的自相关函数根据自相关函数的定义式(3.54)，有

(3.88)

由式(3.87)、式(3.88)可以看出，输入随机过程是平稳时，线性系统的输出随机过程至少是广义平稳的。3.6.3输出随机过程Y(t)的功率谱由式(3.78)得：令τ′=τ+u-v，则有其中所以有PY(ω)=H(ω)·H*(ω)·PX(ω)=|H(ω)|2·PX(ω)(3.89)

式(3.89)表明，线性系统输出平稳过程Y(t)的功率谱是输入平稳过程的功率谱与系统传输函数模的平方乘积。这是今后经常用到的一个重要公式，同时可以看到，把式(3.89)与式(3.79)结合起来求RY(τ)，比直接用式(3.88)来求要容易得多。此外，可以求得线性系统的输入过程X(t)与输出过程Y(t)的互功率谱为

PXY(ω)=H(ω)·PX(ω)

(3.90)3.6.4输出过程的概率分布原则上可以通过线性系统输入随机过程的概率分布和式(3.85)来确定输出随机过程的概率分布，但是计算过程相当复杂，只有在输入过程是高斯分布时是个例外。即平稳高斯随机过程通过线性系统后，输出随机过程仍然是服从高斯分布的，下面证明这个结论。假设线性系统的输入随机过程X(t)是一个平稳高斯过程，根据式(3.85)可以得到输出随机过程Y(t)为或者写成求和形式为(3.91)既然X(t)为平稳高斯过程，那么式(3.91)中的每一项X(t-un)h(un)

Δun都是高斯随机变量，所以输出过程Y(t)在任一时刻上的取值将是无穷多个高斯随机变量之和。那么，若干个高斯随机变量的和是否为高斯随机变量呢？如果是高斯随机变量，则说明输出过程Y(t)是一个高斯过程。设u1、u2是两个高斯随机变量，它们的联合概率密度函数为其中各个字母的意义和式(3.66)中所说明的一样。于是，随机变量v=u1+u2的概率密度函数fv(y)为

令x1-m1=α，y-m1-m2=β，于是上式中括号内的项可以化成再令则有显然，这是数学期望为m1+m2，方差为的高斯概率密度函数。由此得到，任意两个高斯随机变量之和仍然是高斯随机变量。同理可以得到，多个高斯随机变量之和也是高斯的。输出过程Y(t)在任一时刻上的取值是服从高斯分布的，于是输出过程Y(t)的n维联合分布也是高斯的。这样就得到了线性系统的输出随机过程仍然保持了高斯分布的统计特性这个重要结论。但是应当注意，它的输出过程的数字特征一般来说不同于输入过程的数字特征。3.7噪声分析3.7.1白噪声随机过程通常是按它的概率分布和功率谱进行分类的。就概率分布来说，服从高斯分布的随机过程占有重要地位；就功率谱特点来说，白噪声对通信理论是极为重要的。我们首先提出白噪声的概念，然后分析白噪声通过线性系统的情况。如果一个随机过程n(t)，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即

(3.92)则称n(t)为白噪声，式中N0为常数，单位是W/Hz。由式(3.79)可以求得白噪声的自相关函数为

(3.93)这个结果表明，白噪声在任意两个不同时刻的取值之间是互不相关的。图3.12给出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形。图3.12白噪声的自相关函数和功率谱

如果白噪声是服从高斯分布的，就称为高斯白噪声。根据式(3.93)可以看出，高斯白噪声在任意两个不同时刻的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当注意，上面所定义的这种理想化的白噪声实际上是不存在的，但是通信系统中有很多噪声，它们的功率谱均匀分布的频率范围远远超过通信系统的工作频带，因此可以近似认为它们是白噪声，这样可以使分析大大简化。当白噪声通过信道时，频带将受到限制，称为带限白噪声。下面根据信道通带的位置分两种情况讨论。

1．理想低通白噪声白噪声通过理想矩形的低通信道时，就会产生这类带限白噪声。假定理想矩形低通信道为根据式(3.89)，该信道输出的带限白噪声的功率谱为

(3.94)自相关函数为(3.95)

理想低通白噪声的功率谱与自相关函数如图3.13所示。由式(3.95)可以得到，在τ=kπ/Ω(k=1，2，…)时，R(τ)=0。这表明：带限白噪声波形只要按照π/Ω等间隔抽样，那么各样点值是互不相关的随机变量。图3.13理想低通白噪声的功率谱与自相关函数

2．理想带通白噪声这种带通白噪声是通过理想矩形的带通信道后产生的，它的功率谱为(3.96)式中：ω0为中心角频率，B为通带宽度。它的自相关函数为

(3.97)

理想带通白噪声的功率谱与自相关函数如图3.14所示。由图可见，带通白噪声的自相关函数是以取样函数为包络，再填进角频率为ω0的载波所组成的。图3.14理想带通白噪声的功率谱与自相关函数3.7.2通信系统中的噪声在通信过程中不可避免地存在噪声，它们对通信质量的好坏，甚至能否进行正常的通信有着极大的影响。因此，在研究抗噪声性能之前，有必要对噪声的特性有一个认识，这就是下面所要讨论的问题。

1.噪声的分类所谓噪声，就是存在于通信系统中，干扰信号的传输和处理的那一类不需要的电波形，它在系统中无处不有，有时也称为随机干扰信号。

噪声产生于各种不同的源，而且表现出来的特性也不尽相同。可以根据噪声的来源对它进行分类，也可以依据噪声的随机特性进行分类。根据前者，噪声可以分为以下三类：

(1)自然噪声。例如：打雷放电而产生的天电噪声；雨点、沙尘和下雪等会产生静电，引起静电放电并产生噪声；太阳和其它星体也会发出强烈的噪声电波。

(2)人为噪声。例如：各种电气设备、汽车的火花塞所产生的火花放电；高压输电线路的电晕放电；邻近电台信号的干扰等。

(3)电路噪声。例如：电子管和半导体器件内电子、空穴运动所产生的散弹噪声；电阻内部的热噪声等。

根据噪声的特性，可以将其分为脉冲型噪声和连续型噪声。前者有各种人为噪声，它们是重复出现的持续时间很短的脉冲波形；后者如热噪声、散弹噪声那样具有连续波形。也可以按噪声瞬时幅度值的概率分布来进行分类，例如幅度值分布是服从高斯分布的就称为高斯噪声。还可以按功率谱形状来分类，例如白噪声和不具有均匀分布的功率谱的有色噪声。

在理论上还可以把噪声分为平稳噪声和非平稳噪声。平稳噪声在前面已经有了严格的定义和充分的讨论。非平稳噪声的统计特性随着时间的变化而变化，在某一时间间隔内集中发生，而其它时间内几乎不发生的所谓突发噪声就是一例。最后，根据噪声对信号作用的方式，可以将其分成加性噪声和乘性噪声。热噪声和其他的一般噪声，由干扰源产生并叠加在信号上进而在输出端表现出来；也就是说，如果s(t)是信号，n(t)是噪声，则输出波形为s(t)+n(t)，这就是加性噪声。如果信道衰耗发生变化或电阻发生变化，则噪声就成为调制信号的波形了，在数学上表示为s(t)［1+n(t)］，这就是乘性噪声。

总之，噪声的来源和表现形式是复杂多样的，我们只能从中选择对通信系统有较大的持续影响的起伏噪声进行研究。起伏噪声包括通信设备内部的散弹噪声、热噪声以及外部的宇宙噪声等，尽管它们来自不同的干扰源，但是稍后将会看到它们都具有几乎相同的统计特性。

2.起伏噪声

我们首先讨论散弹噪声、热噪声、宇宙噪声的产生原因及统计特性，然后引出窄带噪声的概念。

1)散弹噪声散弹噪声存在于电子管与半导体器件中。以图3.15所示的二极管为例，在允许的温度范围内工作的二极管的板极电流i(t)，是由阴极发射出来的大量电子的运动而形成的，由于每个电子的发射都是随机的，因此，如果把时间轴划成等长的小区间，则每一小区间内阴极发射出的电子数是随机的。这样在板极上形成的电流就不是一个直流，而是在一个平均值上上下起伏变化的，即i(t)=I0+in(t)，这个in(t)就称为散弹噪声。图3.15二极管发射的散弹噪声上面的分析表明，总电流i(t)实质上是许多电子单独作用的总结果，从阴极发射出来的电子可以认为是相互独立的，每个电子在阴极上产生一个独立的小电流，所以总电流i(t)就是大量独立小电流之和。由中心极限定理可知，总电流i(t)是一个高斯随机过程，平均电流I0是i(t)的数学期望，而in(t)=i(t)-I0则是数学期望为零的高斯随机过程。利用普通电子学的知识可以推导出在温度限制下的二极管的散弹噪声in(t)的功率谱Si(f)，大约在低于100MHz的频率范围内可以认为Si(f)是一个恒定值qI0，其中I0是平均电流值，q=1.6×10-19C。

2)热噪声电阻一类导体的两端即使没有外加电压，也会或多或少地出现微小变化的电压，这是由于电阻中自由电子经常作不规则的热运动所产生的噪声起伏而形成的。每个自由电子因其热能而不断运动，由于和分子的碰撞，使它的运动途径是随机的，结果就产生一个随机的微小电流。电阻内部所有电子运动的总结果形成一个起伏电流，其大小和方向是随机变化的，平均电流为零，这个起伏的电流就称为热噪声。

根据热噪声形成的物理机理可以看出，它也是服从高斯分布的。分析和测量表明，大约直到1013MHz的频率范围内，电阻热噪声的功率谱密度基本上是平坦的，取值为2kTGW/MHz。其中k为玻尔兹曼常数(等于1.3805×10-23J/℃)，T为热噪声源的绝对温度，G为电阻R的电导。电阻中的热噪声有两种表示法，如图3.16所示。一种是无噪声电导G和功率谱密度为2kTG的噪声电流源in(t)并联，如图3.16(b)所示；另一种是无噪声电阻R和噪声电压源vn(t)串联，如图3.16(c)所示。图3.16电阻噪声的表示法根据戴文宁等效电源定理应有：vn(t)=Rin(t)，且应当输出相同的噪声功率，即，又因为

其中B是该电阻所处电路的工作频率范围，于是有SV(f)=R2SI(f)=R2·2kTG=2kTR这就是以电压形式表示的电阻热噪声的功率谱密度。

3)宇宙噪声宇宙噪声是指天体辐射的电磁波对接收机所形成的噪声。它在整个空间的分布是不均匀的，最强的来自银河系的中部，其强度与季节、频率等因素有关。实际测量表明，在20~300MHz的范围内，它的强度与频率的三次方成反比，因而当工作频率低于300MHz时就要考虑它的影响了。实践证明，宇宙噪声也是服从高斯分布的，在很宽的频率范围内它也具有平坦的功率谱密度。

上面简单地对散弹噪声、热噪声和宇宙噪声进行了讨论。可以看出，尽管它们的形成机理不同，但却有一些共同的特点，即都服从高斯分布，在相当宽的频率范围内都具有平坦的功率谱密度，因而将这样的起伏噪声统称为高斯白噪声。高斯白噪声是通信系统中加性噪声的主要代表。在通信系统中，起伏噪声是最基本的噪声来源，但是应当注意，从信道的角度来看，到达或集中于解调器输入端的并不是起伏噪声本身，而是它的某种变换形式，即一种带通型噪声。这是因为，在到达解调器之前，起伏噪声通常要经过接收转换器，而接收转换器的主要作用之一是滤出有用信号和部分地滤除噪声，它一般被等效成一个带通滤波器，而带通滤波器输出端的噪声是带通型的噪声。如果带通滤波器的通带很窄，那么输出的噪声就称为窄带噪声。起伏噪声是高斯白噪声，考虑到带通滤波器一般是一种线性网络，因此输出噪声就是窄带高斯噪声。这样，当研究调制与解调问题时，调制信道的加性噪声可以直接表示为窄带高斯噪声。那么窄带高斯噪声的统计特性如何呢？下面就来讨论这个问题。

3.窄带高斯噪声高斯白噪声通过以fC为中心频率的窄带系统时，就形成窄带高斯噪声。那么“窄带系统”的确切含义是什么呢？所谓窄带系统，是指通带宽度Δf<<fC，且通带的中心频率fC>>0的系统。由此可知，窄带噪声的功率谱局限在±fC附近很窄的频率范围内，见图3.17(a)；在波形上表现为包络和相位都在作缓慢的变化，见图3.17(b)。回忆一下调幅或调频、调相信号波形，只要低频信号a(t)的频带限制在Δf/2之内，那么调幅信号具有与图3.17(a)相似的频谱。或者一个角调制波形cos[ω0t+φ(t)]，这里φ(t)是受调的相位函数，只要φ(t)变化缓慢，以至信号产生的最大频差大致限制在Δf/2之内，则角调制波形也类似于图3.17(a)的频谱。这样就不难理解窄带噪声具有图3.17(b)所示的波形。因此，可以把窄带噪声表示为n(t)=R(t)cos［ωCt+φ(t)］(3.98)其中：R(t)≥0为随机包络函数，φ(t)为随机相位函数，它们相对于载频ωC都是缓慢变化的。图3.17窄带噪声的功率谱和时间波形将式(3.98)展开，有n(t)=R(t)cosφ(t)cosωCt-R(t)sinφ(t)sinωCt

=nC(t)cosωCt-nS(t)sinωCt(3.99)其中

nC(t)=R(t)cosφ(t)(3.100)nS(t)=R(t)sinφ(t)(3.101)(3.102)(3.103)式(3.99)表明，窄带噪声也可以用两个正交的载波成分的组合来表示，而每个载波成分的幅度分别由式(3.100)、式(3.101)给出。显然，nC(t)、nS(t)也是缓慢变化的。上面给出了窄带噪声的数学表达式。需要强调的是，所谓窄带噪声是指一个随机过程，这个随机过程是由式(3.98)或式(3.99)定义的。式(3.98)中的R(t)、φ(t)也分别都是一个随机过程。R(t)的一个样本波形和φ(t)的一个样本波形构成了n(t)的一个样本波形。因此窄带噪声就是窄带样本波形的全体。对式(3.99)中的nC(t)和nS(t)也作同样的理解，因此窄带噪声n(t)的统计特性将表现在