难点解析青岛版9年级数学下册期末试题含答案详解AB卷

青岛版9年级数学下册期末试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题16分）一、单选题（8小题，每小题2分，共计16分）1、把抛物线y＝2x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移4个单位所得的解析式为（）A．y＝2（x+3）2﹣4 B．y＝2（x+3）2+4C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+42、如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列五个结论：①；②；③；④（为任意实数）；⑤方程有两个实数根，一个大于3，一个小于．其中结论正确的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．53、袋子中装有2个黑球和1个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，下列事件中是必然事件的是（）A．摸出的2个球中有1个球是白球B．摸出的2个球中至少有1个球是黑球C．摸出的2个球都是黑球D．摸出的2个球都是白球4、若双曲线在第二、四象限，那么关于的方程的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实根5、如图，已知抛物线（为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论取何值，抛物线一定经过．其中正确结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6、如图所示，满足函数和的大致图象是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④7、如图是二次函数图象的一部分，抛物线与轴交点位于与之间，给出四个结论：①，②，③，④，⑤当时，，当时，，则，⑥关于一元二次方程，一定有两个不等的实根，其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x……﹣2﹣1012……y＝ax2+bx+c……tm﹣2﹣2n……且当x＝﹣时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①abc<0；②图象的顶点在第三象限；③m＝n；④﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；⑤a<．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题84分）二、填空题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有、两点，它们的横坐标分别为2和4，的面积为6，则的值为__________．2、我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）．则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是______．3、长方体的长和宽都为x，高为10，它的体积y与高x的函数关系式为_______________．（不要求写出自变量取值范围）．4、从﹣1，2，3这三个数中任取一个数，分别记作m，那么点(m，﹣2)在第三象限的概率是_______．5、如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，．若反比例函数经过点，则的值等于_______．6、b2﹣4ac＞0，那么抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有_____个交点．7、用一个平面去截一个几何体，若截面是长方形，则该几何体可能是______（写三个）．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、二次函数经过（1，0），（3，0）和（0，3）．(1)求该二次函数解析式；(2)将该二次函数图像以轴为对称轴作轴对称变换得到新的抛物线，请求出新抛物线的解析式．2、如图1，在平面直角坐标系中，直线yx＋1分别与x轴，y轴交于点A，B（0，1），抛物线yx2＋bx＋c经过点B，且与直线y=x＋1的另一个交点为C（﹣4，n）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点D是抛物线上一动点，且点D的横坐标为t（﹣4＜t＜0），过点D作y轴的平行线，交x轴于点G，交BC于点E，作DF⊥BC于点F，若Rt△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；(3)抛物线的对称轴上是否存在一点P．使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图所示是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．(1)填空：a＝，b＝，c＝；(2)先化简，再求值：5a2b﹣[2a2b﹣3（2abc﹣a2b）]＋4abc．4、在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：yx2x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．(1)若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；(2)当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；(3)设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．5、已知二次函数y＝x2﹣（2m＋2）x＋m2＋2m（m是常数）．(1)求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；(2)二次函数的图象与y轴交于点A，顶点为B，将二次函数的图象沿y轴翻折，所得图象的顶点为B1，若△ABB1是等边三角形，求m的值．6、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7、2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为（元）．(1)求出每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式；(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】直接利用平移规律求新抛物线的解析式即可．【详解】解：把抛物线y＝2x2先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为y＝2（x﹣3）2﹣4，故选：C．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减自变量，上加下减常数项．并用规律求函数解析式．2、A【解析】【分析】根据开口方向，对称轴以及函数图像与轴的交点即可判断①，根据二次函数的对称性可则抛物线过点，进而可得当时，，结合可判断②，根据函数图象即可判断③，根据顶点的函数值最大即可判断④，方程即的两根，可以看作与的交点，根据函数图象即可判断⑤．【详解】解：根据函数图像可知，开口向下，则，对称轴为∴函数图像与轴的交点位于轴正半轴，则故①不正确对称轴为直线，抛物线图象过点，则抛物线过点当时，故②正确如图，时，故③不正确对称轴为直线，则时，，则顶点坐标为（为任意实数）（为任意实数）故④不正确；如上图，方程即的两根，可以看作与的交点，则一个大于3，一个小于．故⑤正确故正确的为②⑤故选A【点睛】本题考查了二次函数图象的性质与系数的关系，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．3、B【解析】【分析】根据随机事件的具体意义进行判断即可．【详解】解：A、摸出的2个球中有1个球是白球，是随机事件；不符合题意；B、随机摸出2个球，至少有1个黑球，是必然事件；符合题意；C、摸出的2个球都是黑球，是随机事件；不符合题意；D、摸出的2个球都是白球，是不可能事件；不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查随机事件，理解随机事件的实际意义是正确判断的前提．4、A【解析】【分析】由双曲线在第二、四象限，可得出a<0，进而可得出Δ=22−4a>0，再利用根的判别式可得出于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根．【详解】解：∵双曲线在第二、四象限，∴a<0，∵关于x的方程ax2+2x+1=0，∴，∴关于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象与系数的关系以及根的判别式，牢记k<0⇔(k≠0)的图象在二、四象限是解题的关键．5、C【解析】【分析】由题意得到抛物线的开口向上，对称轴﹣＝，判断a，b与0的关系，即可判断①；根据抛物线对称轴方程可得a+b＝0，即可判断②；根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0）以及c＜0，得到4a+2b+3c＜0，即可判断③；先根据a+b＝0和4a+2b+c＝0得c＝﹣2a，再根据对称性可知：抛物线过（﹣1，0），即可判断④．【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝，即﹣＝，，∴b＜0，故①正确；②∵，∴a+b＝0，故②不正确；③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，抛物线与y轴交点在负半轴，所以c＜0，∴4a+2b+3c＜0，故③正确；④由对称得：抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0），∵，∴c＝﹣2a，∴＝﹣1，∴无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（，0），故④正确；本题正确的有：①③④，共3个．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．6、B【解析】【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出k的符号，然后再根据k符号、一次函数的性质判断出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案．【详解】解：一次函数y＝k（x−1）＝kx−k．∵反比例函数的图象经过第二、四象限，∴k＜0；∴−k＞0，∴一次函数y＝kx−k位于第一、二、四象限；故图①错误，图②正确；∵反比例函数的图象经过第一、三象限，∴k＞0；∴−k＜0，∴一次函数y＝kx−k位于第一、三、四象限；故图③正确，图④错误，故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7、A【解析】【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线对称轴和抛物线经过（﹣1，0）可得抛物线经过（3，0），从而可得b，c与a的关系，进而判断②，由x＝﹣2时y＜0可判断③，由x＝1时y取最大值可判断④，由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1可判断⑤，将ax2+bx+c﹣5＝0化为只含系数a的方程，根据根与判别式的关系可判断⑥．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，①正确．∵抛物线经过点（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，∴抛物线经过（3，0），∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，∴10a+2b+2c＝0，∵b＝﹣2a，∴a＝﹣，∴﹣5b+2b+2c＝﹣3b+2c＝0，∴b＝c，∴c＝b∵抛物线与y轴交点位于（0，2）与（0，3）之间，∴2＜c＜3，∴2＜b＜3，∴＜b＜2，②错误．∵x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，③正确．∵x＝1时，y取最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，④错误．∵抛物线开口向下，2.5﹣1＜1﹣（﹣2.5）∴y1＜y2，⑤错误．∵b＝c＝﹣2a，∴c＝﹣3a，a＝﹣c，∵2＜c＜3∴﹣1＜﹣c＜﹣∴﹣1＜a＜﹣，由ax2+bx+c﹣5＝0可得ax2﹣2ax﹣3a﹣5＝0，∵﹣4＜4a＜﹣，1＜4a+5＜∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a﹣5）＝16a2+20a＝4a（4a+5）＜0，∴方程ax2+bx+c﹣5＝0无实数根，⑥错误．故①③正确故选：A．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．8、B【解析】【分析】由时，，当时，可得，即可判断①，由①可知对称轴为，以及当x＝﹣时，与其对应的函数值y>0，可判断顶点在第四象限，根据对称性可判断③④，由，可知，由时，，即可判断⑤【详解】解：∵当时，，当时，故①不正确和时，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为当x＝﹣时，与其对应的函数值y>0，当时，图象的顶点在第四象限；故②不正确二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为当时，，当时，故③正确当时，时，﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；故④正确由，可知，时，，，，，故⑤不正确；正确的有③④，共2个故选B【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴．二、填空题1、8【解析】【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，根据反比函数的性质可得，，从而得到，即可求解．【详解】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵、两点的横坐标分别为2和4，∴，，∵，∴，∴，解得：．故答案为：8【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．2、【解析】【分析】根据函数图像求得正比例函数和反比例函数，进而根据题意求得时的自变量x的取值范围．【详解】解：根据题意设时，正比例函数为，时，反比例函数为，将点代入，得，当时，当时，当时，当时，根据函数图像可知，则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键．3、【解析】【分析】根据长方体体积的计算公式计算即可．【详解】解：由题意知故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键在于掌握长方体体积的计算公式．4、【解析】【分析】确定使得点(m，﹣2)在第三象限的点m的个数，利用概率公式求解即可．【详解】解：从，2，3这三个数中任取一个数，分别记作，那么点在第三象限的数有，点在第三象限的概率为，故答案为：．【点睛】考查了概率公式的知识，解题的关键是了解使得点（m，-2）在第三象限的m的个数，难度不大．5、48【解析】【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点坐标代入解析式可求的值．【详解】解：如图，过点作于点，菱形的边在轴上，点，，．，，点坐标，反比例函数经过点，，故答案为：48．【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，解题的关键是求出点坐标．6、两##2【解析】【分析】根据当时，抛物线与x轴有两个交点，即可求解【详解】解：∵b2﹣4ac＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有2个交点故答案为：2【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，，熟练掌握二次函数，当时，抛物线与x轴有两个交点；当时，抛物线与x轴有一个交点；当时，抛物线与x轴没有交点是解题的关键．7、长方体、正方体、圆柱（答案不唯一）【解析】【分析】截面的形状是长方形，说明从不同的方向看到的立体图形的形状必有长方形或正方形，由此得出长方体、正方体、圆柱用一个平面去截一个几何体，可以得到截面的形状是长方形．【详解】解：用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，原来的几何体可能是长方体、正方体、圆柱．故答案为：长方体、正方体、圆柱（答案不唯一）．【点睛】此题考查用平面截几何体，解题的关键是掌握截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．三、解答题1、(1)y=(x−1)(x−3)(2)y=【解析】【分析】（1）根据二次函数图像与x轴的交点坐标，设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3)，再将（0，3）代入关系式，求出a的值即可；（2）由题意可知新抛物线与x轴的交点坐标，可设交点式，再将点（0，-3）代入求出m的值即可.(1)设该二次函数解析式为y=a(x−1)(x−3)把（0，3）代入解析式得a=1∴该二次函数解析式为y=(x−1)(x−3)(2)由题意可知，抛物线与x轴的交点是（1，0）和（3，0），且经过点（0，-3）.设新二次函数解析式为y=m(x−1)(x−3)，再代入（0，-3），得到m=-1∴轴对称变换后二次函数解析式为y=−(x−1)(x−3)【点睛】本题主要考查了求二次函数关系式，掌握交点式y=a(x-x1)(x-x2)是解题的关键.2、(1)yx2x+1(2)pt2t，p的最大值为(3)（，）或（，）【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入y=x+1得，n=×（-4）+1=-2，故点C（-4，-2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）p=DE+DF+EF=DE+DEsin∠DEF+DEcos∠DEF，即可求解；（3）分PB是斜边、PC是斜边两种情况，利用勾股定理即可求解．(1)解：将点C的坐标代入y=x+1得，n=×（-4）+1=-2，故点C（-4，-2）；将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线得表达式为y=-x2x+1；(2)解：∵点D的横坐标为t，∴点D、E的坐标分别为（t，-t2-t+1）、（t，t+1），直线y=x+1与x轴交于点A，则点A（-，0），∵DE∥y轴，故∠DEF=∠ABO，而tan∠ABO===tan∠DEF，则sin∠DEF=，cos∠DEF=，则p=DE+DF+EF=DE+DEsin∠DEF+DEcos∠DEF=DE（1++）=（-t2-t+1-t-1）=-t2-t，∵-＜0．故p有最大值，当t=-2时，p的最大值为；(3)解：由抛物线的表达式知，其对称轴为x=-，设点P（-，m），而点B、C的坐标分别为（0，1）、（-4，-2），则PB2=（）2+（m-1）2，PC2=（-+4）2+（m+2）2，同理BC=25，当PB是斜边时，则（）2+（m-1）2=（-+4）2+（m+2）2+25，解得m=-，当PC是斜边时，同理可得m=，故点P的坐标为（-，-）或（-，）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3、(1)1，-2，-3(2)10abc，60【解析】【分析】（1）先根据长方体的平面展开图确定a、b、c所对的面的数字，再根据相对的两个面上的数互为相反数，确定a、b、c的值；（2）首先去括号进而合并同类项，再代入（1）中数据求值．(1)解：由长方体纸盒的平面展开图知，a与-1、b与2、c与3是相对的两个面上的数字或字母，因为相对的两个面上的数互为相反数，所以a=1，b=-2，c=-3．故答案为：1，-2，-3．(2)5=5=5=10abc当a=1，b=-2，c=-3时，原式=10×1×（-2）×（-3）=60．【点睛】本题考查了长方体的平面展开图、相反数及代数式的化简求值．解决本题的关键是根据平面展开图确定a、b、c的值．4、(1)y＝2x2﹣6x﹣8(2)P（，﹣5）(3)P点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【解析】【分析】（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线经过抛物线与x轴交点，故根据抛物线可求AB两点坐标进而由交点式设为，将点代入，即可求出解；（2）由抛物线对称性可知PA=PB，∴，根据三角形两边之差小于第三边可知当A、C、P三点共线时，的值最大，而P点在对称轴为上，由此求出点P坐标；（3）根据点A、B、C坐标可证明△ABC为直角三角形，与相似，分两种情况讨论：当、时，分别利用对应边成比例求解即可．(1)当y＝0时，x2x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．(2)∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x，∴点P在直线x上，∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x的交点，∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）(3)由题意，AB＝5，CB＝2，CA，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，∵yx2x﹣2（x）2，∴顶点D（，），由题意，∠PDQ不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时，，设Q（x，x2x﹣2），则P（，x2x﹣2），∴DPx2x﹣2﹣（）x2x，QP＝x，∵PD＝2QP，∴2x﹣3x2x，解得x或（舍弃），∴P（，）．②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得PQ＝2PD，xx2﹣3x，解得x或（舍弃），∴P（，）．第二种情形：当∠DQP＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时，，过点Q作QM⊥PD于M．则△QDM∽△PDQ，∴，由图3﹣3可知，M（，），Q（，），∴MD＝8，MQ＝4，∴DQ＝4，由，可得PD＝10，∵D（，）∴P（，）．②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M．同法可得M（，），Q（，），∴DM，QM＝1，QD，由，可得PD，∴P（，）．综上所述：P点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．【点睛】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答．5、(1)见解析(2)m＝﹣1+或m＝﹣1﹣【解析】【分析】（1）令，根据一元二次方程根的判别式可得方程有两个不相等的实数根，即可证明函数图象与x轴的交点；（2）将函数解析式变形可得A(0,m2+2m)，B(m+1,−1)，根据题意，作出相应图象，结合图象及轴对称的性质，可得∠(1)证明：令，则x2−∵∆=−(2m+2)∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，∴不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)解：∵抛物线y=x2−∴A(0,m∵y=x∴该抛物线的顶点为B(m+1,−1)，将该抛物线沿y轴翻折后得到的新抛物线的顶点为B1如图，设交y轴于点D，由翻折可知，是以y轴为对称轴的轴对称图形，且边被y轴垂直平分，∴AD垂直平分，∴轴，，∠ADB＝90°；当是等边三角形时，则∠ABD＝60°，∴tan∠∴m2整理，得m+1=解得m=−1+3或m=−1−【点睛】题目主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的基本性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，正切函数的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．6、(1)yx2x﹣2(2)(3)存在，点P的坐标为或【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），待定系数法求解即可；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，可证△AKE∽△DFE，有，可知，设直线BC的解析式为y＝kx+b，待定系数法求得BC的解析式为yx﹣2，AK，设D（m，m﹣2），则F（m，m﹣2），∴DFm+2，代入，计算求解即可；（3）由l∥BC，可得直线l的解析式为yx，设P（a，），分两种情况求解：①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，由A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），计算可得AC2+BC2＝AB2，有∠ACB＝90°，△PQB∽△CAB，，有∠MQP＝∠BPN，△QPM∽△PBN，，进而表示出Q的坐标，然后代入抛物线的解析式计算求出符合题意的解即可，进而得到P的坐标；②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标，进而得到P的坐标．(1)解：设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．∵将C（