难点解析-海南省五指山市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专题攻克练习题（含答案详解）

海南省五指山市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专题攻克考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（

）A． B． C． D．2、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（

）A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A． B． C． D．4、如图，在中，，两直角边，，现将AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD长为（

）A． B． C． D．5、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（

）A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m6、为⊙外一点，与⊙相切于点，，，则的长为（

）A． B． C． D．7、如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．2、如图，在四边形中，，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．3、《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．则芦苇长_____尺．4、把一根长12厘米的木棒，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两段，用得到的三根木棒首尾依次相接，摆成的三角形形状是______．5、如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是__．6、我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？则水深DE为_____尺．7、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则____________．8、把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一直线上．若，则____．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、已知：在中，点在直线上，点在同一条直线上，且，【问题初探】（1）如图1，若平分，求证：．请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．【变式再探】（2）如图2，若平分的外角，交的延长线于点，问：和的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．【拓展运用】（3）如图3，在的条件下．若，求的长度．2、在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？3、（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形．（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理．（3）应用：测量旗杆的高度：校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米．请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题．（画出示意图并计算出这根旗杆的高度）．4、如图，已知和中，，，，点C在线段BE上，连接DC交AE于点O．（1）DC与BE有怎样的位置关系？证明你的结论；（2）若，，求DE的长．5、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C会受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？6、我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．（1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是△APD的准外心；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，试求AP的长．7、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22=，；OA32=12+，；OA42=12+，…（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OAn2=______；Sn=______．（2）求出OA10的长．（3）若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？（4）求出S12+S22+S32+…+S102的值．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】由已知证得，进而确定三个内角的大小，求得，进而可得到答案．【详解】解：∵∴∴又∵∴∴∵在等腰直角三角形中∴∴∴∵∴故选：B．【考点】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键．2、B【解析】【详解】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6cm，∴AB′=cm.故选B..3、A【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【详解】过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴，∵FC=FG，∴，解得：FC=，即CE的长为．故选A．【考点】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．4、A【解析】【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．【详解】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，∴AB＝（cm），由折叠的性质得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝10cm−6cm＝4cm，∠BED＝90°，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝8−x，在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，即42＋x2＝（8−x）2，解得：x＝3，∴CD＝3cm，故选：A．【考点】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．5、C【解析】【分析】如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案．【详解】解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+0.72＝6.25，∴BD2＝5.76，∵BD＞0，∴BD＝2.4米，∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．故选：C．【考点】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．6、A【解析】【分析】连接OT，根据切线的性质求出求，结合利用含的直角三角形的性质求出OT，再利用勾股定理求得PT的长度即可．【详解】解：连接OT，如下图．∵与⊙相切于点，∴．∵，，∴，∴．故选：A．【考点】本题考查了切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，求出OT的长度是解答关键．7、A【解析】【分析】根据勾股定理，求出FC=，令DE=x，在Rt中，EC2=，在Rt中，EC2==，代入求解即可．【详解】解：由题意，得∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m，=，由勾股定理，得FC=，EC2=，EC2=，∴=，令DE=x，则EF=x+8，∴，整理，得16x=32，解得x=2．故选：A．【考点】本题考查利用勾股定理求线段长，拓展一元一次方程，正确的运算能力是解决问题的关键．二、填空题1、7.5；【解析】【分析】旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【详解】解：如图，设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，解得：x=7.5，∴旗杆的高度为7.5m，故答案为7.5．【考点】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．2、29【解析】【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的值，由此即可得出答案．【详解】如图，连接AC，由题意得：，在中，，，在中，，，则正方形丁的面积为，故答案为：29．【考点】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．3、13【解析】【分析】将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知B'C＝5尺，设水深AC＝x尺，则芦苇长（x+1）尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【详解】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，在Rt△CAB′中，AC2+B′C2＝AB′2，即x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，∴x+1＝13，故芦苇长13尺，故答案为：13【考点】本题考查勾股定理，和列方程解决实际问题，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．4、直角三角形【解析】【分析】首先计算出第三条铁丝的长度，再利用勾股定理的逆定理可证明摆成的三角形是直角三角形．【详解】解：12-3-5=4（cm），∵32+42=52，∴这三条铁丝摆成的三角形是直角三角形，故答案为：直角三角形．【考点】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．5、2.5【解析】【分析】首先先过点D作AB的垂直线段DE，根据勾股定理把BC求出,然后根据角平分线的性质定理得出DE=DC，再根据ABC的面积等于ACD的面积加上ABD的面积，把CD求出，最后BD的长度即可求出．【详解】过点D作DEAB于E，在ABC中，C=，AB=5，AC=3，∴，∵AD平分BAC，∴DE=DC，∵，即，解得CD=1.5，∴BD=4-CD=4-1.5=2.5，故答案为：2.5．【考点】本题考查了勾股定理和角平分线的性质定理，正确作出辅助线，根据面积相等把CD求出是解题的关键．6、12【解析】【分析】设水深为h尺，则芦苇长为(h+1)尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．【详解】设水深为h尺，则芦苇长为(h+1)尺，根据勾股定理，得(h+1)2-h2=52解得h=12，∴水深为12尺，故答案是：12．【考点】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．7、34【解析】【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【详解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案为：34．【考点】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．8、．【解析】【分析】如图，先利用等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【详解】如图，过点作于，在中，，，，两个同样大小的含角的三角尺，，在中，根据勾股定理得，，，故答案为．【考点】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．三、解答题1、（1）见解析

（2）；理由见解析

（3）【解析】【分析】（1）根据ASA证明得BE=BC，得，进一步可得结论；（2）根据ASA证明得BE=BC，得；（3）连结，分别求出∠AEB=∠ADE=∠ACB=22．5°,再证明AE=CD，∠ADC=90°，由勾股定理可得AC，由EC=EA+AC可得结论．【详解】解：（1）证明平分，在和中，，；．理由：平分，在和中，，．连结，，，，且，由得，，，．【考点】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD是解答此题的关键．2、第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【解析】【分析】根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，即可得出答案．【详解】解：根据题意得：OA＝16海里/时×1.5小时＝24海里；OB＝12海里/时×1.5小时＝18海里，∵OB2＋OA2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900，∴OB2＋OA2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∵艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，∴∠BOD＝50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【考点】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：如果三角形两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．3、（1）见解析；（2）见解析；（3）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长；8米【解析】【分析】(1)将图1分割成五块：四个直角边分别为1、2的直角三角形，一个边长为2的正方形，再在图2中，拼成边长为的正方形即可．(2)根据20个小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积，根据勾股定理确定截线的长度即可；(3)根据题意，画出图形，可将该问题抽象为解直角三角形问题，该直角三角形的斜边比其中一条直角边多1m，而另一条直角边长为5m，可以根据勾股定理求出斜边的长即可．【详解】解：（1）如图（2）==∴(3)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB长0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的长．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E∵AB⊥BC，DC⊥BC∴∠B=∠C=∠DEB=90º∴四边形BCDE是矩形∴ED=BC=4，BE=DC=0.5设AB=，则AD=+0.5，AE=-0.5

在RtΔAED中AD2=AE2+ED2(+0.5)2=(-0.5)2+42解得：=8答：旗杆的高为8米．【考点】本题考查作图的运用及设计作图和勾股定理的应用，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．4、（1），见解析；（2）【解析】【分析】（1）易证，再根据全等性质即可求得；（2）由BC和CE可得BE，再由全等的，再根据勾股定理即可求得；【详解】（1）．证明：．在和中，．（2），．．【考点】本题考查三角形全等和勾股定理，掌握三角形全等条件是解题的关键．5、（1）会，理由见解析；（2）7h【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，从而判断出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【详解】解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB于D点，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴，∴△ABC为直角三角形，∴，∴，∴，∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C会受到台风影响；（2）由（1）得CD=240km，如图所示，当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，此时△ECF为等腰三角形，∵，∴EF=140km，∵台风的速度为20km/h，∴140÷20=7h，∴台风影响该海港持续的时间有7h．【考点】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾