难点解析鲁教版（五四制）8年级数学下册试题及参考答案详解【研优卷】

鲁教版（五四制）8年级数学下册试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题16分）一、单选题（8小题，每小题2分，共计16分）1、下列方程是一元二次方程的是（）A．x（x+3）=0 B．﹣4y=0 C．2x=5 D．a+bx+c=02、在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（）A． B． C． D．3、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A恰好与点C重合，点B的对应点为点B′，若DC＝4，AF＝5，则BC的长为（）A． B． C．10 D．84、下列方程中，是一元二次方程的是（）A．y＝2x﹣1 B．x2＝6 C．5xy﹣1＝1 D．2（x+1）＝25、如图，点E，F分别为平行四边形ABCD的边BC，AD上的点，且CE＝2BE，AF＝2DF，AE与BF交于点H，若△BEH的面积为2，则五边形CEHFD的面积是（）A．19 B．20 C．21 D．226、下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．7、下列命题中是真命题的选项是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．三条边都相等的四边形是菱形8、对于一元二次方程来说，当时，方程有两个相等的实数根，若将c的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．不能确定；第Ⅱ卷（非选择题84分）二、填空题（7小题，每小题2分，共计14分）1、已知a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式2a﹣的值为___．2、化简：＝_______；－＝_______；()3＝_______；＝_______．3、已知，则______．4、若关于x的二次方程（m﹣1）x2＋2mx＋m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．5、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．6、如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，如果＝，那么＝________________．7、两个相似多边形的周长之比为2，面积之比为m，则m为___________．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、某服装店销售的衬衫原来每件的售价为80元，经过两次降价后每件的售价为64.8元，并且每次降价的百分率相同．(1)求该衬衫每次降价的百分率；(2)若该衬衫每件的进价为60元，该服装店计划通过以上两次降价的方式，将库存的该衬衫40件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于282元，那么第一次降价时至少售出多少件后，方可进行第二次降价？2、如图，RtABC中，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α，A、B的对应点分别为D、E．连接BE并延长，与AD交于点F．(1)如图1，若α＝60°，连接AE，求AE长度；(2)如图2，求证：BF＝DF+CF；(3)如图3，在射线AB上分别取点H、G（H、G不重合），使得BG＝BH＝1，在ABC旋转过程中，当FG﹣FH的值最大时，直接写出AFG的面积．3、如图1，在中，，，，点D、E分别是边、的中点，连接．将绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为．(1)问题发现①当时，________；②当时，______．(2)拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)问题解决绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长________．4、如图，在中，，．(1)求BC的长．(2)在线段BC上取点M，使，求的面积．5、判断下列式子，哪些是二次根式？(1)(2)(3)(4)(5)(6)．6、如图，中，，点D在AB上，，，于点E，把绕点D旋转得，且点G，F在AC上．(1)求证：四边形是正方形；(2)求四边形的面积，7、请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：(1)如图3，在图2的基础上，设与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值为；(2)如图3，若AC＝1，BD＝2，CD＝6，写出此时AP+BP的最小值；(3)求出的最小值．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据含有一个未知数且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程去判定即可．【详解】∵x（x+3）=0，∴＋3x=0，∴A是一元二次方程；∵﹣4y=0中，含有两个未知数，∴B不是一元二次方程；∵2x=5是一元一次方程，∴C不是一元二次方程；∵a+bx+c=0中，没有说明a≠0，∴D不是一元二次方程；故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，正确理解定义是解题的关键．2、B【解析】【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以-即可．【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为-，而A

（4，3），∴A点的对应点C的坐标为（-，-1），故选：B．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．3、D【解析】【分析】由折叠得：FA＝FC＝5，∠CFE＝∠AFE，再由矩形的性质，得出△DCF是直角三角形，利用勾股定理可计算出DF点长，后可得出结论．【详解】解：由折叠得：FA＝FC＝5，∵四边形ABCD是矩形，CD＝4，∴△CDF是直角三角形，∴DF＝=3，∴BC＝AD＝AF+DF＝8；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质，准确使用勾股定理是解题的关键．4、B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；B．x2＝6是一元二次方程，故本选项符合题意；C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；D．是一元一次方程，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．5、D【解析】【分析】通过证明△BEH∽△FAH，可得HF＝2BH，AH＝HE，由面积数量关系可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，AD∥BC，∵CE＝2BE，AF＝2DF，∴BE＝DF，AF＝CE，∵AD∥BC，∴△BEH∽△FAH，∴，∴HF＝2BH，AH＝2HE，∴S△ABH＝2S△BEH＝4，S△AFH＝2S△ABH＝8，∴S△ABF＝12，∴，∴五边形CEHFD的面积，故选：D．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形面积之间的关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法与性质．6、A【解析】【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②分母不含根号；即为最简二次根式，由此即可求解．【详解】解：A、，选项不是最简二次根式，B、C、D选项均为最简二次根式，故选：A．【点睛】此题考查判断最简二次根式，解题关键在于理解最简二次根式的判断及化简方法．7、C【解析】【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项．【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；B．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；D．四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；故答案选：C．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．8、C【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可得．【详解】解：由题意可知：，，，当时，，当时，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程利用根的判别式判断根的情况，解题的关键是熟练运用根的判别式进行求解．二、填空题1、3【解析】【分析】把代入已知方程可求得，然后等式两边都除以a整理即可．【详解】解a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的根，把x＝a代入2x2﹣3x﹣5＝0得2a2﹣3a﹣5＝0，所以2a2﹣3a＝5，∵a≠0，∴等式两边都除以a得即．2、－100－13－【解析】【分析】根据二次根式的性质化简，求一个数的立方根，根据实数大小比较化简绝对值，分别求解即可【详解】＝；－＝；()3＝；＝．故答案为：；；；【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，求一个数的立方根，根据实数大小比较化简绝对值，正确的计算是解题的关键．3、【解析】【分析】利用比例的基本性质，进行计算即可．【详解】解：，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质．4、m＞且m≠1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到不等式组：，进而即可求出m的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，∴，解得m＞且m≠1．故答案为：m＞且m≠1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和判别式，根据定义解不等式是解题的关键．5、1【解析】【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可．【详解】解：根据题意得，解得m=1．故答案为1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．6、【解析】【分析】由DE∥AB可得，进而结合题干中的条件得到AE＝DE，即可求解．【详解】解：∵DE∥AB，∴，∴，又∵＝，∴＝，又∵AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAE，∴AE＝DE，∴＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、角平分线的定义；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．7、4【解析】【分析】由相似的性质可知：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可得出结论．【详解】解：由相似的性质可知：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方∴故答案为：4．【点睛】本题考查了相似多边形的性质．解题的关键在于明确相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系．三、解答题1、(1)该商品每次降价的百分率为10%；(2)第一次降价至少售出13件后，方可进行第二次降价．【解析】【分析】（1）设该商品每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价×（1-每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值可得出该商品每次降价的百分率为10%；（2）设第一次降价后售出m件，则第二次降价后售出（40-m）件，利用总利润=销售收入-进货总价，结合两次降价销售的总利润不少于282元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．(1)解：设该商品每次降价的百分率为x，依题意得：80（1-x）2=64.8，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．答：该商品每次降价的百分率为10%；(2)解：设第一次降价后售出m件，则第二次降价后售出（40-m）件，依题意得：，解得：，∵m为整数，∴m的最小值是13，答：第一次降价至少售出13件后，方可进行第二次降价．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．2、(1)(2)见解析(3)【解析】【分析】（1）由α＝60°，可以推得∠ABE＝30°，作AG⊥BE于G，利用勾股定理即可求出AE；（2）由对顶三角形推出∠AFB＝45°，通过构造K型全等△CEN≌△EDM，从而构造除了两个等腰直角三角形，从而求出BF＝DF＋CF；（3）关键在于利用FG−FH的值最大确定F的位置，由∠AFC＝90°，斜边为定长可以确定F的轨迹是以O为圆心，AC为半径的圆，利用子母型相似得出FQ＝FG，从而得出当F、H、Q三点共线时，FG−FH的值最大，进一步求出=．(1)解：如图1，作AG⊥BE于G，∵α＝60°，∴∠BCE＝60°，∵BC＝CE＝2，∴△BCE为等边三角形，∴∠ABE＝30°，∵AB＝2，∠AGB＝90°，∴AG＝1，BG＝，∴GE＝2﹣，在Rt△AGE中，AE2＝AG2+GE2，∴，(2)证明：如图2，作DM⊥BE延长线于M，CN⊥BE于N，∵∠ECN+∠CEN＝∠DEM+∠CEN，∴∠ECN＝∠DEM，∵∠CNE＝∠EMD，CE＝ED，∴△CEN≌△EDM（AAS）∴CN＝EM，EN＝DM，∵BC＝CE，CN⊥BE，∴BN＝EN，∴DM＝BN，∵∠FBC＝∠FAC，∴∠AFB＝∠ACB＝45°，∴∠DFM＝45°，∴DM＝MF，∴，∴DE＝FN，∴CN＝FN，∴，∴，(3)解：取AC的中点O，连接OH、OF、OG，在OG上取，∵∠AFB+∠CFB＝90°，∴，∵AH＝HB，∴，∴，∴OF2＝OQ×OG，∵∠FOG＝∠QOF，∴△FOG～△QOF，，∴，当F、H、Q三点共线时，的值最大，此时：=.【点睛】此题是几何综合题，主要考查了旋转问题求线段长度，K型全等，线段和差问题，求出∠BFC＝45°是解本题的关键．3、(1)，(2)当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，证明见解析(3)BD的长为或【解析】【分析】（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据＝，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据＝＝，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．(1)解：①当α＝0°时，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝＝2，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，∴＝．②如图1中，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵＝，∴＝＝．故答案为：①，②．(2)解：如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝，即当0°≤α＜360°时，的大小没有变化．(3)解：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，∴BE＝＝＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵＝，∴BD＝＝．②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，BE＝＝＝1，AE＝AB-BE=4﹣1＝3，∵＝，∴BD＝，综上所述，满足条件的BD的长为或．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．4、(1)4(2)4−4【解析】【分析】（1）过A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质可求解∠B＝∠C＝30°，结合含30°角的直角三角形的性质可求解AD的长，再利用勾股定理可求解BD的长，进而可求解；（2）利用三角形的面积可求解．(1)解：过A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，BC＝2BD，∴∠B＝∠C＝30°，∴AD＝AB＝2，∴BD＝，∴BC＝2BD＝4；(2)如图，∵BM＝AB＝4，BC＝4，∴CM＝BC−BM＝4−4，∴＝CM•AD＝×(4−4)×2＝4−4．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的面积，含30°角的直角三角形的性质，灵活运用含30°角的直角三角形的性质求解角的度数是解题的关键．5、(1)是(2)不是(3)是(4)不是(5)是(6)不是【解析】【分析】根据二次根式的定义直接判断即可以得出答案．(1)解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，>0，∴是二次根式；(2)解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，∵-3<0；∴不是二次根式．(3)解：∵x2≥0，∴x2+1>0，又∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，∴是二次根式．(4)解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，的根指数是3，∴不是二次根式．(5)解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，，∴是二次根式(6)解：∵当x>2时，2-x<0，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，∴不是二次根式．【点睛】此题的主要考查了二次根式的知识，解题的关键就是理解二次根式的意义，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数．6、(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得≌，进而可得，根据三个角是直角的四边形证明四边形CEDF是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可得证；（2）在中，根据勾股定理得根据等面积法即可求