202X台州市初一数学上册期末压轴题汇编

202X台州市初一数学上册期末压轴题汇编一、七年级上册数学压轴题1．如图1，在平面内，已知点O在直线上，射线、均在直线的上方，（），，平分，与互余．（1）若，则________°；（2）当在内部时①若，请在图2中补全图形，求的度数；②判断射线是否平分，并说明理由；（3）若，请直接写出的值．答案：（1）；（2）①补全图形见解析；；②OF平分，理由见解析；（3）或．【分析】（1）根据∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE：∠BOE=1：5，再根据∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解；解析：（1）；（2）①补全图形见解析；；②OF平分，理由见解析；（3）或．【分析】（1）根据∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE：∠BOE=1：5，再根据∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解；（2）①根据题意即可补全图形；根据∠DOF与∠AOC互余，可求出∠DOF，又因为OD平分∠COE，可求得∠DOE，根据∠EOF=∠DOF-∠DOE即可求解；②根据∠DOF=-∠AOC，∠BOF=，即可求证；（3）分两种情况进行计算：①OF在∠BOC内部，根据∠EOF=4∠AOC=，OD平分∠COE，∠COE=，可得∠DOE=∠COD=，继而可得∠DOF=∠DOE+∠EOF=+==∠BOF，根据∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°即可求出的值；②OF在∠BOC外部，根据∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF，可得到∠AOF=，又因为∠DOF与∠AOC互余，可得到∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，继而可求出的值．【详解】解：（1）∵AB为直线，∴∠AOE+∠BOE=180°，又∵∠AOE：∠BOE=1：5，∴∠AOE=，∵∠AOC=，∠COE=，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=+==30°，解得：；（2）①补全的图形见下图：∵∠DOF与∠AOC互余，∴∠DOF=-∠AOC=70°，∵OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE==20°，∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=；②OF平分∠BOD，理由如下：由题意得：∠DOF=-∠AOC=-，∠BOF===，∴∠DOF=∠BOF，∴OF平分∠BOD；（3）分两种情况：①当OF在∠BOC内部时，如下图所示：∵∠EOF=4∠AOC=，OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE=∠COD=，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=+==∠BOF，∴∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°，即，解得：；②当OF在∠BOC外部时，如下图所示：∵OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE=∠COD=，∵∠EOF=4∠AOC=，∴∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF=++∠AOF=，∴∠AOF=，∵∠DOF与∠AOC互余，∴∠DOF+∠AOC=90°，即∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，∴+++=90°，解得：综上所述，的值为或．【点睛】本题考查角平分线、余角补角、尺规作图等知识，综合运用相关知识点是解题的关键．2．已知多项式，次数是b，4a与b互为相反数，在数轴上，点A表示a，点B表示数b．(1)a=，b=；(2)若小蚂蚁甲从点A处以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以4个单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．(写出解答过程)(3)若小蚂蚁甲和乙约好分别从A，B两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，设小蚂蚁们出发t(s)时的速度为v(mm/s)，v与t之间的关系如下图，(其中s表示时间单位秒，mm表示路程单位毫米)t（s）0＜t≤22＜t≤55＜t≤16v（mm/s）10168①当t为1时，小蚂蚁甲与乙之间的距离是．②当2＜t≤5时，小蚂蚁甲与乙之间的距离是．(用含有t的代数式表示)答案：（1）-2，8；（2）秒或10秒；（3）①30mm；②32t-14【分析】（1）根据多项式的次数的定义可得b值，再由相反数的定义可得a值；（2）分两种情况讨论：①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤解析：（1）-2，8；（2）秒或10秒；（3）①30mm；②32t-14【分析】（1）根据多项式的次数的定义可得b值，再由相反数的定义可得a值；（2）分两种情况讨论：①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时，此时OA=2+3t，OB=8-4t；②甲向左运动，乙向右运动，即t＞2时，此时OA=2+3t，OB=4t-8；（3）①令t=1，根据题意列出算式计算即可；②先得出小蚂蚁甲和乙爬行的路程及各自爬行的返程的路程，则可求得小蚂蚁甲与乙之间的距离．【详解】解：（1）∵多项式4x6y2-3x2y-x-7，次数是b，∴b=8；

∵4a与b互为相反数，

∴4a+8=0，

∴a=-2．

故答案为：-2，8；

（2）分两种情况讨论：

①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时，此时OA=2+3t，OB=8-4t；

∵OA=OB，

∴2+3t=8-4t，

解得：t=；②甲向左运动，乙向右运动，即t＞2时，此时OA=2+3t，OB=4t-8；∵OA=OB，

∴2+3t=4t-8，

解得：t=10；

∴甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t为秒或10秒；（3）①当t为1时，小蚂蚁甲与乙之间的距离是：8+10×1-（-2-10×1）=30mm；②∵小蚂蚁甲和乙同时出发以相同的速度爬行，∴小蚂蚁甲和乙爬行的路程是相同的，各自爬行的总路程都等于：

10×2+16×3+8×11=156（mm），

∵原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，

∴小蚂蚁甲和乙返程的路程都等于78mm，

∴甲乙之间的距离为：8-（-2）+10×2×2+16×（t-2）×2=32t-14．故答案为：32t-14．【点睛】本题考查了一元一次方程在数轴上两点之间的距离问题中的应用，具有方程思想并会分类讨论是解题的关键．3．数轴上有三点，给出如下定义；若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的：“关联点”（1）例图，数轴上点三点所表示的数分别为，点到点的距离，点到点的距离是，因为是的两倍，所以称点是点的“关联点”．（2）若点表示数点表示数，下列各数所对应的点分别是，其中是点的“关联点”的是；（3）点表示数，点表示数为数轴上一个动点；若点在点的左侧，且点是点的“关联点”，求此时点表示的数；若点在点的右侧，点中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”．请直接写出此时点表示的数答案：（1）2，1；（2）；；（3）当P在点B的左侧时，P表示的数为-35或或；若点P在点B的右侧，P表示的数为40或或．【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式直接可求得；（2）根据题意求得CA解析：（1）2，1；（2）；；（3）当P在点B的左侧时，P表示的数为-35或或；若点P在点B的右侧，P表示的数为40或或．【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式直接可求得；（2）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；（3）根据PA=2PB或PB=2PA列方程求解；分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点三种情况列方程解答．【详解】解：（1）三点所表示的数分别为，AB=3-1=2；BC=4-3=1，故答案是：2，1；（2）点A表示的数为-2，点B表示的数为1，表示的数为-1=1,=2是点A,B的“关联点”点A表示的数为-2，点B表示的数为1，表示的数为2=4,=1不是点A,B的“关联点”点A表示的数为-2，点B表示的数为1，表示的数为4=6,=3是点A,B的“关联点”点A表示的数为-2，点B表示的数为1，表示的数为6=8,=5不是点A,B的“关联点”故答案为：（3）①若点P在点B的左侧，且点P是点A,B的“关联点”，设点P表示的数为（I）当P在点A的左侧时，则有：2PA=PB，即2（-10-）=15-解得=-35（II）当点P在A,B之间时，有2PA=PB或PA=2PB既有2（+10）=15-或+10=2（15-）解得=或因此点P表示的数为-35或或②若点P在点B的右侧（I）若点P是A,B的“关联点”则有2PB=PA即2（-15）=+10解得=40（II）若点B是A,P的“关联点”则有2AB=PB或AB=2PB即2（15+10）=-15或15+10=2（x-15）解得=65或（III）若点A是B,P的“关联点”则有2AB=AP即2（15+10）=+10解得=40因此点P表示的数为40或或【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解关联点的概念，分情况讨论列式是解题关键．4．如图，在数轴上，点O是原点，点A，B是数轴上的点，已知点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足．（1）在数轴上标出点A，B的位置．（2）在数轴上有一个点C，满足，则点C对应的数为________．（3）动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动设运动时间为t秒（）．①当为何值时，原点O恰好为线段PQ的中点．②若M为AP的中点，点N在线段BQ上，且，若时，请直接写出t的值．答案：（1）见解析；（2）；（3）①时，点O恰好为线段PQ的中点；②当MN=3时,的值为或秒．【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得出，，得出，，画出图形即可；（2）设点C对应的数为x，分两解析：（1）见解析；（2）；（3）①时，点O恰好为线段PQ的中点；②当MN=3时,的值为或秒．【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得出，，得出，，画出图形即可；（2）设点C对应的数为x，分两种情况，画出示意图，由题意列出方程，解方程即可；（3）①分相遇前和相遇后两种情况，画出示意图，由题意列出方程，解方程即可；②根据题意得到点Q、点N对应的数，列出绝对值方程即可求解．【详解】（1）∵，∴，，∴，，点A，B的位置如图所示：（2）设点C对应的数为，由题意得：C应在A点的右侧，∴CA==，①当点C在线段AB上时，如图所示：则CB=，∵CA-CB=，∴，解得：；②当点C在线段AB延长线上时，如图所示：则CB=，∵CA-CB=，∴，方程无解；综上，点C对应的数为；故答案为：；（3）①由题意得：，，分两种情况讨论：相遇前，如图：，，∵点O恰好为线段PQ的中点，∴，解得：；相遇后，如图：，，∵点O恰好为线段PQ的中点，∴，解得：，此时，，不合题意；故时，点O恰好为线段PQ的中点；②当运动时间为t秒时，点P对应的数为()，点Q对应的数为()，∵M为AP的中点，点N在线段BQ上，且，∴点M对应的数为，点N对应的数为，∵，∴，∴，∴或，答：当的值为或秒时，．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性以及数轴，解题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面，分类讨论，不要遗漏．5．点A，B为数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，a3＝﹣8．（1）求A，B两点之间的距离；（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为x，试猜想当x满足什么条件时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；（3）若P，Q为数轴上的两个动点（Q点在P点右侧），P，Q两点之间的距离为m，当点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为．答案：（1）5；（2）当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5，见详解；（3）1或9【分析】（1）先根据立方根的定义求出a，再根据两点之间的距离公式即可求解；（2）当解析：（1）5；（2）当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5，见详解；（3）1或9【分析】（1）先根据立方根的定义求出a，再根据两点之间的距离公式即可求解；（2）当点C在数轴上A、B两点之间时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，依此即可求解；（3）分两种情况：点P在点A的左边，点P在点B的右边，进行讨论即可求解．【详解】解：（1）∵a3＝﹣8．∴a＝﹣2，∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；（2）点C到A的距离为|x+2|，点C到B的距离为|x﹣3|，∴点C到A点的距离与点C到B点的距离之和为|x+2|+|x﹣3|，当距离之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，此时的最小值为3﹣（﹣2）＝5，∴当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5；（3）设点P所表示的数为x，∵PQ＝m，Q点在P点右侧，∴点Q所表示的数为x+m，∴PA＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|∴点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和为：PA+QB＝|x+2|+|x+m﹣3|当x在﹣2与3﹣m之间时，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值为|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4时，解得，m＝1，故答案为：1或9．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．6．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．（1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？答案：（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离解析：（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．故答案是：-4或-16．（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；综上所述，t的值为：1.5或3或9．【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．7．如图，点、和线段都在数轴上，点、、、起始位置所表示的数分别为、0、2、14：线段沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度移动，移动时间为秒．（1）当时，的长为______，当秒时，的长为_____．（2）用含有的代数式表示的长为______．（3）当_____秒时，，当______秒时，．（4）若点与线段同时出发沿数轴的正方向移动，点的速度为每秒3个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻是的，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．答案：（1）1；5；（2）1+2t；（3）4，7；（4）t=5或t=【分析】（1）依据A、C两点间的距离求解即可；（2）t秒后点C运动的距离为2t个单位长度，从而点C表示的数；根据A、C两点间的距离解析：（1）1；5；（2）1+2t；（3）4，7；（4）t=5或t=【分析】（1）依据A、C两点间的距离求解即可；（2）t秒后点C运动的距离为2t个单位长度，从而点C表示的数；根据A、C两点间的距离求解即可．（3）t秒后点C运动的距离为2t个单位长度，点B运动的距离为2t个单位长度，从而可得到点A、点D表示的数；根据两点间的距离=|a-b|表示出AC、BD，根据AC-BD=5和AC+BD=17得到关于t的含绝对值符号的一元一次方程，分别解方程即可得出结论；（4）假设能够相等，找出AC、BD，根据AC=2BD即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：（1）当t=0秒时，AC=1+0=1；当t=2秒时，移动后C表示的数为4，∴AC=1+4=5．故答案为：1；5．（2）点A表示的数为-1，点C表示的数为2t；∴AC=1+2t．故答案为1+2t．（3）∵t秒后点C运动的距离为2t个单位长度，点B运动的距离为2t个单位长度，∴C表示的数是2t，B表示的数是2+2t，∴AC=1+2t，BD=|14-（2+2t）|，∵AC-BD=5，∴1+2t-|14-（2+2t）|=5，解得：t=4．∴当t=4秒时AC-BD=5；∵AC+BD=17，∴1+2t+|14-（2+2t）|=17，解得：t=7；当t=7秒时AC+BD=17，故答案为4，7；（4）假设能相等，则点A表示的数为-1+3t，C表示的数为2t，B表示的数为2t+2，D表示的数为14，∴AC=|-1+3t-2t|=|-1+t|，BD=|2t+2-14|=|2t-12|，∵AC=2BD，∴|-1+t|=2|2t-12|，解得：t=5或t=．【点睛】本题考查了数轴以及一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．8．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．①此时t的值为；（直接填空）②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．答案：（1）①3，②是，理由见解析；（2）t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE；理由见解析；（3）经秒时，OC平分∠DOB．画图说明理由见解析．【分析】（1）①根据题意可直接求解；②根据题意易得∠C解析：（1）①3，②是，理由见解析；（2）t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE；理由见解析；（3）经秒时，OC平分∠DOB．画图说明理由见解析．【分析】（1）①根据题意可直接求解；②根据题意易得∠COE＝∠AOE，问题得证；（2）根据题意先求出射线OC绕点O旋转一周的时间，设经过x秒时，OC平分∠DOE，然后由题意分类列出方程求解即可；（3）由（2）可得OD比OC早与OB重合，设经过x秒时，OC平分∠DOB，根据题意可列出方程求解．【详解】（1）①∵∠AOC＝30°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝BOC＝75°，∴t＝；故答案为3；②是，理由如下：∵转动3秒，∴∠AOE＝15°，∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝15°，∴∠COE＝∠AOE，即OE平分∠AOC．（2）三角板旋转一周所需的时间为＝＝72（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为＝45（秒），设经过x秒时，OC平分∠DOE，由题意：①8x﹣5x＝45﹣30，解得：x＝5，②8x﹣5x＝360﹣30+45，解得：x＝125＞45，不合题意，③∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为＝45（秒），45秒后停止运动，∴OE旋转345°时，OC平分∠DOE，∴t＝＝69（秒），综上所述，t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE．（3）如图3中，由题意可知，OD旋转到与OB重合时，需要90÷5＝18（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（180﹣30）÷8＝（秒），所以OD比OC早与OB重合，设经过x秒时，OC平分∠DOB，由题意：8x﹣（180﹣30）＝（5x﹣90），解得：x＝，所以经秒时，OC平分∠DOB．【点睛】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，关键是根据线的运动得到角的等量关系，然后根据题意列出式子计算即可．9．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣7）2=0．（1）a=，b=，c=；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB=，AC=，BC=．（用含t的代数式表示）（4）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．答案：（1）-2，1，c=7；（2）4；（3）3t+3，5t+9，2t+6；（4）不变，3BC﹣2AB=12．【分析】（1）利用|a＋2|＋（c−7）2＝0，得a＋2＝0，c−7＝0，解得a，c解析：（1）-2，1，c=7；（2）4；（3）3t+3，5t+9，2t+6；（4）不变，3BC﹣2AB=12．【分析】（1）利用|a＋2|＋（c−7）2＝0，得a＋2＝0，c−7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b＝1；（2）先求出对称点，即可得出结果；（3）AB原来的长为3，所以AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，再由AC＝9，得AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，由原来BC＝6，可知BC＝4t−2t＋6＝2t＋6；（4）由3BC−2AB＝3（2t＋6）−2（3t＋3）求解即可．【详解】（1）∵|a＋2|＋（c−7）2＝0，∴a＋2＝0，c−7＝0，解得a＝−2，c＝7，∵b是最小的正整数，∴b＝1；故答案为：−2；1；7．（2）（7＋2）÷2＝4.5，对称点为7−4.5＝2.5，2.5＋（2.5−1）＝4；故答案为：4．（3）依题意可得AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，BC＝2t＋6；故答案为：3t＋3；5t＋9；2t＋6．（4）不变．3BC−2AB＝3（2t＋6）−2（3t＋3）＝12．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．10．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转（1）试说明∠DPC=90°；（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（3）如图③．在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．答案：（1）见解析；（2）；（3）旋转时间为15秒或秒时，PB、PC、PD其中一条射线平分另两条射线的夹角．【分析】（1）结合题意利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明．（2）结合题意根据角平分线的解析：（1）见解析；（2）；（3）旋转时间为15秒或秒时，PB、PC、PD其中一条射线平分另两条射线的夹角．【分析】（1）结合题意利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明．（2）结合题意根据角平分线的定义，利用各角之间的等量关系即可求解．（3）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．根据题意求出t的取值范围，再根据情况讨论，利用数形结合的思想列一元一次方程，求解即可．【详解】（1）∵两个三角板形状、大小完全相同，∴，又∵，∴，∴．（2）根据题意可知，∵，，∴，又∵，∴．（3）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角，∵当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动，∴秒．分三种情况讨论：当PD平分时，根据题意可列方程，解得t=15秒<36秒，符合题意．当PC平分时，根据题意可列方程，解得t=秒<36秒，符合题意．当PB平分时，根据题意可列方程，解得t=秒>36秒，不符合题意舍去．所以旋转时间为15秒或秒时，PB、PC、PD其中一条射线平分另两条射线的夹角．【点睛】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义，图形的旋转．掌握图形旋转的特征，找出其等量关系来列方程求解是解答本题的关键．11．如图1，在内部作射线，，在左侧，且．（1）图1中，若平分平分，则______；（2）如图2，平分，探究与之间的数量关系，并证明；（3）设，过点O作射线，使为的平分线，再作的角平分线，若，画出相应的图形并求的度数（用含m的式子表示）．答案：（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；（3）根据角解析：（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可．【详解】解：（1）∵，，∴，∴，∵平分平分，∴，∴，∴，故答案为：120；（2）．证明：∵平分，∴，∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴；（3）如图1，当在的左侧时，∵平分，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．∵为的平分线，∴．∴；如图2，当在的右侧时，∵平分，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．∵为的平分线，．综上所述，的度数为或．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之间的数量关系．12．如图1，射线OC在AOB的内部，图中共有3个角：AOB、AOC和BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是AOB的奇妙线．（1）一个角的角平分线这个角的奇妙线．（填是或不是）（2）如图2，若MPN60，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10的速度逆时针旋转，当QPN首次等于180时停止旋转，设旋转的时间为t(s)．①当t为何值时，射线PM是QPN的奇妙线？②若射线PM同时绕点P以每秒6的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线PQ是MPN的奇妙线时t的值．答案：（1）是；（2）①9或12或18；②或或【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）①分3种情况，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分解析：（1）是；（2）①9或12或18；②或或【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）①分3种情况，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM=2MPN．列出方程求解即可；②分3种情况，MPN=2QPN；MPQ=2QPN；QPN=2MPQ．列出方程求解即可．【详解】（1）设∠α被角平分线分成的两个角为∠1和∠2，则有∠α=2∠1，∴一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；故答案是：是；（2）①由题意可知射线PM在QPN的内部，∴QPN=（10t），QPM=（10t-60），（a）当QPN=2MPN时，10t=2×60，解得t=12；（b）当MPN=2QPM时，60=2×（10t-60），解得t=9；（c）当QPM=2MPN时，（10t-60）=2×60，解得t=18．故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“奇妙线”；②由题意可知射线PQ在MPN的内部，∴QPN=（10t），MPN=（60+6t），QPM=MPN-QPN=（60-4t），（a）当MPN=2QPN时，60+6t=2×10t，解得t=；（b）当MPQ=2QPN时，60-4t=2×10t，解得t=；（c）当QPN=2MPQ时，10t=2×（60-4t），解得t=．故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为或或．【点睛】本题考查了角之间的关系及一元一次方程的应用，奇妙线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇妙线”的定义是解题的关键．13．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线……显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线．（1）如图，是的三分线，，若，则；（2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数；（3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值．答案：（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或【分析】（1）根据三分线的定义解答即可；（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；（3）根据四分线的定义分类解答即可．【详解】解：解析：（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或【分析】（1）根据三分线的定义解答即可；（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；（3）根据四分线的定义分类解答即可．【详解】解：（1）∵是的三分线，，，∴，故答案为：；（2），是的四分线，，，为的三分线，①当时，，，②当时，，，综上所述，的度数为或，（3）∵射线、是的两条四分线，∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°，如①图，当OC是∠BOD的四分线时，∠BOC=,∠BOD=80°，∠COD=20°，α=30°-20°=10°；如②图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD>∠COD时，∠COD=∠BOC=15°，α=30°+15°=45°；如③图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD<∠COD时，∠COD=∠BOC=45°，α=30°+45°=75°；如④图，当OB是∠COD的四分线时，∠BOC=,∠COD=80°，α=30°+80°=110°；的值为或或或【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想．14．已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点，，（1）如图1，将三角尺绕点逆时针方向转动，当恰好平分时，求的度数；（2）如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角尺在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．答案：（1）；（2）不变．【分析】（1）根据平分，求出∠BOC，再用角的和差求∠AOC即可；（2）根据角平分线的性质，求出∠DON和∠COM的和是∠BOD和∠AOC和的一半即可．【详解】解：（1解析：（1）；（2）不变．【分析】（1）根据平分，求出∠BOC，再用角的和差求∠AOC即可；（2）根据角平分线的性质，求出∠DON和∠COM的和是∠BOD和∠AOC和的一半即可．【详解】解：（1）平分，；图1图2（2）不变．平分，平分，【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质，结合角的和差进行计算是解题关键．15．如图，∠AOB＝150°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每秒6°；射线OD从OB开始，绕点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒14°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t秒（0≤t≤25）．（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；（2）当t为何值时，∠COD＝90°；（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC、OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．答案：（1）；（2）或；（3）存在，或【分析】（1）设，，由列式求出t的值；（2）分情况讨论，射线OC与OD重合前，或射线OC与OD重合后，列式求出t的值；（3）分情况讨论，平分，或平分，或平分，解析：（1）；（2）或；（3）存在，或【分析】（1）设，，由列式求出t的值；（2）分情况讨论，射线OC与OD重合前，或射线OC与OD重合后，列式求出t的值；（3）分情况讨论，平分，或平分，或平分，列式求出t的值．【详解】解：（1）设，，当射线OC与OD重合时，，即，解得，∴当时，射线OC与OD重合；（2）①射线OC与OD重合前，，即，解得；②射线OC与OD重合后，，即，解得，∴当或时，∠COD＝90°；（3）①如图，平分，则，∴，即，解得；②如图，平分，则，∴，即，解得；③如图，OB平分，则，即，解得，∵，∴不成立，舍去；综上，或．【点睛】本题考查角度运动问题，解题的关键是用时间设出角度，根据题意列出方程求解的值．16．如图1，P点从点A开始以的速度沿的方向移动，Q点从点C开始以的速度沿的方向移动，在直角三角形中，，若，，，如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动时间．（1）如图1，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当t为何值时，；（2）如图2，点Q在上运动，当t为何值时，三角形的面积等于三角形面积的；（3）如图3，当P点到达C点时，P，Q两点都停止运动，当t为何值时，线段的长度等于线段的长．答案：（1）4，（2）9，（3）或4【分析】（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．（2）当Q在解析：（1）4，（2）9，（3）或4【分析】（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，列出方程即可解决问题．（3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可．【详解】解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，∵AQ＝AP，∴12﹣t＝2t，∴t＝4．∴t＝4时，AQ＝AP．（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，∴•AB•AQ＝וAB•AC，∴×16×（12﹣t）＝×16×12，解得t＝9．∴t＝9时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的．（3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝16﹣2t，解得t＝4．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16，∵AQ＝BP，∴12﹣t＝2t﹣16，解得t＝．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，∵AQ＝BP，∴t﹣12＝2t﹣16，解得t＝4（舍去），综上所述，t＝或4时，AQ＝BP．【点睛】本题考查线段和差、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．17．综合与探究：射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线．完成下列任务：（1）如图2，，射线是射线的伴随线，则，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是．（用含的代数式表示）（2）如图3，如，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止．①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；②当为多少秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．请直接写出结果．答案：（1），；（2）①存在，当秒或12.5秒时，的度数是；②秒或秒或秒或15秒【分析】（1）根据伴随线和角平分线的性质求解即可；（2）分为若OC与OD在相遇之前、OC与OD在相遇之后两种情况求解解析：（1），；（2）①存在，当秒或12.5秒时，的度数是；②秒或秒或秒或15秒【分析】（1）根据伴随线和角平分线的性质求解即可；（2）分为若OC与OD在相遇之前、OC与OD在相遇之后两种情况求解即可；（3）分为（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：当OC是OA的伴随线时，当OC是OD的伴随线时；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：当OD是OC的伴随线时，当OD是OA的伴随线时，四种情况求解即可.【详解】解：（1）如图4所示，，,如图4所示：，,；故答案为：，；（2）射线与重合时，（秒）①当的度数是时，有两种可能：若OC与OD在相遇之前，如图5：则，∴，若OC与OD在相遇之后，如图6：则，∴；所以，当秒或12.5秒时，的度数是．②（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：，，，当OC是OA的伴随线时，如图7：，即：，解得；当OC是OD的伴随线时，如图8：即：，解得；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：，，当OD是OC的伴随线时，9如图：,即：，解得；当OD是OA的伴随线时，如图10：,即：，解得；综上：当，，，15秒时，、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【点睛】本题考查了提取信息的能力，列代数式，一元一次方程的应用，分类讨论的思想；关键在于根据题意画出图形，建立方程解答．18．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠A