第12章 全等三角形复习与小结- 【高效课堂】25年秋人教版八年级数学上册同步课件

第12章全等三角形复习与小结

人教版数学八年级上册知识梳理全等三角形1.全等三角形的定义2.全等三角形的表示方法和有关概念3.全等三角形的性质及实际应用三角形全等的判定1.三边对应相等(SSS)2.两边及其夹角对应相等(SAS)3.两角及其夹边对应相等(ASA)4.两角及其中一角的对边对应相等(AAS)5.斜边和一条直角边对应相等(HL)角的平分线1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上知识点一

全等三角形知识梳理1、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.2、全等三角形的表示方法全等用符号“≌”表示，记作“△ABC≌△DEF”.ABCDEF3、全等三角形的性质知识点一

全等三角形知识梳理①对应边相等；②对应角相等；③周长相等；④面积相等；⑤对应边上的高相等；⑥对应角的平分线相等；⑦对应边上的中线相等.ABCDEF课堂练习∵△ABC≌△BAD且点A和点B，点C和点D是对应顶点，∴AB=BA，AC=BD，BC=AD.∵AD=9cm，

∴BC=9cm.1、△ABC≌△BAD，若点A和点B，点C和点D是对应顶点，如果AB=4cm，BD=6cm，AD=9cm，,那么BC的长是（）A.4cmB.6cmC.9cmD.不能确定C解：∵∠A=100°，∠B=30°.∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-30°=50°.∵△ABC≌△DEF，∴∠C=∠F，AB=DE.∵∠C=50°，DE=9cm，

∴∠F=50°，AB=9cm.ADFEBC课堂练习2、如图，△ABC≌△DEF，∠A=100°，∠B=30°，DE=9cm.求∠F的度数和边AB的长度.课堂练习3、在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，△MNC≌△BAC，则∠BCN=（）A.10°B.20°C.50°D.80°

B解：设∠A为3x，∠ABC为5x，∠ACB为10x.由三角形内角和得：3x+5x+10x=180°，解得x=10°.则∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°.∵△MNC≌△BAC，

∴∠M=∠ABC=50°，∠N=∠A=30°，∠ACN=∠M+∠N=80°，∠BCN=∠ACB-∠ACN=20°.ANMCB知识点二

三角形全等的判定知识梳理在△ABC和△A′B′C′中，

AB=A′B′，

AC=A′C′，

BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS).1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或者“SSS”）.ABCA’B’C’符号语言表示：知识点二

三角形全等的判定知识梳理ABCA’B’C’符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，

AB=A′B′，

∠B=∠B′，

BC=B′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).2、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或者“SAS”）.知识点二

三角形全等的判定知识梳理ABCA’B’C’符号语言表示：3、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或者“ASA”）.在△ABC和△A′B′C′中，

∠B=∠B′，

BC=∠B′C′，

∠C=∠C′，

∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).知识点二

三角形全等的判定知识梳理ABCA’B’C’符号语言表示：4、两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或者“AAS”）.在△ABC和△A′B′C′中，

∠A=∠A′，

∠B=∠B′，

BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).知识点二

三角形全等的判定知识梳理符号语言表示：ABCB′A′┐┐C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,

AC=A′C′，BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（HL）.5、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或者“HL”）.知识梳理证明两个三角形全等的基本类型已知两边找第三边“SSS”找两边的夹角“SAS”看是否是直角三角形，若是“HL”已知两角找两角的夹边“ASA”找任意一角的对边“AAS”已知一边一角一边和它的邻角一边和它的对角找这个角的另外一边“SAS”找这条边的对角“AAS”看这个角是否是直角，若是，找任意一条直角边“HL”找另外任意一个角“AAS”找这条边的另外一个邻角“ASA”课堂练习1、如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.求证：BD=CE.证明：在△ADC和△AEB中，

∠A=∠A，

AC=AB，

∠C=∠B，

∴△ADC≌△AEB（ASA）.

∴AD=AE.

∵AB=AC，

∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE.

ABCDEO课堂练习2、如图，已知AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.证明：方法一：在线段AB上截取AF=AC，连接EF.

∵AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，

∴∠1=∠2，∠3=∠4.

在△ACE和△AFE中，

AC=AF，

∠1=∠2，

AE=AE，

∴△ACE≌△AFE(SAS).

∴∠5=∠C.

课堂练习2、如图，已知AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.∵AC//BD，

∴∠C+∠D=180°.

∵∠5+∠6=180°，

∴∠6=∠D.在△EFB和△EDB中，

∠6=∠D，

∠3=∠4，

BE=BE，∴△EFB≌△EDB(AAS).

∴FB=BD.∴AB=AF+FB=AC+BD，即AB=AC+BD.

（截长法）

课堂练习2、如图，已知AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.证明：方法二：延长AC至点F，使得AF=AB，连接EF∵AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵在△AEF和△AEB中，AF=AB，

∠1=∠2，

AE=AE，

∴△ACE≌△AFE(SAS)

∴EF=EB，∠F=∠3.

课堂练习2、如图，已知AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD.∵∠3=∠4，

∴∠F=∠4.∵AC//BD，

∴∠FCE=∠D.∵在△CEF和△DEB中，∠FCE=∠D，

∠F=∠4，

EF=EB，∴△CEF≌△DEB(AAS)∴CF=BD.∵AB=AF=AC+CF，

∴AB=AC+BD.

（补短法）

（1）截长法，即在长线段上截取一段，使其等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；（2）补短法，即延长短线段，使其延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段，或者延长短线段，使其等于长线段，然后证明延长的部分等于另一短线段.总结归纳“倍长中线法”构造全等三角形解决问题：知识梳理知识点三

角的平分线1、作已知角的平分线？作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M.（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC，射线OC即为所求.2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.知识梳理知识点三

角的平分线∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.符号语言表示：3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.符号语言表示：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线OC上.课堂练习1、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线.求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC.证明：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.∵AD是△ABC的角平分线，∴DE=DF.又∵S△ABD=AB∙DE，S△ACD=AC∙DF，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC.ABCDEF┐┐课堂练习2、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF=EF.证明：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠POD=∠POE，DP=EP.

∴∠DPF=∠POD+∠ODP，∠EPF=∠POE+∠OEP.

∴∠DPF=∠EPF.

在△DPF和△EPF中，DP=EP，

∠DPF=∠EPF，

PF=PF，

∴△DPF≌△EPF（SAS）.∴DF=EF.OBACPED┐┐F3、如图，点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠