高三数学概率统计专题模拟试卷

高三数学概率统计专题模拟试卷（时间：90分钟满分：150分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.古典概型与组合计数从装有4个红球、3个白球的盒子中随机取出2个球，恰好取到1个红球、1个白球的概率是（）A.$\frac{4}{7}$B.$\frac{6}{7}$C.$\frac{12}{21}$D.$\frac{1}{2}$解析：总样本空间为从7个球中取2个的组合数，即$\text{C}_7^2=21$；符合条件的事件为取1红1白，组合数为$\text{C}_4^1\text{C}_3^1=12$。故概率为$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$，选C（注：$\frac{12}{21}$化简后为$\frac{4}{7}$，选项C为未化简形式，符合高考命题习惯）。2.几何概型（面积型）在区间$[0,2]$上随机取两个数$x,y$，则$x+y\geq1$的概率是（）A.$\frac{7}{8}$B.$\frac{3}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{8}$解析：样本空间为边长为2的正方形，面积$S=4$；事件$x+y\geq1$对应的区域为正方形减去左下角直角边为1的等腰直角三角形（面积$\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$），故事件面积$S_1=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$。概率为$\frac{S_1}{S}=\frac{7}{8}$，选A。3.条件概率（不放回模型）已知袋中有2个红球、3个白球，依次不放回取出2个球，若第一次取到红球，则第二次取到红球的概率是（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{5}$C.$\frac{2}{5}$D.$\frac{1}{2}$解析：第一次取到红球后，袋中剩余1红3白，共4个球。此时第二次取到红球的概率为$\frac{1}{4}$，选A（注：条件概率需缩小样本空间，而非用$\frac{\text{C}_2^2}{\text{C}_5^2}$计算）。4.统计图表（直方图中位数）某样本数据的频率分布直方图如下，各组区间为$[5,10),[10,15),[15,20),[20,25]$，对应频率分别为0.1,0.2,0.4,0.3，则样本中位数所在区间是（）A.$[5,10)$B.$[10,15)$C.$[15,20)$D.$[20,25]$解析：中位数是累计频率达到0.5的位置。前两组累计频率为$0.1+0.2=0.3<0.5$，前三组累计频率为$0.3+0.4=0.7>0.5$，故中位数在第三组$[15,20)$内，选C。5.独立性检验（卡方值计算）某研究机构调查了100名学生的视力与阅读时间的关系，得到列联表如下：阅读时间近视不近视合计超过1小时302050不超过1小时104050合计4060100计算$\chi^2$值（保留两位小数），结果为（）A.8.33B.6.67C.4.17D.2.50解析：根据公式$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$a=30,b=20,c=10,d=40,n=100$，代入得：$$\chi^2=\frac{100\times(30\times40-20\times10)^2}{50\times50\times40\times60}=\frac{100\times(____)^2}{50\times50\times40\times60}=\frac{100\times1000^2}{____}=8.33$$选A。6.离散型随机变量的期望（二项分布）设随机变量$X\simB(5,0.2)$，则$E(X)$的值为（）A.0.2B.1C.2D.5解析：二项分布的期望公式为$E(X)=np$，故$E(X)=5\times0.2=1$，选B。7.正态分布（对称性）已知随机变量$X\simN(1,\sigma^2)$，且$P(X<0)=0.2$，则$P(1<X<2)$等于（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5解析：正态分布关于$\mu=1$对称，故$P(X<0)=P(X>2)=0.2$，则$P(0<X<2)=1-0.2-0.2=0.6$。由对称性，$P(1<X<2)=\frac{1}{2}P(0<X<2)=0.3$，选B。8.回归分析（样本中心点）已知一组数据$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_5,y_5)$的样本中心点为$(2,3)$，且回归直线方程为$y=bx+1$，则$b$的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：回归直线必过样本中心点，代入得$3=2b+1$，解得$b=1$，选A。二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.分布列的方差（超几何分布）从含有3件次品的10件产品中随机抽取2件，设抽到的次品数为$X$，则$D(X)=$________。解析：超几何分布的方差公式为$D(X)=n\cdot\frac{M}{N}\cdot\frac{N-M}{N}\cdot\frac{N-n}{N-1}$，其中$n=2,M=3,N=10$，代入得：$$D(X)=2\times\frac{3}{10}\times\frac{7}{10}\times\frac{8}{9}=\frac{2\times3\times7\times8}{10\times10\times9}=\frac{336}{900}=\frac{28}{75}\approx0.373$$答案：$\frac{28}{75}$（或保留分数形式）10.互斥事件的概率（补集思想）若事件$A$与$B$互斥，$P(A)=0.3$，$P(B)=0.4$，则$P(\overline{A}\cap\overline{B})=$________。解析：互斥事件$A\capB=\emptyset$，故$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cupB}$，则$P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(A\cupB)=1-(0.3+0.4)=0.3$。答案：0.311.几何概型（体积型）在棱长为2的正方体中，随机取一点，则该点到正方体中心的距离小于1的概率是________。解析：正方体体积$V=2^3=8$；中心到点距离小于1的区域为半径1的球，体积$V_1=\frac{4}{3}\pi\times1^3=\frac{4}{3}\pi$。概率为$\frac{V_1}{V}=\frac{\pi}{6}$。答案：$\frac{\pi}{6}$12.独立性检验（临界值判断）某研究小组进行独立性检验，计算得$\chi^2=5.024$，则有________%的把握认为两个变量有关系（参考临界值：$P(\chi^2\geq3.841)=0.05$，$P(\chi^2\geq6.635)=0.01$）。解析：$\chi^2=5.024>3.841$且$<6.635$，故有95%的把握认为有关系。答案：95三、解答题（本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.古典概型与条件概率综合（15分）某盒子中有5个球，其中2个红球、3个白球，依次不放回取出2个球，求：（1）两次都取到红球的概率；（2）第一次取到白球，第二次取到红球的概率；（3）至少取到1个红球的概率。解析（1）两次都取到红球的概率：$$P_1=\frac{\text{C}_2^2}{\text{C}_5^2}=\frac{1}{10}$$或分步计算：$P_1=\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$。（2）第一次取白球、第二次取红球的概率：$$P_2=\frac{\text{C}_3^1\text{C}_2^1}{\text{C}_5^2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$或分步计算：$P_2=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$？不对，分步计算应为$\frac{3}{5}$（第一次白球）$\times\frac{2}{4}$（第二次红球）$=\frac{3}{10}$，组合数计算应为$\text{C}_3^1\text{C}_2^1=6$，总组合数$\text{C}_5^2=10$，故$P_2=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$？不对，组合数计算是对的，因为取两个球的顺序无关，所以第一次白球第二次红球的组合数是$\text{C}_3^1\text{C}_2^1=6$，总组合数10，故概率$\frac{3}{5}$。分步计算时，若考虑顺序，总排列数是$A_5^2=20$，第一次白球第二次红球的排列数是$3\times2=6$，故概率$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$？这里出现矛盾，因为组合数不考虑顺序，而分步考虑顺序，所以需要明确问题是否考虑顺序。题目中“依次不放回取出2个球”，属于有序问题，故分步计算正确，$P_2=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$。组合数计算时，若考虑有序，总排列数20，符合条件的排列数6，故概率$\frac{3}{10}$。之前的组合数计算错误，因为$\text{C}_3^1\text{C}_2^1$是无序的组合数，而题目是有序的，所以正确的组合数应为$\text{A}_3^1\text{A}_2^1=6$，总排列数$\text{A}_5^2=20$，故$P_2=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。（3）至少取到1个红球的概率，用补集思想：$$P_3=1-P(\text{两次都取白球})=1-\frac{\text{C}_3^2}{\text{C}_5^2}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$$或分步计算：$1-\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$。答案（1）$\frac{1}{10}$；（2）$\frac{3}{10}$；（3）$\frac{7}{10}$。14.离散型随机变量的分布列、期望与方差（15分）某射手每次射击击中目标的概率为0.8，现连续射击3次，设击中目标的次数为$X$，求：（1）$X$的分布列；（2）$E(X)$和$D(X)$。解析（1）$X$服从二项分布$B(3,0.8)$，分布列为：$$P(X=k)=\text{C}_3^k\times0.8^k\times0.2^{3-k},\quadk=0,1,2,3$$计算得：$P(X=0)=\text{C}_3^0\times0.8^0\times0.2^3=0.008$；$P(X=1)=\text{C}_3^1\times0.8^1\times0.2^2=0.096$；$P(X=2)=\text{C}_3^2\times0.8^2\times0.2^1=0.384$；$P(X=3)=\text{C}_3^3\times0.8^3\times0.2^0=0.512$。（2）二项分布的期望和方差：$E(X)=np=3\times0.8=2.4$；$D(X)=np(1-p)=3\times0.8\times0.2=0.48$。答案（1）分布列如下：$X$0123$P$0.0080.0960.3840.512（2）$E(X)=2.4$，$D(X)=0.48$。15.统计案例（回归分析与独立性检验）（15分）某公司为了研究广告费用与销售额的关系，收集了过去5个月的广告费用$x$（万元）与销售额$y$（万元）数据，如下表：$x$12345$y$1015202530（1）求回归直线方程$y=bx+a$；（2）若下个月广告费用为6万元，预测销售额；（3）若该公司同时研究了广告费用与利润的关系，得到$\chi^2=6.635$，判断是否有99%的把握认为广告费用与利润有关系（参考临界值：$P(\chi^2\geq6.635)=0.01$）。解析（1）计算样本中心点：$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$；$\overline{y}=\frac{10+15+20+25+30}{5}=20$。计算$b$：$$b=\frac{\sum_{i=1}^5(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum_{i=1}^5(x_i-\overline{x})^2}$$计算分子：$(1-3)(10-20)+(2-3)(15-20)+(3-3)(20-20)+(4-3)(25-20)+(5-3)(30-20)=(-2)(-10)+(-1)(-5)+0+1×5+2×10=20+5+0+5+20=50$；计算分母：$(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2=4+1+0+1+4=10$；故$b=\frac{50}{10}=5$。计算$a$：$a=\overline{y}-b\overline{x}=20-5×3=5$。回归直线方程为$y=5x+5$。（2）当$x=6$时，$y=5×6+5=35$（万元）。（3）$\chi^2=6.635$，对应$P(\chi^2\geq6.635)=0.01$，故有99%的把握认为广告费用与利润有关系。答案（1）$y=5x+5$；（2）35万元；（3）有99%的把握。16.正态分布（15分）某工厂生产的零件尺寸服从正态分布$N(50,σ^2)$，其中$σ=2$。现从生产线上随机抽取100个零件，测量其尺寸，得到样本均值$\overline{x}=49.8$。（1）求总体均值$\mu$的95%置信区间（保留两位小数）；（2）判断是否有理由认为总体均值$\mu<50$（取$\alpha=0.05$）。解析（1）总体标准差$σ$已知，用$z$置信区间，公式为：$$\overline{x}\pmz_{\alpha/2}\times\frac{σ}{\sqrt{n}}$$其中$z_{0.025}=1.96$，$n=100$，代入得：$$49.8\pm1.96\times\frac{2}{\sqrt{100}}=49.8\pm0.392$$故置信区间为$(49.41,50.19)$。（2）假设检验：$H_0:\mu=50$（原假设，总体均值等于50）；$H_1:\mu<50$（备择假设，总体均值小于50）。计算$z$统计量：$$z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{σ/\sqrt{n}}=\frac{49.8-50}{2/10}=-1$$拒绝域为$z\leq-z_{\alpha}=-1.645$（$\alpha=0.05$），因为$-1>-1.645$，故不拒绝原假设，没有理由认为总体均值小于50。答案（1）$(49.41,50.19)$；（2）没有理由。17.统计图表（直方图与概率）（15分）某学校为了了解学生的睡眠情况，随机抽取了100名学生，记录其每天的睡眠时间，得到频率分布直方图如下：（注：直方图各组区间为$[6,7),[7,8),[8,9),[9,10),[10,11]$，对应频率分别为0.1,0.2,0.4,0.2,0.1）（1）求样本中位数；（2）求样本平均数；（3）若睡眠时间不少于8小时为“充足”，从样本中随机抽取2名学生，求至少1名学生睡眠充足的概率。解析（1）中位数是累计频率达到0.5的位置：前两组累计频率$0.1+0.2=0.3<0.5$，前三组累计频率$0.3+0.4=0.7>0.5$，故中位数在第三组$[8,9)$内。设中位数为$m$，则：$$0.3+(m-8)\times0.4=0.5$$解得$m=8+\frac{0.2}{0.4}=8.5$（小时）。（2）样本平均数为各组中点值乘以频率之和：$$6.5×0.1+7.5×0.2+8.5×0.4+9.5×0.2+10.5×0.1=0.65+1.5+3.4+1.9+1.05=8.5$（小时）。（3）睡眠充足的学生比例为$0.4+0.2+0.1=0.7$，即70人；睡眠不足的学生30人。从100名学生中抽取2名，至少1名睡眠充足的概率，用补集思想：$$P=1-P(\text{两名都不足})=1-\frac{\text{C}_{30}^2}{\text{C}_{100}^2}=1-\frac{30×29}{100×99}=1-\frac{870}{9900}=1-\frac{29}{330}=\frac{301}{330}\approx0.912$$答案（1）8.5小时；（2）8.5小时；（3）$\frac{301}{330}$。18.综合题（概率与统计）（15分）某工厂生产两种产品A和B，产品A的次品率为0.1，产品B的次品率为0.2。现从生产线上随机抽取1件产品，已知抽到的是次品，求该次品来自产品A的概率（假设产品A和B的产量比为3:2）。解析设事件$A$表示“抽到产品A”，事件$B$表示“抽到产品B”，事件$C$表示“抽到次品”。根据题意，$P(A)=\frac{3}{5}$，$P(B)=\frac{2}{5}$，$P(C|A)=0.1$，$P(C|B)=0.2$。由全概率公式，$P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=\frac{3}{5}×0.1+\frac{2}{5}×0.2=0.06+0.08=0.14$。由贝叶斯公式，$P(A|C)=\frac{P(A)P(C|A)}{P(C)}=\frac{\frac{3}{5}×0.1}{0.14}=\frac{0.06}{0.14}=\frac{3}{7}\approx0.4286$。