【25年秋季】新人教版八年级数学上册专项讲练专题12.14 角的角平分线的性质（基础篇）（名师详细解析）

专题12.14角的角平分线的性质（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，AB∥CD，∠1=70°，FG平分∠EFD，则∠2的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．70°2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（

）

A．个 B．个 C．个 D．个3．如图，平分，于点，，，则（

）A．28 B．21 C．14 D．74．如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，若，△ABD的面积为60，则CD长(

)A．12 B．10 C．6 D．45．如图，△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10．∠BAC的平分线AD交BC于点D．则DC的长度为（

）A． B．6 C． D．6．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，若，，则的面积等于（）A．36 B．48 C．60 D．727．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（

）A．62° B．56° C．52° D．46°8．如图，在△ABC中，O是在△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠BOC＝126°，则∠A的度数为（）A．72° B．27° C．54° D．108°9．如图，，是的中点，平分，且，则（

）A． B． C． D．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（

）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（

）A．15 B．30 C．45 D．6012．如图是“一带一路”示意图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地，分别连接、、，形成一个三角形．若想在三角形内部建立一个货物中转仓，使其到边、、的距离相等，则中转仓的位置应选在（

）A．三条中线的交点处B．三条高所在直线的交点处C．三条角平分线的交点处D．三边的垂直平分线的交点处13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC边于点D，若BD＝5，则CD的长可能是（

）A．7 B．6 C．5 D．414．如图，用尺规作∠AOB的平分线可以按如下步骤进行：①以点O为圆心，线段m为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M，N为圆心，线段n为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．以下关于线段m，n的长说法正确的是（

）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜MN C．m＞0，n＞MN D．以上都不对15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交边AC于点D．若，AB＝12，则△ABD的面积为（

）A． B． C． D．二、填空题16．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于__________．17．如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若和的周长分别为和，则的长为________．18．如图所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=140°，∠BED的度数为______．19．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为___________.（用含的式子表示）20．如图，在中，，AD是的角平分线，过点D作，若，则______．21．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，，，若△ACD的面积为16，则△ABC的面积为________．22．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝30°，PM＝PN，则∠AOB＝_________．23．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．24．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=60°，∠ADG=120°，则∠DGF=_____________

25．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是___．26．如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由__________________________________________________．27．如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有____处．28．如图，中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点C，作射线，过点C作于点D．交于点E，若，则的度数为_______________．29．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于和，再分别以点为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，过点作于．若，则的面积为________．30．已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为__________．三、解答题31．如图，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，FD的延长线交BE于点E（1）若∠BAC=56°，∠DCA=22°，∠EBD=23°，求∠BEF的度数；（2）若∠BAC=α，∠DCA=β，∠BEF=γ，请直接写出α、β、γ三者之间的关系．32．如图，在中，，BD是的平分线，于点E，点F在BC上，连接DF，且．(1)求证：；(2)若，，求AB的长．33．如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由．34．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求证：CE=CF．参考答案1．B试题分析：由AB∥CD，∠1=70°，可得出∠EFD=∠1=70°，再由角平分线的定义即可得出∠2的度数．解：∵AB∥CD，∠1=70°，∴∠EFD=∠1=70°．又∵FG平分∠EFD，∴∠2=∠EFD=35°．故选B．2．C【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC，∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确．综上，正确的个数的3个，故选：C．【点拨】本题考查了角平分线的性质；题目是一道结论开放性题目，考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．3．C【分析】作于，由角平分线的性质得到，结合三角形面积公式解题．解：作于，平分，，，，，故选：C．【点拨】本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．C【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD，再由△ABD的面积为60，可得DE=6，即可求解．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∵，△ABD的面积为60，∴，解得：DE=6，∴CD=6．故选：C【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．5．A【分析】作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分线性质得DE=DF，则△ABD与△ACD分别以AB、AC为底时高相等，则△ABD与△ACD的面积比=AB：AC=5：7；同时△ABD与△ACD分别以BD、DC为底时高也相等，则△ABD与△ACD的面积比=BD：DC=5：7；求解即可．解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD是∠BAC的平分线，DE=DF，AB=5，AC=7，，BC=10，，故选：A．【点拨】本题考查了角平分线的性质定理及三角形的面积，熟练掌握知识点并能够准确作出辅助线是解题的关键．6．B【分析】作交于点，然后根据角平分线的性质，可以得到，再根据三角形的面积公式，即可求得的面积．解：作交于点，∵是边上的高，∴，∵平分，∴∵，，∴．故选：B．【点拨】本题考查了三角形的面积和角平分线性质．理解和掌握角的平分线的性质定理是解题的关键．7．B【分析】根据题意，两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点P到射线OA，OB的距离相等，进而可得OP是∠AOB的角平分线，进而可得∠AOP=∠BOP，根据平行线的性质可得∠MPO=∠POB，根据三角形的外角性质可得∠AMP=∠AOP+∠MPO，即可求解．解：∵两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，点P到射线OA，OB的距离相等，∴OP是∠AOB的角平分线，∵∠BOP=28°，∴∠AOP=∠BOP=28°，∵MP∥OB∴∠MPO=∠POB=28°∴∠AMP=∠AOP+∠MPO=56°故选：B【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的判定，三角形的外角性质，找到隐含条件P到射线OA，OB的距离相等是解题的关键．8．A【分析】由条件可知、平分和，利用三角形内角和可求得．解：点到三边的距离相等，平分，平分，，，，，故选：A．【点拨】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等．9．A【分析】由已知条件和平行线的性质可得，过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据是的中点，可得，根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，进而可得解：如图，过点作于点，,平分，，是的中点，平分故选A【点拨】本题考查了角平分线的性质与判定，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键．10．B【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD=ED，AC=AE=BC，继而可得△DBE的周长=AB．解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，∴AE=AC，∵AC=BC，∴BC=AE，∴△DBE的周长是：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=7cm．故选B．【点拨】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．11．B【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=×AB×DE=30，故选：B．【点拨】本题考查的是作图——基本作图，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12．C【分析】根据角平分线的性质即可判断．解：三角形的三个角的角平分线的交点到三边的距离相等，故选：C．【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的到角两边的距离相等是解题的关键．13．D【分析】过点作，根据角平分线的性质可得，根据点到直线的距离垂线段最短可得即可求解．解：由作图可知，是的角平分线，过点作，根据角平分线的性质可得，根据点到直线的距离垂线段最短可得故选D【点拨】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，理解题意，是的角平分线是解题的关键．14．C【分析】根据基本作图（作一个角的平分线）的方法和步骤进行判断．解：利用尺规作图作一个角的平分线，其步骤为：第一步，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；第二步，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；第三步，画射线OC，射线OC即为∠AOB的平分线．故选：C．【点拨】本题主要考查了尺规作图（作一个角的平分线）的知识，熟练掌握基本尺规作图方法和步骤是解题关键．15．B【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据作图得出BD平分∠ABC，由角平分线的性质得出DE=DC，即可求出△ABD的面积．解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：根据作图可知，BD平分∠ABC，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE=DC，，∴，∴，故B正确．故选：B．【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，求出DE的长度．16．2：3：4【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点．∵CO、BO、AO分别平分∴∵，，∴故答案为：2：3：4【点拨】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．17．12【分析】由BD平分∠ABC，可得∠EBD=∠CBD，可证Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），可得BE=BC，ED=CD，可求AC+AE=6，可求2BC+AE+AC=30即可．解：∵，，∴∠BED=∠BCD=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，在Rt△EBD和Rt△CBD中，，Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），∴BE=BC，ED=CD，∵的周长为，∴AD+ED+AE=AD+DC+AE=AC+AE=6，∵的周长为，∴AB+BC+AC=AE+BE+BC+AC=2BC+AE+AC=30，∴2BC=30-（AE+AC）=30-6=24，∴BC=12．故答案为12．【点拨】本题考查角平分线定义，三角形全等判定与性质，三角形周长，掌握角平分线定义，三角形全等判定与性质，三角形周长是解题关键．18．80°试题分析：根据平行线的性质可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，再根据角平分线的性质可得∠ABE+∠CDE的度数，从而求得结果.解：∵AB∥CD∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，∠BFD=∠ABF+∠CDF=140°∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE∴∠ABE+∠CDE=280°∴∠BED=80°.考点：平行线的性质，角平分线的性质【点拨】平行线的判定与性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.19．【分析】如图，过点E作三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=，最后根据三角形内角和求解．解：过点E作于点D，于点F，于点G，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角，∴，∴AE也是∠BAC外角的平分线，∴∠EBA=，∠BAE=，∴∠EBA+∠BAE==，∴∠AEB==．故答案为：．【点拨】本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键．20．7【分析】先利用角平分线性质证明CD=DE，再求出的值即可．解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，，DE⊥AB，∴CD=ED．∵，∴BD+CD=7，∴，故答案为：7．【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．21．12【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD于F，由角平分线的性质可得CE=CF，由△ACD的面积和底求得高CF的值，便可解答；解：如图，过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵AD=8，△ACD面积=16，∴CF=4，∵AB=6，CE=CF=4，∴△ACB面积=12，故答案为：12；【点拨】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）；掌握角平分线的性质是解题关键．22．60°##60度【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出OC平分∠AOB，再根据角平分线的定义可得∠AOB=2∠BOC．解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∴OC平分∠AOB，∴∠AOB=2∠BOC，又∠BOC＝30°，∴∠AOB=60°．故答案为：60°．【点拨】本题考查了角平分线的判定，掌握角平分线的判定是解题的关键．23．【分析】利用三角形的内角和定理先求解，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：平分从而可得答案．解：平分故答案为：【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．24．150°【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=60°，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=30°+120°=150°．故答案为：150°．【点拨】本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．25．4【分析】作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得．解：如图，作于，平分，，，，，解得，故答案为：4．【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．26．角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据角平分线性质定理求解即可．解：角平分线上的点到角两边的距离相等．故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等．【点拨】本题考查角平分线性质，掌握角平分线性质是解题关键．27．4．【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断．解：如图示，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．故答案是：4．【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．28．65°##65度【分析】根据作图先得出OC平分∠AOB，根据，得出，根据为的外角，得出，即可求出，根据，得出，即可求解．解：根据作图可知，OC平分∠AOB，∴，∵，，，为的外角，，，，，．故答案为：．【点拨】本题主要考查了角平分线的基本作图，平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，根据题意求出是解题的关键．29．5【分析】作GM⊥AB于M，先利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到GM=GH=2，然后根据三角形面积公式计算．解：作GM⊥AB于M，由作法得AG平分∠BAC，而GH⊥AC，GM⊥AB，∴GM=GH=2，∴,故答案为：5．【点拨】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，还考查了角平分线的作图方法，正确理解题意得到AG平分∠BAC是解题的关键．30．或【分析】以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在内交于点P，则OP为的平分线，以OP为边作，则为作或的角平分线，即可求解．解：以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在内交于点P，得到OP为的平分线，再以OP为边作，则为作