难点解析-北师大版9年级数学上册期末试卷含完整答案详解（夺冠系列）

北师大版9年级数学上册期末试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题24分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（

）.A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个2、一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（）A． B．C． D．3、关于的一元二次方程的两根应为（

）A． B．， C． D．4、如图，为△的中位线，点在上，且;若,则的长为（

）A．2 B．1 C．4 D．35、如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形ABCD沿直线AQ翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形ABCD的面积为（

）A．12 B．24 C．10 D．206、如图，点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC，已知AE＝3，AC＝6，AD＝2，则BD的长为（）A．4 B．6 C．7 D．8二、多选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E．下列结论不正确的是（

）A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC2、下列各数不是方程解的是（

）A．6 B．2 C．4 D．03、下列方程不适合用因式方程解法解的是（

）A．x2－3x+2=0 B．2x2=x+4C．(x－1)(x+2)=70 D．x2－11x－10=04、下列说法正确的是(

)．A．对角线相等的菱形是正方形B．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是菱形C．成轴对称的两个图形全等D．有三个角相等的四边形是矩形5、下列命题是真命题的是（）A．过线段中点的直线是线段的垂直平分线B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分D．对角线互相垂直的矩形是正方形6、如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题76分）三、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、已知关于的方程的一个根是，则____．2、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝4，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为_______．3、如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．4、如图，四边形ABCD为菱形，，延长BC到E，在内作射线CM，使得，过点D作，垂足为F．若，则对角线BD的长为______．5、如图，矩形纸片ABCD，AD＝4，AB＝3.如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，如果直线EF经过点D，那么线段BE的长是____．6、小明的身高为1.6，他在阳光下的影长为2，此时他旁边的旗杆的影长为15，则旗杆的高度为_______．7、如图，矩形的两边，的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F．若，则反比例函数的表达式为______．8、一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则其斜边的长是___．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、已知反比例函数y＝（m为常数）的图象在第一、三象限．（1）求m的取值范围；（2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，3），（﹣2，0），求出该反比例函数的解析式；（3）若E（x1，y1），F（x2，y2）都在该反比例函数的图象上，且x1＞x2＞0，则y1和y2有怎样的大小关系？2、用适当的方法解方程：(1)．(2)．3、定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝8，请直接写出边AB长的最小值．

4、在等边三角形中，，D为的中点．连接，E，F分别为，的中点，将绕点C逆时针旋转，记旋转角为，直线和直线交于点G．（1）如图1，线段和线段的数量关系是________________，直线与直线相交所成的较小角的度数是________________．（2）将图1中的绕点C逆时针旋转到图2所示位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，当以点C，F，E，G为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长．5、已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值.6、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边与x轴重合，顶点A在y轴的正半轴上，线段OB，OC（）的长是关于x的方程的两个根，且满足CO＝2AO．(1)求直线AC的解析式；(2)若P为直线AC上一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，设△CPQ的面积为S（），点P的横坐标为a，求S与a的函数关系式；(3)点M的坐标为，当△MAB为直角三角形时，直接写出m的值．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.【详解】∵直线不经过第二象限，∴，∵方程，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆=，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：D.【考点】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.2、D【解析】【分析】按照配方法的步骤，移项，配方，配一次项系数一半的平方.【详解】∵x2−2x−m=0，∴x2−2x=m，∴x2−2x+1=m+1，∴(x−1)2=m+1．故选D．【考点】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．3、B【解析】【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式解方程即可．【详解】x2−3ax+a2=0，△=(−3a)2−4××a2=a2，x=.所以x1=a,x2=a.故答案选B.【考点】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据公式法解一元二次方程.4、A【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可．【详解】∵DE为△ABC的中位线，∴DE=BC=5，∵∠AFB=90°，D是AB的中点，∴DF=AB=3，∴EF=DE-DF=2，故选A．【考点】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5、D【解析】【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形ABCD的面积为BC×AQ即可求出.【详解】解：由图2，得BP=6，S△ABP=12∴AQ=4由翻折可知，AQ⊥BP由勾股定理，得BC=AB==5∴菱形ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20故选：D【考点】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.6、B【解析】【分析】只需要证明△AED∽△ACB即可求解.【详解】解∵DE∥BC，∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED∴△AED∽△ACB∴∴∴BD＝AD+AB＝2+4＝6．故选B．【考点】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.二、多选题1、ABD【解析】【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DA=DC，则∠DAC=∠C，再利用等角的余角相等得到∠EAB=∠DAC，从而有∠EAB=∠C，再加上公共角即可判断△BAE∽△ACE．【详解】解：∵∠BAC=90°，D是BC中点，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵AE⊥AD，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠CAD+∠BAD=90°，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB=∠C，而∠E是公共角，∴△BAE∽△ACE∴C选项正确，ABD选项错误，故选ABD．【考点】此题主要考查学生对相似三角形判定定理的掌握和应用．2、ACD【解析】【分析】分别把四个选项中的数代入方程，看方程两边是否相等即可求解．【详解】解：A、将6代入得：，故6不是方程解，符合题意；B、将2代入得：，故2是方程解，不符合题意；C、将4代入得：，故4不是方程解，符合题意；D、将0代入得：，故0不是方程解，符合题意；故选：ACD．【考点】此题考查了一元二次方程解得含义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得含义．3、ABD【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法求解即可．【详解】解：A、x2－3x+2=0，适用公式法，不适合用因式分解法来解题，符合题意；B、2x2=x+4，适用公式法，不适合用因式分解法来解题，符合题意；C、(x－1)(x+2)=70，即，可得，故适合用因式分解法来解题，不符合题意；D、x2－11x－10=0，适用公式法，不适合用因式分解法来解题，符合题意；故选：ABD．【考点】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4、AC【解析】【分析】根据正方形，矩形的判定，成轴对称图形的关系，对各选项进行判断即可；【详解】解：对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；B顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所得到的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；C成轴对称的两个图形全等，正确，符合题意；D有四个角相等的四边形是矩形，错误，不符合题意．故答案为：A、C．【考点】本题考查了正方形，矩形的判定，成轴对称图形的关系．解题的关键在于对知识的灵活运用．5、BD【解析】【分析】根据线段垂直平分线的定义，矩形的判定方法，三角形中位线的性质，以及正方形的判定方法逐项分析即可【详解】解：A.过线段中点且与这条线段垂直的直线是线段的垂直平分线，故原说法错误；B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确；C.如图，DE是△ABC的中位线，作AM⊥BC于M，交DE于N，∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，AN=AM，∵S△ADE==，S△ABC=，∴S△ADE=S△ABC，∴S△ADE=S四边形BCED，∴三角形的中位线将三角形的面积分成1：3两部分，故原说法错误；D.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；故选BD．【考点】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．6、CD【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、，两三角形对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：．【考点】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．三、填空题1、【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义将x=1代入即可求出a的值．【详解】解：∵关于的方程的一个根是∴解得：a=-1故答案为：．【考点】此题考查的是根据一元二次方程的解，求参数的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．2、38【解析】【分析】根据题目要求，要使四边形AGCD的面积最小，因为的面积固定，只需使的面积最小即可，即的高最小即可，又在中，，则BG=2，高的最小值为点B到AC的距离减去BG的长度，则可求解．【详解】依题意，在中，为EF的中点，，，点G在以B为圆心，2为半径的圆与长方形重合的弧上运动，,要使四边形AGCD的面积最小，则B所在直线垂直线段AC，又，点B到AC的距离为，此时点G到AC的距离为，故的最小面积为，，故答案为：38．【考点】本题考查了动点问题中四边形的最小面积问题，利用勾股定理，直角三角形中线的性质，三角形等积法求高等性质定理进行求解，对于相关性质定理的熟练运用是解题的关键．3、10【解析】【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，设与的交点为，根据作图可得，且平分，，四边形是平行四边形，，，又，，，，，四边形是平行四边形，垂直平分，，四边形是菱形，，，，，为的中点，中，，，，，四边形AECF的周长为．故答案为：．【考点】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．4、【解析】【分析】连接AC交BD于H，证明DCH≌DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．【详解】解：如图，连接AC交BD于点H，由菱形的性质得∠BDC=35，∠DCE=70，又∵∠MCE=15，∴∠DCF=55，∵DF⊥CM，∴∠CDF=35，又∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC=35，在CDH和CDF中，∴CDH≌CDF（AAS），∴，∴DB=，故答案为．【考点】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点．5、【解析】【分析】根据题意作出图形，根据矩形的性质与折叠的性质证明，进而勾股定理求得，即可求得，根据折叠，即可求解．【详解】解：如图∵将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，四边形ABCD是矩形在中，故答案为：【考点】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．6、12【解析】【分析】设这根旗杆的高度为xm，利用某一时刻物体的高度与它的影长的比相等得到，然后利用比例性质求x即可．【详解】设这根旗杆的高度为xm，根据题意得解得x=12（m），即这根旗杆的高度为12m．故答案为12．【考点】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．7、【解析】【分析】利用勾股定理计算出，则，设，则，，，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得，所以，即可求出的值，从而得到反比例函数的表达式．【详解】解：如图连接AE，∵矩形的两边，的长分别为3、8，E是的中点，，，，设，则，是的中点，，，，在反比例函数的图象上，，解得，，，反比例函数的表达式是．故答案为．【考点】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理的应用，表示出点的坐标是解题的关键．8、cm【解析】【分析】设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，根据面积是7cm，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长．【详解】解：设这个直角三角形的较短直角边长为xcm，则较长直角边长为（x＋5）cm，根据题意，得，所以，解得，，因为直角三角形的边长为正数，所以不符合题意，舍去，所以x＝2，当x＝2时，x＋5＝7，由勾股定理，得直角三角形的斜边长为＝＝cm．故答案为：cm．【考点】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，关键是知道三角形面积公式以及直角三角形中勾股定理的应用．四、解答题1、（1）m＜；（2）该反比例函数的解析式为y＝；（3）y1＜y2．【解析】【分析】（1）由图象在第一、三象限可得关于m的不等式，然后解不等式即可；（2）先根据平行四边形的性质求出D点的坐标，然后将D点的坐标代入y＝可求得1-2m的值即可；（3）利用反比例函数的增减性解答即可．【详解】解：（1）∵y＝的图象在第一、三象限，∴1﹣2m＞0，∴m＜；（2）∵四边形ABOD为平行四边形，∴AD∥OB，AD＝OB＝2，∴D点坐标为（2，3），∴1﹣2m＝2×3＝6，∴该反比例函数的解析式为y＝；（3）∵x1＞x2＞0，∴E，F两点都在第一象限，又∵该反比例函数在每一个象限内，函数值y都随x的增大而减小，∴y1＜y2．【考点】本题考查了反比例函数的解析式、反比例函数的性质以及反比例函数与几何的综合，掌握反比例函数的定义及性质是解答本题的关键．2、(1)，；(2)，【解析】【分析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．(1)解：，，则或，解得，，所以，原方程的解为，；(2)解：，则，或，解得，．所以，原方程的解为，．【考点】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．3、∴抛物线的解析式为y＝x（2）①∵A（1，2），B（7，2），当抛物线经过点A时，a＝2，当抛物线经过点B时，2＝49a，∴a＝，∵若G与△ABC有交点，∴≤a≤2．②由题意当a＝时，y＝x2，当y＝8时，8＝x2，∴x＞0，∴x＝14，∴当反比例函数y＝经过点（14，8）时k的值最大，此时k＝112，∴k的最大值为112【考点】本题考查二次函数综合题、待定系数法、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．2．（1）证明见解析；（2）△EFG是等腰直角三角形；证明见解析；（3）AB最小值为【解析】【分析】延长BE，DG交于点H，先证△ABE≌△ADG，得BE=DG，∠ABE=∠ADG．结合∠ABD+∠ADB=90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即可得∠BHD=90°．从而得证；（2）延长BA，CD交于点H，由四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB=CD，从而得∠HBC+∠HCB=90°，根据三个中点知EF＝AB，GF＝CD，EF∥AB，GF∥DC，据此得∠BGF=∠C，EFD=∠HBD，EF=GF．由∠EFG=∠EFD+∠DFG=∠ABD+∠DBC+∠FGB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°可得答案；（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，由EF≥HF−HE＝BC−AD＝4−2＝2然后结合（2）可知AB＝EF≥2可得答案．【详解】解：（1）如图①，延长BE，DG交于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°．∴∠BAE=∠DAG．∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴BE=DG，∠ABE=∠ADG．∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即∠EBD+∠BDG=90°，∴∠BHD=90°．∴BE⊥DG．又∵BE=DG，∴四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）△EFG是等腰直角三角形．理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H，∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，∴AB⊥CD，AB=CD，∴∠HBC+∠HCB=90°∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，∴EF＝AB，GF＝CD，EF∥AB，GF∥DC，∴∠BGF=∠C，∠EFD=∠HBD，EF=GF，∴∠EFG=∠EFD+∠DFG=∠ABD+∠DBC+∠FGB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°．∴△EFG是等腰直角三角形；（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，则EF≥HF−HE＝BC−AD＝4−2＝2，由（2）可知AB＝EF≥2，∴AB最小值为【考点】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点．4、（1），；（2）结论仍然成立；证明见解析；（3）或．【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质以及三角形中位线定理求解即可；（2）由（1）的结论以及旋转的性质证明，根据相似三角形的性质即解答即可；（3）当以点C、F、E、G为顶点的四边形是矩形时，分两种情况讨论，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵是等边三角形，D为的中点．∴，∵E，F分别为，的中点，∴，∴，∴，∴，由图1得：直线与直线相交所成的较小角的度数是，故填：，；（2）（1）中的结论仍然成立．证明：设交于点H，∵是等边三角形，D为的中点．∴，∵E，F分别为，的中点，∴，∴，∴，∵绕点C逆时针旋转，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）分两种情况：①当点E在线段上时，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，由（2）知：，∴，在中，，∴，∴；②当点E在线段的延长线上时，同①，，∴；综上，的长为或．【考点】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、等边三角形的性、旋转的性质、相似三角形的判定和性质等知识，正确运用相似三角形的判定和性质以及分类讨