2023年高三数学期末模拟试题

2023年高三数学期末模拟试题2023年高三数学期末模拟试题紧扣《普通高中数学课程标准》，以核心素养为导向，突出主干知识考查，注重情境化与综合性，难度梯度合理。具体特点如下：1.核心素养覆盖：聚焦数学抽象（如函数概念、集合运算）、逻辑推理（如导数证明、数列递推）、数学建模（如统计概率、解析几何）、直观想象（如立体几何、函数图像）、数学运算（如复数、向量、导数）、数据分析（如频率分布、数字特征）六大核心素养。2.主干知识突出：覆盖集合、复数、函数、导数、立体几何、解析几何、统计概率、数列、三角函数、向量、不等式等高中数学主干内容，占比达90%以上。3.情境化命题：统计概率题结合“学生体育锻炼情况”，解析几何题结合“椭圆实际应用”，导数题结合“函数优化问题”，体现数学与生活的联系。4.难度梯度合理：选择题1-5题（易）、6-8题（中）、9-10题（难）；填空题11-13题（易）、14-15题（中）；解答题16-18题（易）、19-20题（中）、21题（难），符合高考命题规律。二、2023年高三数学期末模拟试题（一）选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合\(A=\{x\mid\log_2x<1\}\)，集合\(B=\{x\midx^2-2x-3<0\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\((0,2)\)B.\((-1,2)\)C.\((0,3)\)D.\((-1,3)\)2.复数\(z=\frac{1+i}{1-i}\)，则\(|z|=\)（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)3.函数\(f(x)=x^3+\sinx\)的奇偶性是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数4.某几何体的三视图由圆柱和圆锥组成（底面半径均为1，圆柱高为2，圆锥高为1），则该几何体的体积为（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{7\pi}{3}\)D.\(3\pi\)5.函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的对称轴方程为（）A.\(x=k\pi+\frac{\pi}{12}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）B.\(x=k\pi+\frac{\pi}{6}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）C.\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）D.\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）6.某学校随机抽取100名学生调查每周锻炼时间，得到频率分布直方图（组距为5），其中\([15,20)\)组的频率/组距为0.1，则该校学生每周锻炼时间的中位数为（）A.15B.17.5C.20D.22.57.直线\(y=x+1\)与圆\(x^2+y^2=1\)的位置关系及弦长分别为（）A.相交，\(\sqrt{2}\)B.相切，1C.相离，0D.相交，28.函数\(f(x)=x^3-3x\)的极大值为（）A.-2B.0C.2D.49.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，公差\(d=2\)，则\(S_{10}=\)（）A.90B.100C.110D.12010.若函数\(f(x)=e^x-ax-1\)对所有\(x\geq0\)成立，则\(a\)的最大值为（）A.0B.1C.2D.\(e\)（二）填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.向量\(\mathbf{a}=(1,2)\)，\(\mathbf{b}=(3,4)\)，则\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\)________。12.数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2n\)，则\(a_5=\)________。13.已知\(x>0\)，\(y>0\)，\(x+2y=1\)，则\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值为________。14.正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，异面直线\(AB_1\)与\(CD_1\)的夹角为________。15.函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x\)的零点个数为________。（三）解答题（本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（12分）已知函数\(f(x)=\sinx\cosx+\cos^2x\)。（1）求\(f(x)\)的最小正周期；（2）求\(f(x)\)的最大值及取得最大值时\(x\)的集合。17.（12分）如图，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(\angleABC=90^\circ\)，\(AB=BC=AA_1=2\)，\(D\)是\(AC\)的中点。（1）证明：\(BD\perp\)平面\(A_1AC_1\)；（2）求三棱锥\(A_1-BDC_1\)的体积。18.（12分）某学校为了解学生体育锻炼情况，随机抽取100名学生，调查他们每周的锻炼时间（单位：小时），得到频率分布直方图如下（组距为5）：（1）求\(a\)的值；（2）估计该校学生每周锻炼时间的中位数；（3）从锻炼时间在\([10,15)\)和\([25,30]\)的学生中，按分层抽样抽取5人，再从这5人中选2人，求这2人都来自\([10,15)\)的概率。19.（12分）椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，过右焦点\(F\)且垂直于\(x\)轴的直线与椭圆交于\(A,B\)两点，\(|AB|=1\)。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）设直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(C\)交于\(M,N\)两点，\(O\)为坐标原点，若\(OM\perpON\)，求\(m\)的取值范围。20.（13分）已知函数\(f(x)=\lnx+ax^2-(2a+1)x\)（\(a\in\mathbb{R}\)）。（1）讨论\(f(x)\)的单调性；（2）若\(a>0\)，证明：\(f(x)\geq-a-1\)。21.（14分）已知函数\(f(x)=e^x-ax-1\)，\(g(x)=\lnx-ax+a\)。（1）若\(f(x)\geq0\)对所有\(x\geq0\)成立，求\(a\)的最大值；（2）证明：当\(a>0\)时，\(g(x)\)有且仅有一个零点。三、解题思路与答案解析（一）选择题解析1.答案：A解析：\(A=\{x\mid0<x<2\}\)（解\(\log_2x<1\)），\(B=\{x\mid-1<x<3\}\)（解\(x^2-2x-3<0\)），故\(A\capB=(0,2)\)。2.答案：B解析：\(z=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i\)，故\(|z|=1\)（复数模的计算）。3.答案：A解析：\(f(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)\)，故为奇函数（奇偶性定义）。4.答案：C解析：圆柱体积\(\pi\times1^2\times2=2\pi\)，圆锥体积\(\frac{1}{3}\pi\times1^2\times1=\frac{\pi}{3}\)，总容积\(2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}\)（组合体体积计算）。5.答案：D解析：对称轴满足\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}\)（正弦函数对称轴公式），解得\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。6.答案：B解析：前两组（\([5,10)\)、\([10,15)\)）频率和为\(0.25\)，第三组（\([15,20)\)）频率为\(0.5\)，中位数\(=15+\frac{0.5-0.25}{0.1}=17.5\)（中位数计算）。7.答案：A解析：圆心到直线距离\(d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}<1\)（点到直线距离公式），弦长\(2\sqrt{1-d^2}=\sqrt{2}\)（弦长公式）。8.答案：C解析：\(f'(x)=3x^2-3\)（导数计算），极值点\(x=\pm1\)（令导数为0），\(f(1)=-2\)（极小值），\(f(-1)=2\)（极大值）（极值判断）。9.答案：B解析：\(S_{10}=10\times1+\frac{10\times9}{2}\times2=100\)（等差数列求和公式）。10.答案：B解析：\(f'(x)=e^x-a\)（导数计算），当\(a\leq1\)时，\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)递增（导数符号判断单调性），\(f(x)\geqf(0)=0\)（单调性求最值）；当\(a>1\)时，\(f(x)\)在\(x=\lna\)处取得极小值\(a-a\lna-1<0\)（极值计算），故\(a\)最大值为1。（二）填空题解析11.答案：11解析：\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\times3+2\times4=11\)（向量数量积计算）。12.答案：21解析：\(a_5=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+(a_5-a_4)=1+2(1+2+3+4)=21\)（累加法求数列通项）。13.答案：\(3+2\sqrt{2}\)解析：\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(x+2y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=3+\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}\geq3+2\sqrt{2}\)（基本不等式求最值）。14.答案：\(\frac{\pi}{2}\)解析：向量\(\overrightarrow{AB_1}=(1,0,1)\)，\(\overrightarrow{CD_1}=(-1,0,1)\)（正方体向量表示），夹角余弦值为\(\frac{\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{CD_1}}{|\overrightarrow{AB_1}|\cdot|\overrightarrow{CD_1}|}=0\)，故夹角\(\frac{\pi}{2}\)（异面直线夹角计算）。15.答案：3解析：\(f(x)=x(x-1)(x-2)\)（因式分解），零点为\(0,1,2\)（零点个数判断）。（三）解答题解析16.解析（1）\(f(x)=\frac{1}{2}\sin2x+\frac{1+\cos2x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}\)（三角恒等变换：二倍角公式、辅助角公式），最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)（周期公式）。（2）最大值为\(\frac{\sqrt{2}+1}{2}\)（正弦函数最大值），此时\(2x+\frac{\pi}{4}=2k\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），解得\(x=k\pi+\frac{\pi}{8}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）（取得最大值时的\(x\)集合）。17.解析（1）证明：\(AA_1\perp\)底面\(ABC\)，\(BD\subset\)底面\(ABC\)，故\(AA_1\perpBD\)（直棱柱性质）；\(AB=BC\)，\(D\)为\(AC\)中点，故\(BD\perpAC\)（等腰三角形三线合一）；\(AC\capAA_1=A\)，故\(BD\perp\)平面\(A_1AC_1\)（线面垂直判定定理）。（2）体积：以\(B\)为顶点，底面\(A_1DC_1\)，向量\(\overrightarrow{BA_1}=(-2,0,2)\)，\(\overrightarrow{BD}=(-2,2,0)\)，\(\overrightarrow{BC_1}=(-2,2,2)\)（坐标法），体积\(V=\frac{1}{6}|\overrightarrow{BA_1}\cdot(\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BC_1})|=\frac{1}{6}\times8=\frac{4}{3}\)（三棱锥体积公式：向量混合积）。18.解析（1）\((0.02+0.03+a+0.04+0.01)\times5=1\)（频率分布直方图面积和为1），解得\(a=0.1\)。（2）中位数计算：前两组频率和为\(0.25\)，第三组频率为\(0.5\)，中位数\(=15+\frac{0.5-0.25}{0.1}=17.5\)（同选择题第6题）。（3）\([10,15)\)频率为\(0.03\times5=0.15\)，人数为\(100\times0.15=15\)；\([25,30]\)频率为\(0.01\times5=0.05\)，人数为\(100\times0.05=5\)（频率计算）。分层抽样比例为\(\frac{5}{15+5}=\frac{1}{4}\)，故\([10,15)\)抽取\(15\times\frac{1}{4}=3\)人，\([25,30]\)抽取\(5\times\frac{1}{4}=2\)人（分层抽样）。概率为\(\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}\)（古典概型）。19.解析（1）\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)（离心率公式），故\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，\(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}\)（椭圆基本关系）。过右焦点\(F(c,0)\)且垂直于\(x\)轴的直线方程为\(x=c\)，代入椭圆方程得\(y=\pm\frac{b^2}{a}\)，故\(|AB|=\frac{2b^2}{a}=1\)（弦长计算）。联立得\(a=2\)，\(b=1\)，椭圆方程为\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)（椭圆标准方程）。（2）联立直线与椭圆方程：\(\begin{cases}y=kx+m\\\frac{x^2}{4}+y^2=1\end{cases}\)，消去\(y\)得\((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0\)（联立方程）。设\(M(x_1,y_1)\)，\(N(x_2,y_2)\)，则\(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{4m^2-4}{1+4k^2}\)（韦达定理）。\(y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=\frac{m^2-4k^2}{1+4k^2}\)（纵坐标乘积计算）。由\(OM\perpON\)得\(x_1x_2+y_1y_2=0\)（向量垂直条件），代入得\(5m^2=4k^2+4\)（化简）。判别式\(\Delta=(8km)^2-4(1+4k^2)(4m^2-4)>0\)（直线与椭圆相交条件），代入得\(m^2\geq\frac{4}{5}\)（化简），故\(m\in(-\infty,-\frac{2\sqrt{5}}{5}]\cup[\frac{2\sqrt{5}}{5},+\infty)\)（取值范围）。20.解析（1）\(f'(x)=\frac{1}{x}+2ax-(2a+1)=\frac{(2ax-1)(x-1)}{x}\)（导数计算：商的导数、多项式导数）。讨论\(a\)的取值：\(a\leq0\)：\(2ax-1\leq0\)，\(f'(x)\)符号由\(x-1\)决定，故\(f(x)\)在\((0,1)\)递增，\((1,+\infty)\)递减（单调性判断）；\(0<a<\frac{1}{2}\)：\(\frac{1}{2a}>1\)，\(f(x)\)在\((0,1)\)递增，\((1,\frac{1}{2a})\)递减，\((\frac{1}{2a},+\infty)\)递增（极值点排序）；\(a=\frac{1}{2}\)：\(f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x}\geq0\)，\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)递增（导数非负）；\(a>\frac{1}{2}\)：\(\frac{1}{2a}<1\)，\(f(x)\)在\((0,\frac{1}{2a})\)递增，\((\frac{1}{2a},1)\)递减，\((1,+\infty)\)递增（极值点排序）。（2）证明：\(f(1)=\ln1+a\times1^2-(2a+1)\times1=-a-1\)（计算\(f(1)\)）。当\(a>\frac{1}{2}\)时，\(x=1\)是极小值点（单调性判断），故\(f(x)\geqf(1)=-a-1\)（极小值为最小值）；当\(0<a\leq\frac{1}{2}\)时，\(x=1\)是极大值点，极小值点为\(x=\frac{1}{2a}\)，计算\(f(\frac{1}{2a})=-\ln(2a)-\frac{1}{4a}-1\)（计算极小值），通过构造函数\(g(a)=-\ln(2a)-\frac{1}{4a}-1+a+1=a-\ln(2a)-\frac{1}{4a}\)（差值函数），求导得\(g'(a)=1-\frac{1}{a}+\frac{1}{4a^2}=\frac{(2a-1)^2}{4a^2}\geq0\)（导数计算），故\(g(a)\geqg(\frac{1}{2})=0\)（单调性判断），即\(f(\frac{1}{2a})\geq-a-1\)（极小值≥最小值）。综上，\(f(x)\geq-a-1\)（综合证明）。21.解析（1）\(f'(x)=e^x-a\)（导数计算），当\(a\leq1\)时，\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)递增（导数符号判断），\(f(x)\geqf(0)=0\)（单调性求最值）；当\(a>1\)时，\(f(x)\)在\(x=\lna\)处取得极小值\(a-a\lna-1\)（极值计算），构造函数\(h(a)=a-a\lna-1\)（差值函数），求导得\(h'(a)=-\lna<0\)（导数计算），故\(h(a)<h(1)=0\)（单调性判断），故\(a\)最大值为1（结论）。（2）证明：\(g(1)=\ln1-a\times1+a=0\)（计算\(g(1)\)），故\