小学奥数和差倍问题专项训练

小学奥数和差倍问题专项训练一、引言和差倍问题是小学奥数的核心基础题型，也是整数应用题的“骨架”。它通过“和”（总量）、“差”（差值）、“倍”（倍数关系）三个核心量的组合，考查学生对数量关系的理解、逻辑推理能力及模型构建能力。掌握和差倍问题的解法，不仅能快速解决各类衍生应用题（如年龄问题、分配问题、盈亏问题），更能为后续学习分数、比例、方程等知识奠定坚实的思维基础。本文将从基础概念入手，分和差问题“和倍问题”“差倍问题”三大类拆解，再延伸至复杂综合题，结合线段图法“公式推导”“技巧总结”，帮助学生建立系统的解题框架。二、基础概念梳理在和差倍问题中，需明确三个核心量的定义及关系：和：两个或多个数的总量（如“甲乙共20个”）；差：两个数的差值（大数减小数，如“甲比乙多4个”）；倍：数量间的倍数关系（如“甲是乙的3倍”，表示甲=乙×3）。三者的基本关系：大数=小数+差；大数=小数×倍数；和=大数+小数=小数×(倍数+1)（当存在倍数关系时）；差=大数-小数=小数×(倍数-1)（当存在倍数关系时）。三、三大类基础问题解法（一）和差问题：已知和与差，求两数核心公式：大数=(和+差)÷2；小数=(和-差)÷2。推导逻辑：设大数为\(A\)，小数为\(B\)，则：\(A+B=和\)，\(A-B=差\)；两式相加得：\(2A=和+差\)→\(A=(和+差)÷2\)；两式相减得：\(2B=和-差\)→\(B=(和-差)÷2\)。解题步骤：1.确定“大数”与“小数”（“比”“多”后面的数是小数，前面的是大数）；2.找出题目中的“和”与“差”；3.代入公式计算，验证结果（和是否正确，差是否正确）。典型例题：甲乙两数之和为20，甲数比乙数大4，求甲乙两数。解析：大数=甲，小数=乙；和=20，差=4；甲=(20+4)÷2=12，乙=(20-4)÷2=8；验证：12+8=20（和正确），12-8=4（差正确）。基础练习：1.两数之和为35，差为5，求两数。（答案：20和15）2.小红和小明共有18支铅笔，小红比小明多2支，求两人各有多少支？（答案：10支、8支）（二）和倍问题：已知和与倍数，求两数核心公式：小数（1倍数）=和÷(倍数+1)；大数=小数×倍数或大数=和-小数。推导逻辑：设小数为\(B\)（1倍数），大数为\(A=B×倍数\)，则：\(A+B=B×倍数+B=B×(倍数+1)=和\)；因此，\(B=和÷(倍数+1)\)。解题步骤：1.确定“1倍数”（通常把“是”“比”后面的数看作1倍数，如“甲是乙的3倍”，乙是1倍数）；2.找出“和”对应的“倍数和”（1倍数+倍数）；3.计算1倍数，再求大数；4.验证（和是否正确，倍数是否正确）。典型例题：甲是乙的3倍，甲乙之和为16，求甲乙两数。解析：1倍数=乙，倍数=3；倍数和=3+1=4；乙=16÷4=4，甲=4×3=12；验证：12+4=16（和正确），12÷4=3（倍数正确）。基础练习：1.甲是乙的2倍，和为27，求甲乙。（答案：18和9）2.果园里桃树和梨树共30棵，桃树是梨树的4倍，求两种树各有多少棵？（答案：24棵、6棵）（三）差倍问题：已知差与倍数，求两数核心公式：小数（1倍数）=差÷(倍数-1)；大数=小数×倍数或大数=小数+差。推导逻辑：设小数为\(B\)（1倍数），大数为\(A=B×倍数\)，则：\(A-B=B×倍数-B=B×(倍数-1)=差\)；因此，\(B=差÷(倍数-1)\)。解题步骤：1.确定“1倍数”（同和倍问题，“比”“是”后面的数为1倍数）；2.找出“差”对应的“倍数差”（倍数-1）；3.计算1倍数，再求大数；4.验证（差是否正确，倍数是否正确）。典型例题：甲比乙多12，甲是乙的3倍，求甲乙两数。解析：1倍数=乙，倍数=3；倍数差=3-1=2；乙=12÷2=6，甲=6×3=18；验证：18-6=12（差正确），18÷6=3（倍数正确）。基础练习：1.甲比乙多8，甲是乙的2倍，求甲乙。（答案：16和8）2.哥哥比弟弟多10本书，哥哥的书是弟弟的3倍，求两人各有多少本书？（答案：15本、5本）四、综合提升：复杂和差倍问题在实际题目中，和差倍问题常以多量关系“变化型”（如给来给去、增减数量）的形式出现，需通过线段图“设1倍数”“找不变量”等技巧解决。（一）多量和差倍：三个或以上数量的关系解题关键：将多个量转化为以某一量为1倍数的链式关系，再求总和对应的倍数和。典型例题：甲、乙、丙三个数，甲是乙的2倍，乙是丙的3倍，三个数之和为60，求各数。解析：设丙为1倍数，则乙=3×丙，甲=2×乙=6×丙；倍数和=1（丙）+3（乙）+6（甲）=10；丙=60÷10=6，乙=6×3=18，甲=18×2=36；验证：6+18+36=60（和正确），18÷6=3（乙是丙的3倍），36÷18=2（甲是乙的2倍）。练习：甲乙丙之和为45，甲是乙的2倍，丙比乙多5，求各数。（答案：甲16，乙8，丙13）（二）变化型和差倍：数量增减后的关系解题关键：找到不变量（如总和不变、差不变），将变化后的关系转化为基础和差倍问题。典型例题1（总和不变）：甲有10个苹果，乙有2个苹果，甲给乙多少个后，甲是乙的2倍？解析：总苹果数不变：10+2=12个；变化后，乙是1倍数，甲=2×乙，倍数和=2+1=3；变化后乙=12÷3=4个，因此甲给乙=4-2=2个；验证：甲=10-2=8，乙=2+2=4，8÷4=2（倍数正确）。典型例题2（差不变）：今年爸爸比儿子大28岁，明年爸爸的年龄是儿子的3倍，求今年父子各多少岁？解析：年龄差不变：28岁；明年，儿子是1倍数，爸爸=3×儿子，倍数差=3-1=2；明年儿子=28÷2=14岁，今年儿子=14-1=13岁，爸爸=13+28=41岁；验证：明年爸爸42岁，儿子14岁，42÷14=3（倍数正确），42-14=28（差正确）。练习：甲给乙5个后，两人相等，原来甲比乙多多少？（答案：10个）五、解题技巧总结1.线段图法：画线段图是解决和差倍问题的“可视化工具”，能直观表示数量关系。和差问题：画两条线段，大数比小数长，标出和与差；和倍问题：画小数为1段，大数为倍数段，标出和；差倍问题：画小数为1段，大数为倍数段，标出差。2.确定1倍数：优先将“比”“是”后面的数设为1倍数（如“甲是乙的3倍”，乙是1倍数），简化计算。3.找不变量：变化型问题中，总和、差（如年龄差）往往是不变量，以此为突破口。4.验证答案：算出结果后，检查和、差、倍数是否符合题目条件，避免计算错误。六、专项训练题（分层次）（一）基础题（对应三大类基本问题）1.和差：两数之和40，差6，求两数。（答案：23和17）2.和倍：甲是乙的4倍，和30，求甲乙。（答案：24和6）3.差倍：甲比乙多15，甲是乙的4倍，求甲乙。（答案：20和5）（二）提升题（综合两类关系）1.甲乙丙之和50，甲是乙的2倍，乙比丙多5，求各数。（答案：甲28，乙14，丙9）解析：设丙为\(x\)，乙\(=x+5\)，甲\(=2(x+5)\)，和\(=x+(x+5)+2(x+5)=4x+15=50\)，解得\(x=9\)。2.甲给乙3个后，甲是乙的2倍，原来甲比乙多9个，求原来的甲乙。（答案：甲15，乙6）解析：设原来乙为\(x\)，甲\(=x+9\)，给后甲\(=x+9-3=x+6\)，乙\(=x+3\)，则\(x+6=2(x+3)\)，解得\(x=6\)。（三）拓展题（复杂变化或多量）1.甲是乙的3倍，甲给乙10个后，甲是乙的2倍，求原来的甲乙。（答案：甲90，乙30）解析：设原来乙为\(x\)，甲\(=3x\)，给后甲\(=3x-10\)，乙\(=x+10\)，则\(3x-10=2(x+10)\)，解得\(x=30\)。2.甲乙丙，甲比乙多2，乙比丙多3，三个数之和50，求各数。（答案：甲20，乙18，丙15）解析：设丙为\(x\)，乙\(=x+3\)，甲\(=x+3+2=x+5\)，和\(=x+(x+3)+(x+5)=3x+8=50\)，解得\(x=14\)？（修正：\(3x=42\)，\(x=14\)，乙=17，甲=19，验证：14+17+1