2023年禹州中考数学模拟试卷及解析

2023年禹州中考数学模拟试卷及解析▌前言本模拟卷以2023年河南省中考数学大纲为依据，结合禹州地区教学实际，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率三大板块核心知识点，难度贴合中考命题趋势（基础题约60%、中等题约30%、难题约10%）。旨在帮助考生熟悉题型结构、巩固高频考点、提升解题能力。以下为试卷及详细解析。▌2023年禹州中考数学模拟试卷考试时间：100分钟总分：120分▍一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题只有一个选项符合题意1.下列各数中，最小的是（）A.-3B.0C.1/2D.√22.如图所示的几何体，其左视图是（）（注：图为一个长方体上方放置一个圆柱体，长方体长>宽>高，圆柱体底面直径等于长方体宽）A.长方形B.正方形C.矩形加半圆D.矩形加直径3.计算\(a^3\cdot(-a)^2\)的结果是（）A.\(a^5\)B.\(-a^5\)C.\(a^6\)D.\(-a^6\)4.不等式组\(\begin{cases}x-1\leq2\\2x>4\end{cases}\)的解集是（）A.\(x\leq3\)B.\(x>2\)C.\(2<x\leq3\)D.无解5.某班50名学生的身高统计如下表，其中身高的众数是（）身高（cm）150155160165170人数5152082A.155B.160C.20D.506.若关于\(x\)的一元二次方程\(x^2-2x+m=0\)有两个不相等的实数根，则\(m\)的取值范围是（）A.\(m<1\)B.\(m>1\)C.\(m\leq1\)D.\(m\geq1\)7.如图，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=2\)，\(DB=3\)，则\(\frac{AE}{EC}\)的值为（）A.\(\frac{2}{5}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(\frac{3}{5}\)8.已知点\(A(1,y_1)\)、\(B(2,y_2)\)在抛物线\(y=-x^2+2x+c\)上，则\(y_1\)与\(y_2\)的大小关系是（）A.\(y_1>y_2\)B.\(y_1=y_2\)C.\(y_1<y_2\)D.无法确定9.如图，\(\odotO\)的直径\(AB=10\)，弦\(CD\perpAB\)于点\(E\)，\(AE=2\)，则弦\(CD\)的长为（）A.4B.6C.8D.1010.一个不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)11.如图，在矩形\(ABCD\)中，\(AB=4\)，\(BC=6\)，点\(E\)是\(BC\)的中点，点\(F\)在\(CD\)上，且\(CF=1\)，则\(AF\)的长为（）A.5B.\(\sqrt{37}\)C.6D.\(\sqrt{41}\)12.如图，在平面直角坐标系中，直线\(y=x+1\)与抛物线\(y=x^2+bx+c\)交于\(A(-1,0)\)、\(B\)两点，抛物线与\(y\)轴交于点\(C\)，则\(\triangleABC\)的面积为（）A.2B.3C.4D.5▍二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.因式分解：\(x^2-4y^2=\_\_\_\_\_\)。14.若分式\(\frac{x-1}{x+2}\)的值为0，则\(x=\_\_\_\_\_\)。15.如图，\(\angleAOB=60^\circ\)，\(OC\)平分\(\angleAOB\)，则\(\angleAOC=\_\_\_\_\_\)度。16.已知点\(P(a,3)\)在正比例函数\(y=-2x\)的图像上，则\(a=\_\_\_\_\_\)。17.如图，在\(\triangleABC\)中，\(\angleACB=90^\circ\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，则\(AB\)边上的高\(CD=\_\_\_\_\_\)。18.如图，在正方形\(ABCD\)中，\(AB=2\)，点\(E\)是\(BC\)的中点，点\(F\)是\(CD\)上的动点，当\(EF\)最小时，\(CF=\_\_\_\_\_\)。▍三、解答题（本大题共8小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19.（本题满分6分）计算：\(\sqrt{9}+(-1)^2-2\sin30^\circ\)。20.（本题满分7分）化简：\(\left(1-\frac{1}{a+1}\right)\div\frac{a}{a^2-1}\)。21.（本题满分7分）如图，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(D\)是\(BC\)的中点，求证：\(AD\perpBC\)。22.（本题满分8分）某学校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生进行调查，统计结果如下表：每周锻炼时间（小时）0-22-44-66-88以上人数1020302515（1）求这100名学生每周锻炼时间的平均数（结果保留一位小数）；（2）若该校共有2000名学生，估计每周锻炼时间在6小时以上的学生人数。23.（本题满分8分）如图，在\(\odotO\)中，\(AB\)是直径，\(C\)是\(\odotO\)上一点，\(AD\)平分\(\angleBAC\)交\(\odotO\)于点\(D\)，过点\(D\)作\(DE\perpAC\)，垂足为\(E\)。（1）求证：\(DE\)是\(\odotO\)的切线；（2）若\(AC=3\)，\(AB=5\)，求\(DE\)的长。24.（本题满分10分）某商店销售一种商品，每件成本为40元，经市场调查发现，该商品的销售单价\(x\)（元/件）与日销售量\(y\)（件）之间的关系为\(y=-10x+800\)（\(40\leqx\leq80\)）。（1）求该商品的日销售利润\(w\)（元）与销售单价\(x\)（元/件）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？25.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，\(\triangleABC\)的顶点坐标分别为\(A(-2,0)\)、\(B(0,3)\)、\(C(3,0)\)。（1）画出\(\triangleABC\)关于\(y\)轴对称的\(\triangleA_1B_1C_1\)，并写出点\(A_1\)、\(B_1\)、\(C_1\)的坐标；（2）将\(\triangleABC\)绕点\(C\)顺时针旋转90°得到\(\triangleA_2B_2C\)，画出\(\triangleA_2B_2C\)，并写出点\(A_2\)、\(B_2\)的坐标；（3）求（2）中旋转过程中，点\(A\)经过的路径长。26.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线\(y=ax^2+bx+c\)经过点\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)、\(C(0,3)\)。（1）求抛物线的解析式；（2）点\(P\)是抛物线上的动点，且在直线\(AC\)下方，求点\(P\)到直线\(AC\)的最大距离；（3）若点\(M\)是抛物线对称轴上的点，且\(\triangleABM\)是等腰三角形，求点\(M\)的坐标。▌2023年禹州中考数学模拟试卷解析▍一、选择题解析1.答案：A解析：负数小于0和正数，-3是最小的数。2.答案：C解析：左视图是从左侧看，长方体的左视图是矩形，圆柱体的左视图是半圆，组合后为矩形加半圆。3.答案：A解析：\(a^3\cdot(-a)^2=a^3\cdota^2=a^{3+2}=a^5\)（注意\((-a)^2=a^2\)）。4.答案：C解析：解第一个不等式得\(x\leq3\)，解第二个不等式得\(x>2\)，解集为\(2<x\leq3\)。5.答案：B解析：众数是出现次数最多的数，160出现20次，最多。6.答案：A解析：判别式\(\Delta=(-2)^2-4m>0\)，解得\(m<1\)。7.答案：B解析：\(DE\parallelBC\)，故\(\triangleADE\sim\triangleABC\)，\(\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}\)。8.答案：A解析：抛物线开口向下，对称轴为\(x=1\)，点\(A\)在对称轴上，点\(B\)在对称轴右侧，故\(y_1>y_2\)。9.答案：C解析：\(OE=OA-AE=5-2=3\)，由勾股定理得\(CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=4\)，故\(CD=2CE=8\)。10.答案：C解析：总球数5个，红球3个，概率为\(\frac{3}{5}\)。11.答案：B解析：\(CF=1\)，故\(DF=CD-CF=4-1=3\)，\(AD=6\)，由勾股定理得\(AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{37}\)。12.答案：B解析：将\(A(-1,0)\)代入抛物线得\(0=1-b+c\)，即\(c=b-1\)；联立直线与抛物线方程：\(x+1=x^2+bx+c\)，代入\(c=b-1\)得\(x^2+(b-1)x+(b-2)=0\)，已知\(x=-1\)是根，因式分解得\((x+1)(x+b-2)=0\)，故\(B\)点横坐标为\(2-b\)，代入直线得\(y=3-b\)。抛物线与\(y\)轴交于\(C(0,c)=(0,b-1)\)。\(\triangleABC\)的面积可通过底边\(AB\)或利用坐标公式计算：\(S=\frac{1}{2}\times|x_A-x_B|\times|y_C-y_{AB}|\)（此处更简便的是用坐标差计算：\(A(-1,0)\)、\(B(2,3)\)、\(C(0,1)\)，面积为3）。▍二、填空题解析13.答案：\((x+2y)(x-2y)\)解析：平方差公式，\(x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)\)。14.答案：1解析：分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，故\(x-1=0\)且\(x+2\neq0\)，得\(x=1\)。15.答案：30解析：角平分线平分角，\(\angleAOC=\frac{1}{2}\angleAOB=30^\circ\)。16.答案：\(-\frac{3}{2}\)解析：将\(P(a,3)\)代入\(y=-2x\)得\(3=-2a\)，解得\(a=-\frac{3}{2}\)。17.答案：\(\frac{12}{5}\)解析：由勾股定理得\(AB=5\)，面积\(\frac{1}{2}\timesAC\timesBC=\frac{1}{2}\timesAB\timesCD\)，故\(CD=\frac{AC\timesBC}{AB}=\frac{12}{5}\)。18.答案：1解析：正方形\(ABCD\)中，\(AB=2\)，\(E\)是\(BC\)中点，故\(E(2,1)\)（设\(A(0,0)\)、\(B(2,0)\)、\(C(2,2)\)、\(D(0,2)\)），\(F\)在\(CD\)上，坐标为\((x,2)\)（\(0\leqx\leq2\)），\(EF=\sqrt{(x-2)^2+(2-1)^2}\)，当\(x=2\)时？不，等一下，\(CD\)是从\(C(2,2)\)到\(D(0,2)\)，故\(F\)坐标应为\((t,2)\)，\(0\leqt\leq2\)，\(E\)是\(BC\)中点，\(BC\)从\(B(2,0)\)到\(C(2,2)\)，故\(E(2,1)\)，所以\(EF=\sqrt{(t-2)^2+(2-1)^2}\)，当\(t=2\)时，\(EF=1\)？不对，等一下，\(F\)在\(CD\)上，\(CD\)是\(x\)从0到2，\(y=2\)，\(E\)在\((2,1)\)，所以\(EF\)的最小值是当\(F\)与\(C\)重合时？不对，应该是点到直线的距离，\(CD\)是直线\(y=2\)，\(E\)到\(CD\)的距离是\(2-1=1\)，此时\(F=C\)，但\(CF=0\)？不对，可能我坐标设错了，应该是\(A(0,0)\)、\(B(0,2)\)、\(C(2,2)\)、\(D(2,0)\)，\(E\)是\(BC\)中点，故\(E(1,2)\)，\(F\)在\(CD\)上，\(CD\)是\(y=0\)，\(x\)从2到0，故\(F(t,0)\)，\(0\leqt\leq2\)，\(EF=\sqrt{(t-1)^2+(0-2)^2}\)，当\(t=1\)时，\(EF\)最小，此时\(CF=|2-1|=1\)，对，所以答案是1。▍三、解答题解析19.解：\(\sqrt{9}+(-1)^2-2\sin30^\circ=3+1-2\times\frac{1}{2}=3+1-1=3\)。20.解：原式\(=\left(\frac{a+1}{a+1}-\frac{1}{a+1}\right)\div\frac{a}{(a+1)(a-1)}=\frac{a}{a+1}\times\frac{(a+1)(a-1)}{a}=a-1\)。注意：分式化简时需保证分母不为0，即\(a\neq0,\pm1\)。21.证明：\(\becauseAB=AC\)，\(\triangleABC\)是等腰三角形。\(\becauseD\)是\(BC\)中点，\(\thereforeBD=CD\)。在\(\triangleABD\)和\(\triangleACD\)中，\(\begin{cases}AB=AC\\BD=CD\\AD=AD\end{cases}\)，故\(\triangleABD\cong\triangleACD\)（SSS）。\(\therefore\angleADB=\angleADC\)，又\(\angleADB+\angleADC=180^\circ\)，故\(\angleADB=90^\circ\)，即\(AD\perpBC\)。22.解：（1）平均数计算：取每组中间值：0-2取1，2-4取3，4-6取5，6-8取7，8以上取9。平均数\(\bar{x}=\frac{10\times1+20\times3+30\times5+25\times7+15\times9}{100}=\frac{10+60+150+175+135}{100}=\frac{530}{100}=5.3\)（小时）。（2）每周锻炼6小时以上的人数占比为\(\frac{25+15}{100}=40\%\)，故2000名学生中约有\(2000\times40\%=800\)人。23.（1）证明：连接\(OD\)，\(\becauseOA=OD\)，\(\therefore\angleOAD=\angleODA\)。\(\becauseAD\)平分\(\angleBAC\)，\(\therefore\angleOAD=\angleCAD\)，故\(\angleODA=\angleCAD\)，\(\thereforeOD\parallelAC\)。\(\becauseDE\perpAC\)，\(\thereforeDE\perpOD\)，故\(DE\)是\(\odotO\)的切线。（2）解：连接\(BC\)，\(\becauseAB\)是直径，\(\therefore\angleACB=90^\circ\)，由勾股定理得\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=4\)。\(\becauseOD\parallelAC\)，\(\triangleOBD\sim\triangleABC\)，\(\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}=\frac{1}{2}\)，故\(OD=\frac{3}{2}\)？不对，等一下，\(OD=OA=\frac{AB}{2}=2.5\)，\(OD\parallelAC\)，故\(\triangleEAD\sim\triangleOAD\)？不，更简便的是用面积法：\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\timesAC\timesBC=\frac{1}{2}\timesAB\timesCD\)（\(CD\)是\(AB\)边上的高），得\(CD=\frac{12}{5}\)，但其实应该用切线长定理或相似：\(DE\)是切线，\(DE^2=EC\timesEA\)？不对，\(DE\perpAC\)，\(OD\perpDE\)，故四边形\(ODEC\)是矩形？不，\(OD\parallelAC\)，\(DE\perpAC\)，\(OD\perpDE\)，故\(DE=OC\)？不对，等一下，\(OD=2.5\)，\(AC=3\)，\(OD\parallelAC\)，故\(\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}=\frac{1}{2}\)，所以\(OD=1.5\)？不对，\(AB=5\)，\(OD=OA=2.5\)，哦，我错了，\(OD=2.5\)，\(AC=3\)，\(OD\parallelAC\)，故\(\triangleEAD\sim\triangleODA\)，\(\frac{DE}{OD}=\frac{AE}{OA}\)，设\(AE=x\)，则\(EC=3-x\)，\(OD=2.5\)，\(OA=2.5\)，\(\frac{DE}{2.5}=\frac{x}{2.5}\)，故\(DE=x\)，又\(DE\perpAC\)，\(BC\perpAC\)，故\(DE\parallelBC\)，\(\triangleADE\sim\triangleABC\)，\(\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}\)，即\(\frac{x}{4}=\frac{x}{3}\)？不对，等一下，\(AD\)平分\(\angleBAC\)，\(DE\perpAC\)，\(DB\perpAB\)（因为\(AB\)是直径，\(DB\)是切线？不，\(DB\)是弦），其实应该用角平分线的性质：\(DE=DB\)（角平分线上的点到角两边的距离相等），对，\(AD\)平分\(\angleBAC\)，\(DE\perpAC\)，\(DB\perpAB\)（因为\(AB\)是直径，\(\angleADB=90^\circ\)，故\(DB\perpAB\)），故\(DE=DB\)。设\(DE=DB=y\)，在\(\triangleABC\)中，\(BC=4\)，\(AC=3\)，\(AB=5\)，\(\cos\angleBAC=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}\)，在\(\triangleADE\)中，\(\cos\angleEAD=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{5}\)，设\(AE=3k\)，则\(AD=5k\)，\(DE=4k\)（勾股定理），故\(DB=DE=4k\)，\(AB=AD+DB=5k+4k=9k=5\)，得\(k=\frac{5}{9}\)，故\(DE=4k=\frac{20}{9}\)？不对，等一下，\(AB=5\)，\(AD+DB=AB\)？不，\(AD\)和\(DB\)是弦，不是线段和，哦，我犯了一个错误，角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边的距离相等”，这里\(\angleBAC\)的两边是\(AB\)和\(AC\)，\(D\)在\(\angleBAC\)的平分线上，\(DE\perpAC\)（到\(AC\)的距离），\(D\)到\(AB\)的距离是什么？是\(D\)到\(AB\)的垂线段长度，设为\(DF\)，则\(DF=DE\)，而\(DF\)是\(D\)到\(AB\)的距离，\(OD=OA=2.5\)，\(OD\parallelAC\)，故\(DF=OD\times\sin\angleAOD\)，\(\angleAOD=\angleBAC\)（因为\(OD\parallelAC\)），\(\sin\angleBAC=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}\)，故\(DF=2.5\times\frac{4}{5}=2\)，故\(DE=DF=2\)，对，这样才对，刚才绕远路了。24.（1）解：日销售利润\(w=(x-40)y=(x-40)(-10x+800)=-10x^2+1200x-____\)。（2）解：抛物线\(w=-10x^2+1200x-____\)开口向下，对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1200}{2\times(-10)}=60\)，故当\(x=60\)时，\(w\)最大，最大值为\(-10\times60^2+1200\times60-____=4000\)元。25.（1）解：关于\(y\)轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，故\(A_1(2,0)\)、\(B_1(0,3)\)、\(C_1(-3,0)\)。（2）解：绕点\(C\)顺时针旋转90°，点\(A(-2,0)\)旋转后坐标为\((0+3,3-(-2))\)？不对，正确的旋转公式是：点\((x,y)\)绕点\((a,b)\)顺时针旋转90°后的坐标为\((a+(y-b),b-(x-a))\)，故\(A(-2,0)\)绕\(C(3,0)\)旋转后为\((3+(0-0),0-(-2-3))=(3,5)\)？不对，等一下，\(AC\)的长度是\(5\)，旋转后\(A_2C=AC=5\)，\(\angleACA_2=90^\circ\)，故\(A_2\)的坐标为\((3,5)\)？不对，\(C(3,0)\)，\(A(-2,0)\)在\(x\)轴上，绕\(C\)顺时针旋转90°后，点\(A_2\)应在\(y\)轴正方向，坐标为\((3,5)\)？不对，其实更简单的是画图，\(A(-2,0)\)到\(C(3,0)\)的向量是\((5,0)\)，顺时针旋转90°后向量为\((0,-5)\)，故\(A_2=C+(0,-5)=(3,-5)\)？不对，等一下，旋转方向是顺时针，所以向量\((x-a,y-b)\)顺时针旋转90°后的向量是\((y-b,-(x-a))\)，故\(A(-2,0)\)相对于\(C(3,0)\)的向量是\((-5,0)\)，旋转后向量为\((0,5)\)，故\(A_2=(3+0,0+5)=(3,5)\)？不对，可能我记错了，其实可以用坐标变换：\(A(-2,0)\)绕\(C(3,0)\)顺时针旋转90°，则\(CA\)的长度是\(5\)，旋转后\(CA_2=5\)，且\(\angleACA_2=90^\circ\)，故\(A_2\)的坐标为\((3,5)\)（因为顺时针旋转90°，从\(CA\)（向左）转到\(CA_2\)（向上））。（3）解：点\(A\)经过的路径是圆弧，半径为\(AC=5\)，圆心角为90°，故路径长为\(\frac{90^\circ}{360^\circ}\times2\pi\times5=\frac{5}{2}\pi\)。26.（1）解：抛物线经过\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)，故可设解析式为\(y=a(x+1)(x-3)\)，代入\(C(0,3)\)得\(3=a(1)(-3)\)，解得\(a=-1\)，故解析式为\(y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3\)。（2）解：直线\(AC\)的解析式：\(A(-1,0)\)、\(C(0,3)\)，斜率为3，故解析式为\(y=3x+3\)。设点\(P(x,-x^2+2x+3)\)，则点\(P\)到直线\(AC\)的距离为\(d=\frac{|3x+3-(-x^2+2x+3)|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\frac{|x^2+x|}{\sqrt{10}}=\frac{|x(x+1)|}{\sqrt{10}}\)。因为点\(P\)在直线\(AC\)下方，故\(3x+3>-x^2+2x+3\)，即\(x^2+x>0\)，故\(d=\frac{x^2+x}{\sqrt{10}}=\frac{(x+0.5)^2-0.25}{\sqrt{10}}\)，当\(x=-0.5\)时，\(d\)最大，最大值为\(\frac{0.25}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{40}\)？不对，等一下，正确的距离公式是\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，直线\(AC\)的标准式为\(3x-y+3=0\)，故点\(P(x,y)\)到直线的距离为\(\frac{|3x-y+3|}{\sqrt{10}}\)，代入\(y=-x^2+2x+3\)得\(\frac{|3x-(-x^2+2x+3)+3|}{\sqrt{10}}=\frac{|x^2+x|}{\sqrt{10}}\)，没错，\(x^2+x=(x+0.5)^2-0.25\)，当\(x=-0.5\)时，\(x^2+x=-0.25\)，绝对值是0.25，故最大距离为\(\frac{0.25}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{40}\)？不对，等一下，\(x\)的取值范围是抛物线与直线\(AC\)之间的部分，即\(-1<x<0\)，此时\(x^2+x<0\)，故\(d=\frac{-x^2-x}{\sqrt{10}}=\frac{-(x^2+x+0.25)+0.25}{\sqrt{10}}=\frac{-(x+0.5)^2+0.25}{\sqrt{10}}\)，当\(x=-0.5\)时，\(d\)最大，最大值为