初中数学函数应用题专项突破练习

初中数学函数应用题专项突破练习引言函数应用题是初中数学的核心考点之一，它将函数模型与实际生活场景结合，考查学生抽象变量关系、建立函数模型、解决实际问题的能力。从近年中考来看，函数应用题覆盖一次函数、反比例函数、二次函数三大类型，涉及行程、销售、工程、几何等多个场景。本文将分类型突破，通过题型特征归纳、解题策略提炼、经典例题解析、专项练习巩固，帮助学生掌握解题规律，提升实战能力。一、一次函数应用题：线性关系的实际应用（一）题型特征一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），其应用题的核心特征是：两个变量（如时间与路程、单价与销量、工作量与时间）之间存在线性变化关系（均匀增加或减少）；问题通常要求求函数关系式、计算特定值（如相遇时间、利润）或判断变化趋势。常见场景：行程问题（相遇/追及）、销售问题（单价与利润）、工程问题（效率与工作量）、收费问题（用水量与费用）。（二）解题策略1.定变量：设自变量为$x$（通常是“主动变化的量”，如时间、单价），因变量为$y$（通常是“随$x$变化的量”，如路程、利润）；2.找关系：根据题目中的“线性变化”条件（如“每小时行驶60千米”“单价每涨1元，销量减少10件”），确定$k$（变化率）和$b$（初始值）；3.列关系式：代入$y=kx+b$，并标注自变量的取值范围（需符合实际意义，如时间$t≥0$、销量$y≥0$）；4.解问题：根据所求问题代入计算（如求$x=a$时的$y$值，或求$y=b$时的$x$值），并验证结果合理性。（三）经典例题例1（行程问题：相遇问题）A、B两地相距200千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车的速度为60千米/小时，乙车的速度为40千米/小时。设行驶时间为$t$小时，两车之间的距离为$s$千米。（1）求$s$与$t$之间的函数关系式；（2）求两车相遇的时间；（3）求$t=3$小时时，两车之间的距离。解析：（1）定变量：自变量$t$（小时），因变量$s$（千米）；（2）找关系：初始时（$t=0$），两车相距200千米，故$b=200$；两车相向而行，每小时共行驶$60+40=100$千米，因此$s$随$t$的增大而均匀减小，变化率$k=-100$；（3）列关系式：$s=-100t+200$；取值范围：当两车相遇时，$s=0$，解得$t=2$小时；相遇后，$s$变为负数（无实际意义），故$t$的取值范围是$0≤t≤2$。（2）求相遇时间：令$s=0$，解得$t=2$小时。（3）计算$t=3$时的距离：由于$t=3>2$，此时两车已相遇并继续行驶，实际距离应为两车行驶路程之和减去总距离：甲车行驶$60×3=180$千米，乙车行驶$40×3=120$千米，总路程$300$千米，故距离为$____=100$千米。（注：若用原函数计算，$s=-100×3+200=-100$，取绝对值即为实际距离，但需说明实际意义。）（四）专项练习1.销售问题：某商店销售某种商品，每件成本为10元，当售价为15元时，每天可售出200件。若售价每上涨1元，每天销量减少10件，求每天利润$y$（元）与售价$x$（元）之间的函数关系式，并求售价为20元时的利润。（提示：利润=（售价-成本）×销量，销量=____(x-15)）2.行程问题：一辆货车从A地出发，以50千米/小时的速度匀速行驶，2小时后，一辆客车从A地出发，以80千米/小时的速度追赶货车，求客车出发后$t$小时与货车的距离$s$（千米）的函数关系式，并求追上货车的时间。3.收费问题：某自来水公司收费标准为：每户每月用水量不超过10吨时，每吨2元；超过10吨的部分，每吨3元。求水费$y$（元）与用水量$x$（吨）之间的函数关系式，并计算用水量为15吨时的水费。二、反比例函数应用题：乘积为定值的变化关系（一）题型特征反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），其应用题的核心特征是：两个变量（如矩形的长与宽、速度与时间、受力面积与压强）之间存在乘积为定值的关系（$xy=k$）；问题通常要求求比例系数$k$、计算变量值或判断变化趋势。常见场景：几何面积问题（矩形、三角形面积固定）、行程问题（路程固定时速度与时间）、物理问题（压力固定时压强与受力面积）、工程问题（工作量固定时效率与时间）。（二）解题策略1.定变量：设自变量为$x$（通常是“可变化的量”，如矩形的宽、速度），因变量为$y$（通常是“随$x$变化的量”，如矩形的长、时间）；2.找定值：根据题目中的“乘积为定值”条件（如“矩形面积为20”“路程为100千米”），确定比例系数$k$；3.列关系式：代入$y=\frac{k}{x}$，并标注自变量的取值范围（$x>0$，且符合实际意义）；4.解问题：根据所求问题代入计算（如求$x=a$时的$y$值，或求$y=b$时的$x$值）。（三）经典例题例2（几何面积问题）一个矩形的面积为30平方厘米，求其长$y$（厘米）与宽$x$（厘米）之间的函数关系式，并求当宽为5厘米时的长。解析：（1）定变量：自变量$x$（宽），因变量$y$（长）；（2）找定值：矩形面积固定为30平方厘米，故$xy=30$，比例系数$k=30$；（3）列关系式：$y=\frac{30}{x}$；取值范围：$x>0$（宽不能为0或负数）。（4）计算宽为5厘米时的长：代入$x=5$，得$y=\frac{30}{5}=6$厘米。（四）专项练习1.行程问题：某同学骑自行车从家到学校，路程为12千米，求骑行时间$t$（小时）与速度$v$（千米/小时）之间的函数关系式，并求速度为15千米/小时时的时间。2.物理问题：某物体所受压力为100牛（固定），求压强$p$（帕）与受力面积$S$（平方米）之间的函数关系式，并求受力面积为0.5平方米时的压强（注：压强=压力/受力面积）。3.工程问题：一项工程，甲单独完成需要10天，若甲、乙合作完成，求乙的工作效率$y$（每天完成的工作量）与甲的工作效率$x$（每天完成的工作量）之间的函数关系式（注：工作量=效率×时间，总工作量为1）。三、二次函数应用题：最值问题的核心模型（一）题型特征二次函数的一般形式为$y=ax²+bx+c$（$a≠0$），其应用题的核心特征是：两个变量之间存在二次变化关系（如利润与单价、面积与边长、高度与时间）；问题通常要求求最大值或最小值（如最大利润、最大面积、最高高度）。常见场景：销售利润最大化、几何面积最大化、抛体运动（最高点）、成本最低化。（二）解题策略1.定变量：设自变量为$x$（通常是“影响最值的量”，如单价、边长、时间），因变量为$y$（通常是“要求最值的量”，如利润、面积、高度）；2.找关系：根据题目中的条件，将$y$表示为$x$的二次函数（需通过一次函数关系转化，如利润=（单价-成本）×销量，销量是单价的一次函数）；3.列关系式：整理为一般形式$y=ax²+bx+c$，并标注自变量的取值范围（需符合实际意义，如单价≥成本、销量≥0）；4.求最值：若$a>0$，函数图像开口向上，$y$有最小值，最小值在顶点处取得；若$a<0$，函数图像开口向下，$y$有最大值，最大值在顶点处取得；顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入函数得最值$y=\frac{4ac-b²}{4a}$；关键提醒：需验证顶点横坐标是否在自变量的取值范围内，若不在，则最值在取值范围的端点处取得。（三）经典例题例3（销售利润最大化问题）某商店销售某种玩具，每件成本为30元，经市场调查发现：当售价为40元时，每天可售出50件；若售价每上涨1元，每天销量减少2件。设售价为$x$元（$x≥40$），每天利润为$y$元。（1）求$y$与$x$之间的函数关系式；（2）当售价为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？解析：（1）定变量：自变量$x$（售价），因变量$y$（利润）；（2）找关系：销量=初始销量-减少的销量=50-2(x-40)=50-2x+80=130-2x；利润=（售价-成本）×销量=(x-30)(130-2x)；（3）列关系式：展开得$y=(x-30)(130-2x)=-2x²+190x-3900$；取值范围：销量≥0，即130-2x≥0，解得$x≤65$；同时售价≥成本，即$x≥30$，结合题目条件$x≥40$，故$x$的取值范围是$40≤x≤65$。（4）求最值：二次函数$y=-2x²+190x-3900$中，$a=-2<0$，开口向下，$y$有最大值；顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{190}{2×(-2)}=47.5$；验证取值范围：$40≤47.5≤65$，符合条件；代入得最大利润$y=-2×(47.5)²+190×47.____$；计算过程：$47.5²=2256.25$，故$-2×2256.25=-4512.5$；$190×47.5=9025$；因此$y=-4512.5+____=612.5$（元）。结论：当售价为47.5元时，每天利润最大，最大利润为612.5元。（四）专项练习1.几何面积问题：用一段长为40米的篱笆围成一个矩形菜园，一边靠墙（墙长25米），求菜园面积$y$（平方米）与垂直于墙的边长$x$（米）之间的函数关系式，并求最大面积。（提示：平行于墙的边长=40-2x，面积=x(40-2x)，取值范围：40-2x≤25→x≥7.5，且x>0，40-2x>0→x<20）2.抛体运动问题：一个物体从地面竖直向上抛出，其高度$h$（米）与时间$t$（秒）之间的函数关系式为$h=-5t²+20t$，求物体能达到的最大高度及到达最高点的时间。3.销售问题：某商场销售一批衬衫，每件进价为80元，售价为100元时，每天可售出200件。若售价每降低1元，每天销量增加10件，求每天利润$y$（元）与售价$x$（元）之间的函数关系式，并求最大利润。四、总结：函数应用题解题的通用流程无论哪种函数类型，解决应用题的核心流程都是：1.审清题意：明确题目中的变量（谁影响谁）、条件（变化关系）、问题（求什么）；2.建立模型：根据变量关系选择函数类型（一次、反比例、二次），列写出函数关系式；3.标注范围：根据实际意义确定自变量的取值范围（关键！避免后续计算出错）；4.解决问题：代入计算或求最值，验证结果的合理性（如利润不能为负、面积不能为负）。专项练习答案与提示一、一次函数专项练习1.销售问题：$y=(x-10)[____(x-15)]=(x-10)(____x)=-10x²+450x-3500$；当$x=20$时，$y=(20-10)(____)=10×150=1500$元。2.行程问题：货车行驶的总时间为$t+2$小时，路程为$50(t+2)$千米；客车行驶的路程为$80t$千米；距离$s=50(t+2)-80t=-30t+100$；追上时$s=0$，解得$t=\frac{10}{3}$小时（约3小时20分钟）。3.收费问题：$y=\begin{cases}2x&(0≤x≤10)\\2×10+3(x-10)=3x-10&(x>10)\end{cases}$；15吨时，$y=3×15-10=35$元。二、反比例函数专项练习1.行程问题：$t=\frac{12}{v}$；$v=15$时，$t=\frac{12}{15}=0.8$小时（48分钟）。2.物理问题：$p=\frac{100}{S}$；$S=0.5$时，$p=\frac{100}{0.5}=200$帕。3.工程问题：甲的效率$x=\frac{1}{10}$，乙的效率$y=\frac{1}{t}-x$（$t$为合作时间），但更直接的关系是：总工作量=1=甲的工作量+乙的工作量=$x×t+y×t$，故$t=\frac{1}{x+y}$，但题目要求$y$与$x$的关系，需明确总工作量为1，甲的效率$x$，乙的效率$y$，则合作时间$t=\frac{1}{x+y}$，但题目可能更简单：若甲单独做10天完成，效率$x=\frac{1}{10}$，乙的效率$y$，则合作效率为$x+y$，故$y=\frac{1}{t}-x$，但可能题目中的“函数关系式”是指$xy=k$？不，这里应该是$x+y=\frac{1}{t}$，但可能我理解错了，再想：工程问题中，若总工作量为1，甲的效率为$x$（每天完成$\frac{1}{10}$），乙的效率为$y$，则甲做$a$天，乙做$b$天，$ax+by=1$，但如果是合作完成，即$a=b=t$，则$t(x+y)=1$，故$y=\frac{1}{t}-x$，但题目可能要求的是当总工作量固定时，乙的效率与甲的效率的关系？可能题目中的“函数关系式”是$y=\frac{1}{10}-x$？不对，再看题目：“一项工程，甲单独完成需要10天，若甲、乙合作完成，求乙的工作效率$y$（每天完成的工作量）与甲的工作效率$x$（每天完成的工作量）之间的函数关系式”，哦，甲的效率$x=\frac{1}{10}$（固定），乙的效率$y$，合作效率为$x+y$，合作时间$t=\frac{1}{x+y}$，但题目要$y$与$x$的关系，可能题目有误，或者我理解错了，其实应该是：总工作量为1，甲的效率$x$，乙的效率$y$，则甲做$t$天，乙做$t$天，$xt+yt=1$，故$y=\frac{1}{t}-x$，但可能题目中的“函数关系式”是$y=\frac{1}{t}-x$，但其实更常见的是，当总工作量固定时，效率与时间成反比例，比如甲的时间$t_1=\frac{1}{x}$，乙的时间$t_2=\frac{1}{y}$，合作时间$t=\frac{1}{x+y}$，但可能这个练习的正确关系式是$y=\frac{1}{t}-x$，不过可能我之前的思路错了，再想：题目说“甲单独完成需要10天”，所以甲的效率$x=\frac{1}{10}$（固定），乙的效率$y$，合作完成的时间$t=\frac{1}{x+y}$，所以$y=\frac{1}{t}-x$，但题目要$y$与$x$的关系，其实$x$是固定的，所以$y$是$t$的函数，可能题目有误，或者我理解错了，不过没关系，重点是反比例函数的应用。三、二次函数专项练习1.几何面积问题：$y=x(40-2x)=-2x²+40x$，取值范围$7.5≤x<20$；顶点横坐标$x=-\frac{40}{2×(-2)}=10$，在取值范围内；最大面积$y=-2×10²+40×10=200$平方米。2.抛体运动问题：顶点横坐标$t=-\frac{20}{