初中数学函数章节重点解析及测验

一、引言函数是初中数学的核心内容，是连接代数与几何的桥梁，也是高中函数学习的基础。其本质是变量之间的对应关系，通过“数”（解析式）、“形”（图像）、“表”（列表）三者结合，揭示变量变化的规律。本章重点包括：函数基本概念、一次函数（含正比例函数）、二次函数、反比例函数的定义、图像、性质及应用。以下从核心知识点解析和达标测验两部分展开，帮你系统梳理、精准突破。二、核心知识点解析（一）函数基本概念1.定义：在一个变化过程中，有两个变量\(x\)（自变量）和\(y\)（因变量），若对于\(x\)的每一个确定值，\(y\)都有唯一确定的值与之对应，则\(y\)是\(x\)的函数（记作\(y=f(x)\)）。关键条件：“唯一确定”（如\(y^2=x\)不是函数，因\(x=4\)时\(y=±2\)，不符合唯一性）。2.自变量取值范围：整式（如\(y=2x+1\)）：全体实数；分式（如\(y=1/(x-2)\)）：分母≠0（\(x≠2\)）；二次根式（如\(y=√(x-1)\)）：被开方数≥0（\(x≥1\)）；实际问题（如时间、人数）：符合实际意义（如时间≥0，人数为正整数）。3.函数表示方法：列表法（直观，如表格记录温度随时间变化）；解析式法（精确，如\(y=3x-2\)）；图像法（形象，如折线图表示销量变化）；三者可互相转化（如由解析式画图像，由图像写解析式）。（二）一次函数（含正比例函数）1.定义：形如\(y=kx+b\)（\(k,b\)为常数，\(k≠0\)）的函数，称为一次函数；当\(b=0\)时，\(y=kx\)（正比例函数，是特殊的一次函数）。2.图像与性质：图像：直线（两点确定一条直线，通常取与\(x\)轴交点\((-b/k,0)\)、与\(y\)轴交点\((0,b)\)）；性质：\(k\)的作用：\(k>0\)→\(y\)随\(x\)增大而增大（直线从左到右上升）；\(k<0\)→\(y\)随\(x\)增大而减小（直线从左到右下降）；\(b\)的作用：\(b>0\)→直线交\(y\)轴正半轴；\(b=0\)→直线过原点；\(b<0\)→直线交\(y\)轴负半轴。3.与方程、不等式的关系：一次函数\(y=kx+b\)与\(x\)轴交点的横坐标→方程\(kx+b=0\)的解；\(y>0\)→不等式\(kx+b>0\)的解集；\(y<0\)→不等式\(kx+b<0\)的解集。（三）二次函数1.定义：形如\(y=ax²+bx+c\)（\(a,b,c\)为常数，\(a≠0\)）的函数，称为二次函数。2.表达式转化：一般式：\(y=ax²+bx+c\)（通用形式）；顶点式：\(y=a(x-h)²+k\)（顶点坐标\((h,k)\)，对称轴\(x=h\)，由配方法转化：\(h=-b/(2a)\)，\(k=(4ac-b²)/(4a)\)）；交点式：\(y=a(x-x₁)(x-x₂)\)（\(x₁,x₂\)为与\(x\)轴交点横坐标，由因式分解转化）。3.图像与性质：图像：抛物线（开口方向由\(a\)决定，\(a>0\)开口向上，\(a<0\)开口向下）；关键要素：对称轴：\(x=-b/(2a)\)；顶点坐标：\((-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))\)；与\(y\)轴交点：\((0,c)\)；与\(x\)轴交点：判别式\(Δ=b²-4ac\)→\(Δ>0\)（两交点）、\(Δ=0\)（一交点，顶点在\(x\)轴）、\(Δ<0\)（无交点）；性质：增减性：\(a>0\)→对称轴左侧（\(x<h\)）\(y\)随\(x\)增大而减小，右侧（\(x>h\)）\(y\)随\(x\)增大而增大；\(a<0\)则相反；最值：\(a>0\)→最小值为顶点纵坐标；\(a<0\)→最大值为顶点纵坐标。（四）反比例函数1.定义：形如\(y=k/x\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的函数，称为反比例函数（也可表示为\(y=kx^{-1}\)）。2.图像与性质：图像：双曲线（关于原点对称，\(k>0\)→第一、三象限；\(k<0\)→第二、四象限）；性质：\(k\)的作用：\(k>0\)→在每个象限内，\(y\)随\(x\)增大而减小；\(k<0\)→在每个象限内，\(y\)随\(x\)增大而增大（注意：不能说“整个定义域内\(y\)随\(x\)增大而减小”，因跨象限后趋势相反）；\(k\)的几何意义：过双曲线上任意一点作\(x\)轴、\(y\)轴垂线，围成的矩形面积=|k|，三角形面积=|k|/2。三、达标测验（一）选择题（每题3分，共15分）1.下列式子中，\(y\)是\(x\)的函数的是（）A.\(y=±x\)B.\(y²=x\)C.\(y=|x|\)D.\(x+y²=1\)解析：选C。函数要求“唯一确定”，A、B、D中\(x\)取一个值时\(y\)有多个值对应，不符合。2.函数\(y=√(x-1)/(x-2)\)的自变量取值范围是（）A.\(x≥1\)B.\(x>1\)C.\(x≥1\)且\(x≠2\)D.\(x>1\)且\(x≠2\)解析：选C。二次根式要求\(x-1≥0\)，分式要求\(x-2≠0\)，故\(x≥1\)且\(x≠2\)。3.一次函数\(y=-2x+3\)的图像不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选C。\(k=-2<0\)（下降），\(b=3>0\)（交\(y\)轴正半轴），图像过第一、二、四象限，不过第三象限。4.二次函数\(y=x²-2x+3\)的顶点坐标是（）A.\((1,2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,-2)\)D.\((-1,-2)\)解析：选A。配方得\(y=(x-1)²+2\)，顶点\((1,2)\)（或用顶点公式\(h=1\)，\(k=2\)）。5.反比例函数\(y=k/x\)的图像过点\((2,-3)\)，则\(k\)的值是（）A.\(-6\)B.\(6\)C.\(-3/2\)D.\(3/2\)解析：选A。代入点得\(-3=k/2\)，解得\(k=-6\)。（二）填空题（每题3分，共15分）1.若函数\(y=(m-1)x+m\)是一次函数，则\(m\)的取值范围是______。解析：\(m≠1\)。一次函数要求\(k≠0\)，即\(m-1≠0\)。2.二次函数\(y=2x²+4x-1\)的对称轴是______。解析：\(x=-1\)。对称轴公式\(x=-b/(2a)=-4/(2×2)=-1\)。3.反比例函数\(y=3/x\)在第一象限内，\(y\)随\(x\)增大而______。解析：减小。\(k=3>0\)，在每个象限内\(y\)随\(x\)增大而减小。4.一次函数\(y=kx+b\)与\(y\)轴交于点\((0,2)\)，与\(x\)轴交于点\((3,0)\)，则解析式为______。解析：\(y=-2/3x+2\)。代入\((0,2)\)得\(b=2\)，代入\((3,0)\)得\(0=3k+2\)，解得\(k=-2/3\)。5.二次函数\(y=-x²+2x+3\)的最大值是______。解析：4。配方得\(y=-(x-1)²+4\)，\(a=-1<0\)，最大值为顶点纵坐标4。（三）解答题（每题10分，共30分）1.已知一次函数\(y=kx+b\)的图像过点\((1,3)\)和\((-1,-1)\)，求该函数解析式，并求当\(x=2\)时\(y\)的值。解析：代入两点得方程组：\(\begin{cases}3=k+b\\-1=-k+b\end{cases}\)，解得\(k=2\)，\(b=1\)，故解析式为\(y=2x+1\)。当\(x=2\)时，\(y=2×2+1=5\)。2.某商店销售某种商品，每件成本为10元，售价为\(x\)元（\(x>10\)），每天销售量为\((____x)\)件，求每天的利润\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求当售价为多少时，利润最大，最大利润是多少。解析：利润=每件利润×销售量，故\(y=(x-10)(____x)=-10x²+300x-2000\)（二次函数，\(a=-10<0\)，有最大值）。顶点横坐标\(x=-b/(2a)=-300/(2×(-10))=15\)，此时最大利润\(y=-10×15²+300×____=250\)元。答：售价为15元时，利润最大，最大利润250元。3.已知反比例函数\(y=k/x\)的图像与一次函数\(y=2x+1\)的图像交于点\((1,m)\)，求反比例函数解析式，并求两函数图像的另一个交点坐标。解析：（1）求\(m\)：代入一次函数得\(m=2×1+1=3\)，故交点\((1,3)\)；（2）求反比例函数：代入\((1,3)\)得\(3=k/1\)，故\(y=3/x\)；（3）求另一个交点：联立方程\(3/x=2x+1\)，化简得\(2x²+x-3=0\)，解得\(x=1\)或\(x=-3/2\)；当\(x=-3/2\)时，\(y=3/(-3/2)=-2\)，故另一个交点为\((-3/2,-2)\)。四、总结与建议函数章节的重点是理解概念本质（如“唯一确定”“每个象限内”）、掌握图像性质（如一次函数