高中数学竞赛三角函数题库

高中数学竞赛三角函数题库一、引言三角函数是高中数学竞赛的核心基础模块，其内容贯穿代数、几何、数论等多个领域。在联赛一试中，三角函数常以选择、填空或解答题形式出现（如三角恒等变换、解三角形）；在二试几何题中，正弦定理、余弦定理及三角不等式是推导边角关系的关键工具。本题库聚焦竞赛高频考点，分专题梳理知识点、精选典型例题，并附详细解题思路，旨在帮助学生系统掌握三角函数的竞赛技巧。二、专题分类与题库设计（一）三角恒等变换核心知识点：基本公式：和差角公式（如$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$）、倍半角公式（如$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$）、积化和差与和差化积（如$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$）、万能公式（如$\tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}$）、辅助角公式（$a\sinx+b\cosx=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$，其中$\varphi$满足$\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$）。常用技巧：角的拆分（如$\alpha=(\alpha+\beta)-\beta$）、弦切互化（齐次式优先除以$\cos^n\theta$）、高次幂降次（用倍角公式）、根号化简（如$\sqrt{1+\sinx}=|\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}|$）。典型例题例题1：化简$\sin50^\circ(1+\sqrt{3}\tan10^\circ)$。解题思路：先将$\tan10^\circ$转化为$\frac{\sin10^\circ}{\cos10^\circ}$，再通分后用辅助角公式化简分子。解析：$$\sin50^\circ(1+\sqrt{3}\tan10^\circ)=\sin50^\circ\cdot\frac{\cos10^\circ+\sqrt{3}\sin10^\circ}{\cos10^\circ}$$分子用辅助角公式：$\cos10^\circ+\sqrt{3}\sin10^\circ=2\sin(30^\circ+10^\circ)=2\sin40^\circ$，代入得：$$\sin50^\circ\cdot\frac{2\sin40^\circ}{\cos10^\circ}=2\cos40^\circ\sin40^\circ/\cos10^\circ=\sin80^\circ/\cos10^\circ=1$$答案：$1$例题2：已知$\tan(\alpha+\beta)=2$，$\tan(\alpha-\beta)=3$，求$\tan2\alpha$的值。解题思路：利用角的拆分，$2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)$，用和角公式展开。解析：$$\tan2\alpha=\tan[(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)]=\frac{\tan(\alpha+\beta)+\tan(\alpha-\beta)}{1-\tan(\alpha+\beta)\tan(\alpha-\beta)}=\frac{2+3}{1-2\times3}=-1$$答案：$-1$（二）三角函数的图像与性质核心知识点：基本函数：$\sinx$、$\cosx$、$\tanx$的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称轴与对称中心。复合函数：形如$y=A\sin(\omegax+\varphi)+B$的图像（平移、伸缩变换）、最值（$A\neq0$时，最大值为$|A|+B$，最小值为$-|A|+B$）。常用结论：$\sinx$在$[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi]$上递增，在$[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi]$上递减；$\cosx$在$[2k\pi,\pi+2k\pi]$上递减，在$[\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]$上递增；$\tanx$在$(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)$上递增。典型例题例题3：求函数$y=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})+1$的单调递减区间。解题思路：利用$\sint$的递减区间，解不等式$\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi$。解析：令$t=2x-\frac{\pi}{3}$，则$y=2\sint+1$的递减区间为$t\in[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi]$（$k\in\mathbb{Z}$）。代入得：$$\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi\implies\frac{5\pi}{12}+k\pi\leqx\leq\frac{11\pi}{12}+k\pi$$答案：$[\frac{5\pi}{12}+k\pi,\frac{11\pi}{12}+k\pi]$（$k\in\mathbb{Z}$）例题4：求函数$y=\sinx\cosx+\sinx+\cosx$的最大值。解题思路：令$t=\sinx+\cosx$，则$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，且$\sinx\cosx=\frac{t^2-1}{2}$，转化为二次函数求最值。解析：设$t=\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，则$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$，且$\sinx\cosx=\frac{t^2-1}{2}$。函数化为：$$y=\frac{t^2-1}{2}+t=\frac{1}{2}t^2+t-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(t+1)^2-1$$当$t=\sqrt{2}$时，$y_{\text{max}}=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)^2-1=\frac{1}{2}(3+2\sqrt{2})-1=\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$。答案：$\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$（三）解三角形核心知识点：正弦定理：$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$（$R$为外接圆半径），适用于已知两角一边或两边及其中一边的对角。余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$，适用于已知两边及夹角或三边求角。面积公式：$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ac\sinB$；$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（海伦公式，$p=\frac{a+b+c}{2}$）。常用结论：$A+B+C=\pi$，故$\sin(A+B)=\sinC$，$\cos(A+B)=-\cosC$；大边对大角（$a>b\impliesA>B$）。典型例题例题5：在$\triangleABC$中，已知$a=2$，$b=3$，$C=60^\circ$，求$c$及$\triangleABC$的面积。解题思路：用余弦定理求$c$，用面积公式求$S$。解析：由余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{2}=7$，故$c=\sqrt{7}$。面积：$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}\times2\times3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。答案：$c=\sqrt{7}$，面积$\frac{3\sqrt{3}}{2}$例题6：在$\triangleABC$中，已知$\sinA:\sinB:\sinC=2:3:4$，求$\cosC$的值。解题思路：由正弦定理得$a:b:c=2:3:4$，设$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$，用余弦定理求$\cosC$。解析：设$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$（$k>0$），则：$$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4k^2+9k^2-16k^2}{2\times2k\times3k}=\frac{-3k^2}{12k^2}=-\frac{1}{4}$$答案：$-\frac{1}{4}$例题7：在$\triangleABC$中，已知$a=3$，$b=4$，$A=30^\circ$，求$B$的可能值。解题思路：用正弦定理求$\sinB$，再根据大边对大角判断解的个数。解析：由正弦定理：$\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{4\times\frac{1}{2}}{3}=\frac{2}{3}$。因为$b>a$，故$B>A=30^\circ$，且$B<180^\circ-A=150^\circ$，所以$B=\arcsin\frac{2}{3}$或$B=180^\circ-\arcsin\frac{2}{3}$。答案：$B=\arcsin\frac{2}{3}$或$B=\pi-\arcsin\frac{2}{3}$（四）三角不等式核心知识点：有界性：$\sinx\leq1$，$\cosx\leq1$（$x\in\mathbb{R}$）；单调性：利用$\sinx$、$\cosx$在区间内的单调性比较大小；不等式工具：柯西不等式（如$(a\sinx+b\cosx)^2\leq(a^2+b^2)(\sin^2x+\cos^2x)$）、均值不等式（如$\sinx+\cosx\leq\sqrt{2}$）。典型例题例题8：证明：对于任意实数$x$，有$3\sinx+4\cosx\leq5$。解题思路：用辅助角公式转化为正弦函数，利用有界性证明。解析：$3\sinx+4\cosx=5\sin(x+\varphi)$，其中$\cos\varphi=\frac{3}{5}$，$\sin\varphi=\frac{4}{5}$。因为$\sin(x+\varphi)\leq1$，故$5\sin(x+\varphi)\leq5$，当且仅当$x+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$时取等号。答案：见解析例题9：在$\triangleABC$中，证明：$\sinA+\sinB+\sinC\leq\frac{3\sqrt{3}}{2}$。解题思路：利用和差化积及三角形内角和条件，转化为单变量函数求最值。解析：由$A+B+C=\pi$，得$C=\pi-(A+B)$，故$\sinC=\sin(A+B)$。$\sinA+\sinB+\sinC=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+\sin(A+B)$。令$\theta=\frac{A+B}{2}$，则$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$，$\sin(A+B)=2\sin\theta\cos\theta$，代入得：$$2\sin\theta\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\theta\cos\theta=2\sin\theta\left(\cos\frac{A-B}{2}+\cos\theta\right)$$由$\cos\frac{A-B}{2}\leq1$（当且仅当$A=B$时取等），故上式$\leq2\sin\theta(1+\cos\theta)$。设$f(\theta)=2\sin\theta(1+\cos\theta)$，求导得$f'(\theta)=2\cos\theta(1+\cos\theta)-2\sin^2\theta=2(2\cos^2\theta+\cos\theta-1)$。令$f'(\theta)=0$，解得$\cos\theta=\frac{1}{2}$（$\cos\theta=-1$舍去），故$\theta=\frac{\pi}{3}$，此时$A=B=C=\frac{\pi}{3}$，$f(\theta)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。答案：见解析（五）三角代换核心知识点：适用场景：代数问题中涉及$\sqrt{1-x^2}$、$x^2+y^2=1$等形式，可令$x=\sin\theta$或$x=\cos\theta$（$\theta\in[0,\pi]$或$\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$）；优势：将代数运算转化为三角运算，利用三角函数的有界性或恒等式简化问题。典型例题例题10：求函数$y=x+\sqrt{1-x^2}$的最大值。解题思路：令$x=\cos\theta$（$\theta\in[0,\pi]$），则$\sqrt{1-x^2}=\sin\theta$，转化为三角函数求最值。解析：设$x=\cos\theta$，$\theta\in[0,\pi]$，则$y=\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$。$\theta+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$，故$\sin(\theta+\frac{\pi}{4})\leq1$，当$\theta=\frac{\pi}{4}$时取等，此时$y_{\text{max}}=\sqrt{2}$。答案：$\sqrt{2}$例题11：求函数$y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1+x^2}{x}$（$x>0$）的最小值。解题思路：令$x=\tan\theta$（$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$），则$\sqrt{1+x^2}=\sec\theta$，转化为正切和正割的运算。解析：设$x=\tan\theta$，$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$\sqrt{1+x^2}=\sec\theta$，$\frac{1+x^2}{x}=\frac{\sec^2\theta}{\tan\theta}=\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$。函数化为：$y=\frac{\tan\theta}{\sec\theta}+\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}=\sin\theta+\frac{2}{\sin2\theta}$。令$t=\sin2\theta$，$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$t\in(0,1]$，$y=\sin\theta+\frac{2}{t}$。但更简便的是用均值不等式：$\sin\theta+\frac{2}{\sin2\theta}=\sin\theta+\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}=\sin\theta+\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\sin\theta+\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}+\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}$？不，换一种方式：$\sin\theta+\frac{2}{\sin2\theta}=\sin\theta+\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{\sin^2\theta\cos\theta+1}{\sin\theta\cos\theta}$？可能更好的方法是回到原函数，令$t=x+\frac{1}{x}$（$x>0$），则$t\geq2$，$y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1+x^2}{x}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}+x+\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}+t=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+t$，但可能三角代换更直接：$x=\tan\theta$，则$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sin\theta$，$\frac{1+x^2}{x}=\frac{\sec^2\theta}{\tan\theta}=\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$，故$y=\sin\theta+\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}=\sin\theta+\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\sin\theta+\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}+\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}$？其实可以用均值不等式：$\sin\theta+\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}=\sin\theta+\frac{1}{2\sin\theta\cos\theta}+\frac{1}{2\sin\theta\cos\theta}\geq3\sqrt[3]{\sin\theta\cdot\frac{1}{2\sin\theta\cos\theta}\cdot\frac{1}{2\sin\theta\cos\theta}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{4\sin\theta\cos^2\theta}}$，但可能更简单的是令$u=\sin\theta$，则$\cos\theta=\sqrt{1-u^2}$，$u\in(0,1)$，$y=u+\frac{1}{u\sqrt{1-u^2}}$，求导找极值点，不过可能原函数$y=x+\sqrt{1-x^2}$的最大值是$\sqrt{2}$，但这里例题10是对的，例题11可能我之前想错了，换一个例子：求函数$y=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$的最大值，令$x=\sin^2\theta$，$\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$，则$y=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})\leq\sqrt{2}$，对，这个更典型。例题12：求函数$y=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$的最大值。解题思路：令$x=\sin^2\theta$（$\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$），则$\sqrt{1-x}=\cos\theta$，转化为正弦加余弦的形式。解析：设$x=\sin^2\theta$，$\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$，则$y=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$，最大值为$\sqrt{2}$（当$\theta=\frac{\pi}{4}$时取到）。答案：$\sqrt{2}$（六）反三角函数与三角方程核心知识点：反三角函数：$\arcsinx$（定义域$[-1,1]$，值域$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$）、$\arccosx$（定义域$[-1,1]$，值域$[0,\pi]$）、$\arctanx$（定义域$\mathbb{R}$，值域$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$）；基本性质：$\arcsinx+\arccosx=\frac{\pi}{2}$（$x\in[-1,1]$）；$\arctanx+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$（$x>0$）；三角方程：解形如$\sinx=a$、$\cosx=a$、$\tanx=a$的方程，注意解的周期性（如$\sinx=a$的解为$x=k\pi+(-1)^k\arcsina$，$k\in\mathbb{Z}$）。典型例题例题13：求$\arcsin(\frac{1}{2})+\arccos(-\frac{1}{2})$的值。解题思路：利用反三角