2023山西省孝义市中考数学考试彩蛋押题含答案详解【考试直接用】

山西省孝义市中考数学考试彩蛋押题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题25分）一、单选题（5小题，每小题2分，共计10分）1、在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（）A．140° B．100° C．80° D．40°2、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3、下列关于随机事件的概率描述正确的是（）A．抛掷一枚质地均匀的硬币出现“正面朝上”的概率为0.5，所以抛掷1000次就一定有500次“正面朝上”B．某种彩票的中奖率为5%，说明买100张彩票有5张会中奖C．随机事件发生的概率大于或等于0，小于或等于1D．在相同条件下可以通过大量重复实验，用一个随机事件的频率去估计概率4、设方程的两根分别是，则的值为（

）A．3 B． C． D．5、如图，在中，，，，将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是（）A． B． C． D．二、多选题（5小题，每小题3分，共计15分）1、下表时二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值：…………则对于该函数的性质的判断中正确的是（）A．该二次函数有最大值B．不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2C．方程y=ax2+bx+c的两个实数根分别位于﹣＜x＜0和2＜x＜之间D．当x＞0时，函数值y随x的增大而增大2、下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：…013……6…下列各选项中，正确的是（

）A．函数图象的开口向下 B．当时，的值随的增大而增大C．函数的图象与轴无交点 D．这个函数的最小值小于3、二次函数（，，为常数，）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为，与轴的一个交点在点和点之间，给出的四个结论中正确的有（

）A． B．C． D．时，方程有解4、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．下列结论正确的是（

）A．B．C．若，是抛物线上的两点，则D．关于x的方程无实数根5、如图所示，二次函数的图象的一部分，图像与x轴交于点．下列结论中正确的是（

）A．抛物线与x轴的另一个交点坐标是B．C．若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，5D．将抛物线向左平移3个单位，则新抛物线的表达式为第Ⅱ卷（非选择题75分）三、填空题（5小题，每小题3分，共计15分）1、如图，正三角形ABC的边长为，D、E、F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，长为半径作圆，图中阴影部分面积为______．2、如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为_____．3、“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是_____．5、在菱形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，连结AC，DE交于点F，连结BF．记∠ABC＝α（0°＜α＜180°）．（1）当α＝60°时，则AF的长是_____；（2）当α在变化过程中，BF的取值范围是_____．四、简答题（2小题，每小题10分，共计20分）1、2022年冬奥会在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？2、已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+的图象经过点A（2，6）和B（4，4），直线l经过点B并与x轴垂直，垂足为Q．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，作AK⊥x轴，垂足为K，连接AO，点R是直线1上的点，如果△AOK与以O，Q，R为顶点的三角形相似，请直接写出点R的纵坐标；（3）如图2，正方形CDEF的顶点C是第二象限抛物线上的点，点D，E在直线1上，以CF为底向右做等腰△CFM，直线l与CM，FM的交点分别是G，H，并且CG＝GM，FH＝HM，连接CE，与FM的交点为N，且点N的纵坐标是﹣1．求：①tan∠DCG的值；②点C的坐标．五、解答题（4小题，每小题10分，共计40分）1、如图，和中，，，，连接，点M，N，P分别是的中点．（1）请你判断的形状，并证明你的结论．（2）将绕点A旋转，若，请直接写出周长的最大值与最小值．2、已知的半径是．弦．求圆心到的距离；弦两端在圆上滑动，且保持，的中点在运动过程中构成什么图形，请说明理由．3、在正方形ABCD中，过点B作直线l，点E在直线l上，连接CE，DE，其中，过点C作于点F，交直线l于点H．（1）当直线l在如图①的位置时①请直接写出与之间的数量关系______．②请直接写出线段BH，EH，CH之间的数量关系______．（2）当直线l在如图②的位置时，请写出线段BH，EH，CH之间的数量关系并证明；（3）已知，在直线l旋转过程中当时，请直接写出EH的长．4、某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【分析】，，，进而求解的值．【详解】解：由题意知∵∴∴∵∴故选C．【点睛】本题考查了圆内接四边形中对角互补．解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解．2、C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【考点】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3、D【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．【详解】解：概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定，故选项A、B错误；随机事件发生的概率大于0，小于1，概率等于1的是必然事件，概率等于0的是不可能事件，故选项C错误；在相同条件下可以通过大量重复实验，用一个随机事件的频率去估计概率，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4、A【解析】【分析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．【详解】由可知，其二次项系数，一次项系数，由韦达定理：，故选：A．【考点】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．5、C【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，设，则，根据勾股定理，可得，从而得到，进而得到∴，可得到点，再根据旋转的性质，即可求解．【详解】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，设，则，∵，，∴，∵，，∴，解得：，∴，∴，∴点，∴将绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是，∴将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是．故选：C【点睛】本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A的坐标，属于中考常考题型．二、多选题1、BC【解析】【分析】由图表可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，a＞0，即可判断A，D不正确，由图表可直接判断B，C正确．【详解】解：∵当x=0时，y=-1；当x=2时，y=-1；当x=，y=；当x=，y=；∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小．∴a＞0即二次函数有最小值则A，D错误由图表可得：不等式y＞-1的解集是x＜0或x＞2；由图表可得：方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-＜x＜0和2＜x＜之间；所以选项B，C正确，故选：BC．【考点】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值，理解图表中信息是本题的关键．2、BD【解析】【分析】根据抛物线经过点（0，-4），（3，-4）可得抛物线对称轴为直线，由抛物线经过点（-2，6）可得抛物线开口向上，进而求解．【详解】解：∵抛物线经过点（0，-4），（3，-4），∴抛物线对称轴为直线，∵抛物线经过点（-2，6），∴当x＜时，y随x增大而减小，∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，C错误，不符合题意；∴x＞时，y随x增大而增大，故B正确，符合题意；由对称性可知，在处取得最小值，且最小值小于-6．故D正确，符合题意．故选：BD．【考点】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．3、BCD【解析】【分析】根据抛物线与轴有两个交点，可知，即可判断A选项；根据时，，即可判断B选项；根据对称轴，即可判断C选项；D．根据抛物线的顶点坐标为，函数有最大即可判定D．【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的负半轴，∵抛物线与轴有两个交点，∴，∴，即，故A错误；由图象可知，时，，∴，故B正确；∵抛物线的顶点坐标为，∴，，∵，∴，即，故C正确；∵抛物线的开口向下，顶点坐标为，∴（为任意实数），即时，方程有解．故D正确．故选BCD．【考点】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像等知识点，掌握二次函数的性质与解析式的关系是解答本题的关键．4、CD【解析】【分析】根据二次函数的性质及与x轴另一交点的位置，即可判定A；当x=2时，即可判定B；根据对称性及二次函数的性质，可判定C；根据平移后与x轴有无交点，可判定D．【详解】解：由图象可知：该二次函数图象的对称轴为直线，∴b=2a，由图象可知：该二次函数图象与x轴的左侧交点在-3与-2之间，故与x轴的另一个交点在0与1之间，∴当x=1时，y<0，即a+b+c<0,3a+c<0，故A错误；当x=-2时，y>0，即4a-2b+c>0，故B错误；点关于对称轴对称的点的坐标为，即，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，故，故C正确；该二次函数的顶点坐标为(−1,n)，将函数向下平移n+1个单位，函数图象与x轴无交点，∴方程无实数根，故D正确，故选：CD．【考点】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数的图象判定式子是否成立，解题的关键是从图象中找到相关信息．5、ABD【解析】【分析】结合图象，根据二次函数的性质进行判断即可求解【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，将(-1,0)代入抛物线方程，可得：4a+k=0，∵4a+k=0，∴k=-4a，∴k+a=-3a，∵a＜0，∴k+a=-3a＞0，即B选项正确；将k=-4a代入抛物线方程，可得：抛物线方程为：，当y=0时，方程的根为-1和3，∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，即A项正确；将点(-3,m)代入到抛物线方程，可得m=12a，∵结合k=-4a，∴方程，化简为：，∵a＜0，∴，即，显然方程无实数解，故C项说法错误；向左平移3个单位，依据左加右减原则，可得新抛物线为：，即D说法正确，故选：ABD．【考点】本题考查了抛物线的性质与图象的知识，解答本题时需注重运用数形结合的思想．三、填空题1、【分析】阴影部分的面积等于等边三角形的面积减去三个扇形面积，而这三个扇形拼起来正好是一个半径为半圆的面积，即阴影部分面积=等边三角形面积−半径为半圆的面积，因此求出半圆面积，连接AD，则可求得AD的长，从而可求得等边三角形的面积，即可求得阴影部分的面积．【详解】连接AD，如图所示则AD⊥BC∵D点是BC的中点∴由勾股定理得∴∵S半圆=∴S阴影=S△ABC−S半圆故答案为：【点睛】本题是求组合图形的面积，扇形面积及三角形面积的计算．关键是把不规则图形面积通过割补转化为规则图形的面积计算．2、2【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ的长．【详解】解：当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴点A的坐标为（﹣2，0）；当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）；当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝0，x2＝2，∴点D的坐标为（2，2）．设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：解得：∴直线AD的解析式为y＝x+1．当x＝0时，y＝x+1＝1，∴点E的坐标为（0，1）．当y＝1时，﹣x2+x+2＝1，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，∴点P的坐标为（1﹣，1），点Q的坐标为（1+，1），∴PQ＝1+﹣（1﹣）＝2．故答案为：2．【考点】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P，Q的坐标是解题的关键．3、【解析】【分析】先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.【详解】解：则或或解得：故答案为：【考点】本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.4、6【解析】【分析】连接OC，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理计算即可．【详解】连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，∵AB＝10，AE＝1，∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4，在Rt△COE中，CE＝＝3，∴CD＝2CE＝6，故答案为6．【考点】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．5、2【分析】（1）证明是等边三角形，，进而即可求得；（2）过点作，交于点，以为圆心长度为半径作半圆，交的延长延长线于点，证明在半圆上，进而即可求得范围．【详解】（1）如图，四边形是菱形，是等边三角形是的中点即故答案为：2（2）如图，过点作，交于点，以为圆心长度为半径作半圆，交的延长延长线于点，四边形是菱形，在以为圆心长度为半径的圆上，又∠ABC＝α（0°＜α＜180°）在半圆上，最小值为最大值为故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，点与圆的位置关系求最值问题，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．四、简答题1、（1）；（2）当销售单价为56元时，每天所获得的利润最大，最大利润为1152元【解析】【分析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．【详解】解：（1）由题意可得：，整理，得：，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为；（2）设销售所得利润为w，由题意可得：，整理，得：，，当时，w取最大值为1152，当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．【考点】此题考查二次函数的应用——销售问题，涉及运算能力及一次函数应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．2、（1）y＝﹣；（2）点R的纵坐标为12，﹣12，或﹣；（3）①tan∠DCG的值是，②点C坐标为（﹣1，3）．【解析】【分析】（1）将点A（2，6）和B（4，4）代入抛物线解析式，得方程组，解得a和b，再代回原解析式即可；（2）设点R的纵坐标为n，则QN＝|n|，分两种情况，根据相似关系列比例式即可解得；（3）①由三角形的中位线，及证Rt△CDG≌Rt△FEH（HL）可解；②先根据点C在抛物线上，设其横坐标为m，然后用其分别表示出相关点的坐标，并表示出直线CE，再根据△CFN∽△EHN，及相似三角形对应边上的高之比也等于相似比，从而建立关于m的方程，解之，然后代回点C即可．【详解】（1）将点A（2，6）和B（4，4）代入y＝ax2+bx+得：，解得∴二次函数的表达式为y＝．（2）∵A（2，6），AK⊥x轴，∴K（2，0），△AOK中，OK＝2，AK＝6，OA＝，△OQR中，OQ＝4，设点R的纵坐标为n，则QN＝|n|，如果△AOK与以O，Q，R为顶点的三角形相似，有两种情况：①，则n＝±12；②，则，从而n＝±．答：点R的纵坐标为，12，﹣12，或﹣．（3）①∵CG＝GM，FH＝HM，∴GH∥CF，GH＝CF，∵等腰△CFM，∴CG＝FH，∵CDEF为正方形，∴CD＝EF，∠CDG＝∠FEH＝90°，∴Rt△CDG≌Rt△FEH（HL），∴DG＝EH，∵GH＝CF，∴DG＝EH＝CF＝CD，∴tan∠DCG＝＝，答：tan∠DCG的值是．②∵C是第二象限抛物线y＝上的点，∴设点C坐标为（m，），则DC＝4﹣m，∴F（m，﹣4+m），即F（m，），∴E（4，），∵CDEF为正方形，∴∠DEC＝45°，故可设CE解析式为：y＝﹣x+b，将点E坐标代入得b＝．∴CE解析式为：y＝﹣x﹣，∵点N的纵坐标是﹣1，∴﹣1＝﹣x﹣，x＝﹣，∴点N坐标为（﹣，﹣1），∵CDEF为正方形，∴CF∥EH，∴△CFN∽△EHN，∵tan∠DCG＝＝，DG＝EH，CD＝CF，∴，则EH边上的高与CF边上的高的比值也为，∴，化简得：﹣2m2+11m+13＝0，解得m＝（舍）或m＝﹣1，∴点C坐标为（﹣1，3）．答：点C坐标为（﹣1，3）．【考点】本题是二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析式，相似三角形，一次函数，三角函数，解方程等多项知识点与能力，难度较大．五、解答题1、（1）是等腰直角三角形，证明见解析（2）周长最小值为。最大值为【分析】（1）连接BD，CE，根据SAS证明得BD=CE，根据三角形中位线性质可证明PM=PN；，进而可得结论；（2）当BD最小时即点D在AB上，此时周长最小，当点D在BA的延长线上时，BD最大，此时周长最大，均为，求出BD的长即可解决问题．（1）连接BD，CE，如图，∵，，，∴∴∴∴BD=CE，∵点M，N，P分别是的中点∴//，，PN//BD，PN=BD∴PM=PN，∵PN//BD∴∠PNC=∠DBC∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECA+∠ACD+∠PCN+∠PNC=∠ACB+∠DBC+∠ABD=∠ACB+∠ABC=90°∴∴是等腰直角三角形；（2）由（1）知，是等腰直角三角形∴∴的周长为∵∴的周长为当BD最小时即点D在AB上，此时周长最小，∵AB=8，AD=3∴BD的最小值为AB-AD=8-3=5∴周长最小为当点D在BA的延长线上时，BD最大，此时周长最大，∴BD=AB+AD=8+3=11∴周长最大为【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理的应用等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．2、（1）3；（2）在运动过程中，点运动的轨迹是以为圆心，为半径的圆【解析】【分析】（1）利用垂径定理，然后根据勾股定理即可求得弦心距OD的长；（2）根据圆的定义即可确定．【详解】解：连接，作于．就是圆心到弦的距离．在中，∵∴是弦的中点在中，，,圆心到弦的距离为．由知：是弦的中点中点在运动过程中始终保持∴据圆的定义，在运动过程中，点运动的轨迹是以为圆心，为半径的圆．【考点】考查垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.3、（1）①；②；（2）；证明见解析；（3）或．【分析】（1）①，根据CE=BC，四边形ABCD为正方形，可得BC=CD=CE，根据CF⊥DE，得出CF平分∠ECD即可；②，过点C作CG⊥BE于G，根据BC=EC，得出∠ECG=∠BCG=，根据∠ECH=∠HCD=，可得CG=HG，根据勾股定理在Rt△GHC中，，根据GE=，得出即可；（2），过点C作交BE于点M，得出，先证得出，可证是等腰直角三角形，可得即可；（3）或，根据，分两种情况，当∠ABE=90°-15°=75°时，BC=CE，先证△CDE为等边三角形，可求∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°，根据CF⊥DE，得出DF=EF=1，∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°，根据勾股定理HE=，当∠ABE=90°+15°=105°，可得BC=CE得出∠CBE=∠CEB=15°，可求∠FCE=，∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，根据30°直角三角形先证得出CF=，根据勾股定理EF=，再证FH=FE，得出EH=即可．【详解】解：（1）①∵CE=BC，四边形ABCD为正方形，∴BC=CD=CE，∵CF⊥DE，∴CF平分∠ECD，∴∠ECH=∠HCD，故答案为：∠ECH=∠HCD；②，过点C作CG⊥BE于G，∵BC=EC，∴∠ECG=∠BCG=，∵∠ECH=∠HCD=，∴∠GCH=∠ECG+∠ECF=+，∴∠GHC=180°-∠HGC+∠GCH=180°-90°-45°=45°，∴CG=HG，在