职教数学复习 第9章平面向量 第37讲平面向量的基本概念及线性运算 课件

第37讲平面向量的基本概念及线性运算第9章平面向量

能力层级考试内容

了解理解掌握平面向量的相关概念向量的实际背景.向量、零向量、单位向量、共线向量(平行向量)的概念.向量的几何表示；两个非零向量共线、相等、相反的条件.平面向量的加、减法运算平面向量加法的运算律.(2024，T48；2022，T36)平面向量加、减法的关系.平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则.

能力层级考试内容

了解理解掌握数乘向量及平面向量的基本定理数乘向量的运算律.平面向量的基本定理.数乘向量的运算；平面向量的线性运算；平行或共线向量定理.

复习建议：1.考情小结：本讲知识近三年涉及2次，2024年高考考查了向量的加法运算，难度中等，分值4分.从考查范围看：平面向量的线性运算(借助平面几何图形，选定基底，利用三角形法则或平行四边形法则表示其他向量)，平面向量的数乘运算会是考查重点，平时要落实基础知识和基本技能的掌握，多练热点、高频点.2.备考攻略：在复习此部分知识的时候，对表中这一部分每个知识点进行系统整理，形成知识网络，完善认知结构.定时对公式、定理、概念回顾，该记住的一定要记准、记牢，不能模棱两可，再通过必要的强化训练，提高运算能力.备考讲义考点1平面向量的相关概念1.向量的定义(1)既有大小又有方向的量，称为向量.只有大小而没有方向的量，称为数量.(2)向量与数量的区别：数量可以比较大小，向量不能比较大小.

图1

特殊向量定义备注零向量模为0的向量.记作0，其方向是不确定的.单位向量模为1的向量.单位向量的模均为1.

特殊向量定义备注平行向量方向相同或相反的两个非零向量(也称为共线向量).规定：0与任何向量平行.相等向量模相等且方向相同的向量.相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量.相反向量模相等且方向相反的向量.若a和b为相反向量，则a＝－b.

例1

下列物理量中是向量的是(

)A.质量 B.速度C.体积 D.温度【答案】B【试题分析】本题考查向量的概念.解题时首先要理解向量的定义：既有大小又有方向的量称为向量.【解题过程】速度是既有大小又有方向的量，而质量、体积、温度只有大小而没有方向，故选B.跟踪训练1

(改编)下列物理量中，不属于向量的是(

)A.位移 B.力C.时间 D.加速度C【试题分析】本题考查向量的概念，解题时首先要理解向量的定义：既有大小又有方向的量称为向量.依次判断四个选项是向量还是数量.【解题过程】位移、力、加速度是既有大小又有方向的量，属于向量，而时间只有大小没有方向，故选C.例2

给出下列六个命题：①若a∥b，则a＝b；②单位向量都相等；③相反向量的模一定相等；④若a∥b，b∥c，则a∥c；⑤“a＝b”是“|a|＝|b|”的必要不充分条件；⑥零向量与任一向量平行.其中真命题的个数是(

)A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【试题分析】本题考查向量的相关概念，相等向量、平行向量、单位向量、相反向量、零向量等，需要梳理清楚各自的定义，明白它们之间的联系，同时也考查了命题条件的知识，要能分辨必要不充分条件和充分不必要条件.【解题过程】

①错误，理由：相等的向量是长度相等且方向相同的两个向量；②错误，理由：单位向量只是模相等；③正确，理由：相反向量虽然方向相反，但长度相等；④错误，理由：考虑b＝0这种特殊情况即可判断；⑤错误，理由：a＝b能推出|a|＝|b|，但|a|＝|b|不能推出a＝b，所以“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分不必要条件；⑥正确，理由：规定零向量与任一向量平行，故选B.

(3)【试题分析】本题考查向量的相关概念以及模长的定义，解题时根据所学向量的概念，分辨四个命题中概念的准确性.【解题过程】

(1)错误.两向量方向相同或相反都视为平行向量；(2)错误.|0|＝0；(3)正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；(4)错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上.故填(3).

备考讲义考点2平面向量的加、减法运算

特征：首尾相接，第一个向量的起点指向第二个向量的终点.

特征：起点相同，以这两个向量作为一组邻边作一个平行四边形，和向量是从公共起点指向对角的端点，对角线长即为和向量的模.(3)向量加法的运算律：①交换律：a＋b＝b＋a；②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).2.向量的减法(1)相反向量：与向量a的长度相等，且方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量减法：求两个向量的差的运算称为向量的减法，向量a－b称为向量a与b的差，也称为向量a与b的差向量.

特征：首首相接，差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.

A【试题分析】本题考查利用已知向量表示其他向量，解题时首先要看清已知条件，再运用向量的相关线性运算进行变换解答，要熟练向量的加、减法运算.

1.数乘向量及其线性运算(1)求一个数λ与向量a的乘法运算称为数与向量的乘法运算，简称数乘运算，记为λa，λa仍是一个向量.λa的长度和方向规定如下：①大小：|λa|＝|λ||a|，即λa的模长是a的模长的|λ|倍；②方向：当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＝0时，λa＝0；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反.备考讲义考点3数乘向量及平面向量的基本定理(2)对于任意的向量a、b及任意的实数λ、μ，向量的数乘运算满足如下运算律：①(λμ)a＝λ(μa)＝μ(λa)；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.2.平行或共线向量定理已知a、b是两个非零向量，a∥b⇔存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.例6

化简：(1)5(a－b)－2(a＋3b)； (2)3[2(a＋2b)－a].【试题分析】本题主要考查数乘向量的运算律及学生的计算能力.【解题过程】

(1)原式＝5a－5b－2a－6b＝3a－11b；(2)(解法一)原式＝6(a＋2b)－3a＝6a＋12b－3a＝3a＋12b；(解法二)原式＝3(2a＋4b－a)＝3(a＋4b)＝3a＋12b.

跟踪训练7(改编)已知非零向量x与y不共线，若向量a＝mx＋y，b＝2x－3y，且a∥b，则m＝________.

【试题分析】本题考查向量的共线问题，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa，再利用已知条件进行求解.

1.把握向量的大小与方向是解决有关向量概念题的关键，同时要注意零向量方向的不确定性，还要注意区分共线向量、同向向量、相等向量、相反向量等.2.用已知向量表示未知向量问题的解题技巧：(1)观察已知向量与未知向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)灵活运用运算法则找关系.3.平面向量的加、减法和数乘运算：主要运用法则和运算律求解，可类比实数的运算，遵循括号内的运算优先原则，结果仍是一个向量.4.一般地，解决向量共线问题，利用向量共线定理b＝λa(a≠0)，建立方程组求解即可.

B【试题分析】本题考查向量的一些相关概念.【解题过程】单位向量只是模相等，A项错误；|a|＝|b|，不一定a＝－b，也可以a＝b，C项错误；共线向量方向可能相同也可能相反，D项错误，故选B.

A【试题分析】本题考查正方形中一些相等的边以及模长的概念.

D【试题分析】本题考查向量的加减运算以及相反向量的概念.

C【试题分析】本题考查平行四边形法则和三角形中位线的应用.

5.(改编)向量a、b均为非零向量，且a＝－2b，则下列说法错误的是(

)A.a∥b B.a与b方向相反

C.a＞b D.|a|＝|2b|C【试题分析】本题考查相反向量之间的区别与联系，两个向量互为相反向量必须模长相同但方向相反.【解题过程】向量是无法比较大小，C选项错误，故选C.

0【试题分析】本题考查向量的加、减法运算，利用三角形法则或平行四边形法则求出即可.

7.(改编)已知非零