重难点解析人教版8年级数学下册《平行四边形》专题测试练习题（含答案详解）

人教版8年级数学下册《平行四边形》专题测试考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（）A．cm B．2cm C．1cm D．2cm2、已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（）A． B． C．3 D．63、下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（）A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等4、如图，正方形的面积为256，点F在上，点E在的延长线上，的面积为200，则的长为（）A．10 B．11 C．12 D．155、如图，以O为圆心，长为半径画弧别交于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接、，则四边形一定是（）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题6分，共计30分）1、一个三角形三边长之比为4∶5∶6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则原三角形最大边长为_________cm．2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝_____cm．3、在五边形纸片ABCDE中，AB＝2，∠A＝120°，将五边形纸片ABCDE沿BD折叠，点C落在点P处；在AE上取一点Q，将ABQ，EDQ分别沿BQ，DQ折叠，点A，E恰好落在点P处，如图1．（1）∠BPQ＝______°；（2）∠BCD+∠QED＝_______°；（3）如图2，当四边形BCDP是菱形，且Q，P，C三点共线时，BQ＝_______．4、如图，在矩形中，，，点是线段上的一点（不与点，重合），将△沿折叠，使得点落在处，当△为等腰三角形时，的长为___________．5、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线AC上一点，若点P、A、B组成一个等腰三角形时，△PAB的面积为___________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一点，将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，点D关于直线BE的对称点为F，BE与DF交于点G，连接DE，EF．（1）求证：∠BDF＝30°（2）若∠EFD＝45°，AC＝+1，求BD的长；（3）如图2，在（2）条件下，以点D为顶点作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝，连接FM，点O为FM的中点，当△DMN绕点D旋转时，求证：EO的最大值等于BC．2、如图，在平行四边形中，连接．（1）请用尺规完成基本作图：在上方作，使，射线交于点F，在线段上截取，使．（2）连接，求证：四边形是菱形．3、如图，已知正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．（1）求证：；（2）若，，求BG的长．4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三边长都是有理数的直角三角形；（2）在图2中，画一个以BC为斜边的直角三角形，使它们的三边长都是无理数且都不相等；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．5、如图：已知△BCD是等腰直角三角形，且∠DCB＝90°，过点D作AD∥BC，使AD＝BC，在AD上取一点E，连结CE，点B关于CE的对称点为B1，连结B1D，并延长B1D交BA的延长线于点F，延长CE交B1F于点G，连结BG．（1）求证：∠CBG＝∠CDB1；（2）若AE＝DE，BC＝10，求BG长；（3）在（2）的条件下，H为直线BG上一点，使△HCG为等腰三角形，则所有满足要求的BH的长是．（直接写出答案）-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2（cm），则OA＝1（cm），然后由勾股定理求出OB＝（cm），即可求解．【详解】解：∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2cm，∴OA＝1（cm），在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），∴BD＝2OB＝2（cm），故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定方法．2、B【解析】【分析】根据一个内角为60°可以判断较短的对角线与两邻边构成等边三角形，求出较长的对角线的一半，再乘以2即可得解．【详解】解：如图，菱形ABCD，∠ABC=60°，∴AB=BC，AC⊥BD，OB=OD，∴△ABC是等边三角形，菱形的边长为6，∴AC＝6，∴AO＝AC＝3，在Rt△AOB中，BO＝＝＝3，∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，等边三角形的判定，解题关键是熟练运用菱形的性质和等边三角形的判定求出对角线长．3、D【解析】【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴对角线相等的四边形不是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，∴对角线互相平分且相等，∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、解题的关键是熟记矩形的判定定理．4、C【解析】【分析】先证明Rt△CDF≌Rt△CBE，故CE=CF，根据△CEF的面积计算CE，根据正方形ABCD的面积计算BC，根据勾股定理计算BE．【详解】解：∵∠ECF=90°，∠DCB=90°，∴∠BCE=∠DCF，∴，∴△CDF≌△CBE，故CF=CE．因为Rt△CEF的面积是200，即•CE•CF=200，故CE=20，正方形ABCD的面积=BC2=256，得BC=16．根据勾股定理得：BE==12．故选：C．【点睛】本题考查了正方形，等腰直角三角形面积的计算，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证CF=CE是解题的关键．5、B【解析】【分析】根据题意得到，然后根据菱形的判定方法求解即可．【详解】解：由题意可得：，∴四边形是菱形．故选：B．【点睛】此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．菱形的判定定理：①四条边都相等四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形．二、填空题1、24【解析】【分析】由三边长之比得到三角形的三条中位线之比，再由这三条中位线组成的三角形周长求出三中位线长，推出边长，再比大小判断即可．【详解】∵如图，H、I、J分别为BC，AC，AB的中点∴，，又∵∴∵AB：AC：BC=4：5：6，即BC边最长∴故填24．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．2、####【解析】【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，∵AB=6cm，BC=8cm，∴由勾股定理得：（cm），∴DO=5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF=OD=2.5cm，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了矩形的性质的应用，勾股定理，三角形中位线的应用，解本题的关键是求出OD长及证明EF=OD．3、120240【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得∠A=∠BPQ=120°；（2）由周角的性质可得∠BPD+∠QPD+∠BPQ=360°，即可求解；（3）由菱形的性质可得BQ=QD，QH⊥BD，BH=DH，由“SSS”可证△ABQ≌△EDQ，可得∠AQB=∠BQP=∠EQD=∠PQD=45°，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵将五边形纸片ABCDE沿BD折叠，∴∠A＝∠BPQ＝120°，∠QED＝∠QPD，∠BCD＝∠BPD，故答案为：120；（2）∵∠BPD+∠QPD+∠BPQ＝360°，∴∠BPD+∠QPD＝240°，∴∠BCD+∠QED＝240°，故答案为：240；（3）如图，连接PC，交BD于H，∵四边形BPDC是菱形，∴PC是BD的垂直平分线，BP＝PD＝BC＝CD，∵Q，P，C三点共线，∴QC是BD的垂直平分线，∴BQ＝QD，QH⊥BD，BH＝DH，由折叠可知：∠A＝∠BPQ＝120°，AB＝BP＝2＝DE＝DP，∠AQB＝∠BQP，∠EQD＝∠PQD，AQ＝QP＝QE，∴∠BPH＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PHBP＝1，BHPH，在△ABQ和△EDQ中，，∴△ABQ≌△EDQ（SSS），∴∠AQB＝∠EQD，∴∠AQB＝∠BQP＝∠EQD＝∠PQD，∵∠AQE＝180°，∴∠AQB＝∠BQP＝∠EQD＝∠PQD＝45°，∴∠QBH＝∠BQP＝45°，∴BH＝QH，∴BQBH，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，掌握折叠的性质是解题的关键．4、或【解析】【分析】根据题意分，，三种情况讨论，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．【详解】解：∵四边形是矩形∴，∵将△沿折叠，使得点落在处，∴，，设，则①当时，如图过点作，则四边形为矩形，在中在中即解得②当时，如图，设交于点，设垂直平分在中即在中，即联立，解得③当时，如图，又垂直平分垂直平分此时重合，不符合题意综上所述，或故答案为：或【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，分类讨论是解题的关键．5、或或3【解析】【分析】过B作BM⊥AC于M，根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出高BM，分为三种情况：①AB＝BP＝3，②AB＝AP＝3，③AP＝BP，分别画出图形，再求出面积即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，由勾股定理得：，有三种情况：①当AB＝BP＝3时，如图1，过B作BM⊥AC于M，S△ABC＝，，解得：，∵AB＝BP＝3，BM⊥AC，∴，∴AP＝AM+PM＝，∴△PAB的面积＝；②当AB＝AP＝3时，如图2，∵BM＝，∴△PAB的面积S＝；③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，如图3，则AP＝BP，BN＝AN＝，∵四边形ABCD是矩形，NQ⊥AC，∴PN∥BC，∵AN＝BN，∴AP＝CP，∴，∴△PAB的面积;即△PAB的面积为或或3．故答案为：或或3．【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理求边长，熟练掌握矩形的性质，利用等腰三角形的判定，分成三种情况讨论，是解决本题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）2；（3）见解析【分析】（1）由△ABC是等边三角形，可得∠ABC=60°，由D、F关于直线BE对称，得到BF=BD，则∠BFD=∠BDF，由三角形外角的性质得到∠BFD+∠BDF=∠ABD，则∠BDF=∠BFD=30°；（2）设，由D、F关于直线BE对称，得到∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，EG=DG，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得，，证明△EAB≌△DAC得到，再由，得到，由此求解即可；（3）连接OG，先求出，证明OG是三角形DMF的中位线，得到，再根据两点之间线段最短可知，则OE的最大值等于BC．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵D、F关于直线BE对称，∴BF=BD，∴∠BFD=∠BDF，∵∠BFD+∠BDF=∠ABD，∴∠BDF=∠BFD=30°；（2）设，∵D、F关于直线BE对称，∴∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，∴∠EDG=EFG=45°，∴EG=DG，∵∠BDG=30°，∴，∴，由旋转的性质可得AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，即∠EAB=∠DAC，又∵AB=AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；（3）如图所示，连接OG，∵在等腰直角三角形DMN中，，∴，∵D、F关于直线BE对称，∴G为DF的中点，又∵O为FM的中点，∴OG是三角形DMF的中位线，∴，由（2）可得，根据两点之间线段最短可知，∴OE的最大值等于BC．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，三角形中位线定理，两点之间线段最短等等，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质．2、(1)见解析；（2）见解析【分析】（1）根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段查得结论；（2）先证明四边形AGCF是平行四边形，再由（1）可得AF=CF，即可得到结论．【详解】解：（1）如图所示：（2）如图，∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC，AD=BC∴AF//CG∵BG=DF∴AF=CG∴四边形AGCF是平行四边形∵∴AF=CF∴四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了基本作图和证明四边形是菱形，熟练掌握菱形的判定正理是解答本题的关键．3、（1）见解析；（2）【分析】（1）由正方形的性质可得，，由的余角相等可得∠CBG=∠CDE，进而证明△BCG≌△DCE，从而证明CG=CE；（2）证明正方形的性质可得，结合已知条件即可求得，进而勾股定理即可求得的长【详解】（1）∵BF⊥DE∴∠BFE=90°∵四边形ABCD是正方形∴∠DCE=90°,∴∠CBG+∠E=∠CDE+∠E，∴∠CBG=∠CDE∴△BCG≌△DCE∴CG=CE（2）∵，且，，∴∵CG=CE∴，在中，【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握三角形全等的性质与判定与勾股定理是解题的关键．4、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）如图，AB=4，BC=3，，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC是直角三角形；（2）如图，，，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC是直角三角形；（3）如图，，则，∠ABC=90°，即可得到四边形ABCD是正方形，．【详解】解：（1）如图所示，AB=4，BC=3，，∴，∴△ABC是直角三角形；

（2）如图所示，，∴，∴△ABC是直角三角形；

（3）如图所示，，，∴，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴．

【点睛】本题主要考查了有理数与无理数，正方形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键．5、（1）证明过程见解析；（2）BG的长为4；（3）2或6﹣4或或6+4【分析】（1）连结BB1交CG于点M，交CD于点Q，证明四边形ABCD是正方形，再根据对称的性质得到CE垂直平分BB1，得到△BCG≌△B1CG（SSS），即可得解；（2）设BG交AD于点N，得到△BCQ≌△CDE（ASA），得到CQ＝DE＝5，BQ＝CE＝5，再根据勾股定理得到BM，最后利用勾股定理计算即可；（3）根据点G的位置不同分4种情况进行讨论计算即可；【详解】（1）证明：如图1，连结BB1交CG于点M，交CD于点Q，∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BC＝DC，∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∵点B1与点B关于CE对称，∴CE垂直平分BB1，∴BC＝B1C，BG＝B1G，∵