重难点解析沪科版9年级下册期末试题附答案详解（夺分金卷）

沪科版9年级下册期末试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题16分）一、单选题（8小题，每小题2分，共计16分）1、把7个同样大小的正方体形状的积木堆放在桌子上，从正面和左面看到的形状图都是如图所示的同样的图形，则其从上面看到的形状图不可能是（）A． B． C． D．2、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（）A．36cm B．27cm C．24cm D．15cm3、如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，连接AE，将沿AE翻折，使点D落在BC边的点F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，线段OF的长为半径作⊙O，⊙O与AB，AE分别相切于点G，H，连接FG，GH．则下列结论错误的是（）A． B．四边形EFGH是菱形C． D．4、平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是（）A． B． C． D．5、如图，在Rt△ABC中，，，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为；③BP存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④6、如图，在△ABC中，∠CAB=64°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′AB，则旋转角的度数为（）A．64° B．52° C．42° D．36°7、如图，点A、B、C在上，，则的度数是（）A．100° B．50° C．40° D．25°8、如图，在中，，，，将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题84分）二、填空题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是______．2、点P为边长为2的正方形ABCD内一点，是等边三角形，点M为BC中点，N是线段BP上一动点，将线段MN绕点M顺时针旋转60°得到线段MQ，连接AQ、PQ，则的最小值为______．3、在平面直角坐标系中，点，圆C与x轴相切于点A，过A作一条直线与圆交于A，B两点，AB中点为M，则OM的最大值为______．4、把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面朝下放在桌子上，从中随机抽取一张，则抽出的牌上的数小于5的概率为_____．5、过年时包了100个饺子，其中有10个饺子包有幸运果，任意挑选一个饺子，正好是包有幸运果饺子的概率是_____．6、边长为2的正三角形的外接圆的半径等于___．7、一个不透明的袋子中放有3个红球和5个白球，这些球除颜色外均相同，随机从袋子中摸出一球，摸到红球的概率为_____．三、解答题（7小题，每小题0分，共计0分）1、在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”已知点O（0，0），Q（1，0）（1）在P1（0，-1），P2（，），P3（-1，1）中是线段OQ的“潜力点”是_____________；（2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；（3）直线y＝2x＋b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围2、如图，已知在中，，D、E是BC边上的点，将绕点A旋转，得到，连接．（1）当时，时，求证：；（2）当时，与有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．（3）在（2）的结论下，当，BD与DE满足怎样的数量关系时，是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）3、在正方形ABCD中，过点B作直线l，点E在直线l上，连接CE，DE，其中，过点C作于点F，交直线l于点H．（1）当直线l在如图①的位置时①请直接写出与之间的数量关系______．②请直接写出线段BH，EH，CH之间的数量关系______．（2）当直线l在如图②的位置时，请写出线段BH，EH，CH之间的数量关系并证明；（3）已知，在直线l旋转过程中当时，请直接写出EH的长．4、小明每天骑自行车．上学，都要通过安装有红、绿灯的4个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同．（1）小明从家到学校，求通过前2个十字路口时都是绿灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）（2）小明从家到学校，通过这4个十字路口时至少有2个绿灯的概率为．（请直接写出答案）5、如图，是⊙的直径，弦，垂足为E，弦与弦相交于点G，且，过点C作的垂线交的延长线于点H．（1）判断与⊙的位置关系并说明理由；（2）若，求弧的长．6、下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，（1）连接OP；（2）分别以点O和点P为圆心，大于的长半径作弧，两弧相交于M，N两点；（3）作直线MN，交OP于点C；（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（5）作直线PA，PB．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线完成如下证明：证明：连接OA，OB，∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上∴∠OAP=90°（___________）（填推理的依据）．∴OA⊥AP．又∵点A在⊙O上，∴直线PA是⊙O的切线（___________）（填推理的依据）．同理可证直线PB是⊙O的切线．7、一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙、丁3人等可能地坐到①、②、③中的3个座位上．（1）甲坐在①号座位的概率是；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．-参考答案-一、单选题1、C【分析】利用俯视图，写出符合题意的小正方体的个数，即可判断．【详解】A、当7个小正方体如图分布时，符合题意，本选项不符合题意．B、当7个小正方体如图分布时，符合题意，本选项不符合题意．C、没有符合题意的几何图形，本选项符合题意．D、当7个小正方体如图分布时，符合题意，本选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了从不同的方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力．2、C【分析】连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．【详解】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：则，的直径为，，在中，，，即水的最大深度为，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3、C【分析】由折叠可得∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=90°，EF=ED，再根据切线长定理得到AG=AH，∠GAF=∠HAF，进而求出∠GAF=∠HAF=∠DAE=30°，据此对A作出判断；接下来延长EF与AB交于点N，得到EF是⊙O的切线，ANE是等边三角形，证明四边形EFGH是平行四边形，再结合HE=EF可对B作出判断；在RtEFC中，∠C=90°，∠FEC=60°，则EF=2CE，再结合AD=DE对C作出判断；由AG=AH，∠GAF=∠HAF，得出GH⊥AO，不难判断D．【详解】解：由折叠可得∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=90°，EF=ED.∵AB和AE都是⊙O的切线，点G、H分别是切点，∴AG=AH，∠GAF=∠HAF，∴∠GAF=∠HAF=∠DAE=30°，∴∠BAE=2∠DAE，故A正确，不符合题意；延长EF与AB交于点N，如图：∵OF⊥EF，OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线，∴HE=EF，NF=NG，∴△ANE是等边三角形，∴FG//HE，FG=HE，∠AEF=60°，∴四边形EFGH是平行四边形，∠FEC=60°，又∵HE=EF，∴四边形EFGH是菱形，故B正确，不符合题意；∵AG=AH，∠GAF=∠HAF，∴GH⊥AO，故D正确，不符合题意；在Rt△EFC中，∠C=90°，∠FEC=60°，∴∠EFC=30°，∴EF=2CE，∴DE=2CE.∵在Rt△ADE中，∠AED=60°，∴AD=DE，∴AD=2CE，故C错误，符合题意.故选C.【点睛】本题是一道几何综合题，考查了切线长定理及推论，切线的判定，菱形的定义，含30的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，翻折变换等，正确理解翻折变换及添加辅助线是解决本题的关键．4、B【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是故选B【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．5、B【分析】根据，，点D、E分别是AB、AC的中点．得出∠DAE=90°，AD=AE=，可证∠DAB=∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），可判断①△AEC≌△ADB正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，根据△AEC≌△ADB，得出∠DBA=∠ECA，可证∠P=∠BAC=90°，CP为⊙A的切线，证明四边形DAEP为正方形，得出PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE=，可判断②CP存在最大值为正确；△AEC≌△ADB，得出BD=CE=，在Rt△BPC中，BP最小=可判断③BP存在最小值为不正确；取BC中点为O，连结AO，OP，AB=AC=6，∠BAC=90°，BP=CO=AO=，当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，可求∠ACE=30°，根据圆周角定理得出∠AOP=2∠ACE=60°，当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，可得∠ABD=30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°，点P在以点O为圆心，OA长为半径，的圆上运动轨迹为，L可判断④点P运动的路径长为正确即可．【详解】解：∵，，点D、E分别是AB、AC的中点．∴∠DAE=90°，AD=AE=，∴∠DAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），故①△AEC≌△ADB正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，∵△AEC≌△ADB，∴∠DBA=∠ECA，∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，∴∠P=∠BAC=90°，∵CP为⊙A的切线，∴AE⊥CP，∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，∴四边形DAEP为矩形，∵AD=AE，∴四边形DAEP为正方形，∴PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE=，∴CP最大=PE+EC=3+，故②CP存在最大值为正确；∵△AEC≌△ADB，∴BD=CE=，在Rt△BPC中，BP最小=，BP最短=BD-PD=-3，故③BP存在最小值为不正确；取BC中点为O，连结AO，OP，∵AB=AC=6，∠BAC=90°，∴BP=CO=AO=，当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，∴∠ACE=30°，∴∠AOP=2∠ACE=60°，当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，∴∠ABD=30°，∴∠AOP′=2∠ABD=60°，∴点P在以点O为圆心，OA长为半径，的圆上运动轨迹为，∵∠POP=∠POA+∠AOP′=60°+60°=120°，∴L．故④点P运动的路径长为正确；正确的是①②④．故选B．【点睛】本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．6、B【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=64°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=64°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．【详解】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=64°∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C=64°，∴∠CAC′=180°-∠ACC′-∠AC′C=180°-2×64°=52°，∴旋转角为52°．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7、C【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵∠ACB=50°，∴∠AOB=100°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=40°，故选：C．【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8、C【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，设，则，根据勾股定理，可得，从而得到，进而得到∴，可得到点，再根据旋转的性质，即可求解．【详解】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，设，则，∵，，∴，∵，，∴，解得：，∴，∴，∴点，∴将绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是，∴将绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是．故选：C【点睛】本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A的坐标，属于中考常考题型．二、填空题1、6【分析】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，再求出圆的半径即可．【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．∵正六边形ABCDEF，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，∵的周长为，∴的半径为，正六边形的边长是6；【点睛】本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键．2、【分析】如图，取的中点，连接，，，证明，进而证明在上运动，且垂直平分，根据，求得最值，根据正方形的性质和勾股定理求得的长即可求得的最小值．【详解】解：如图，取的中点，连接，，，将线段MN绕点M顺时针旋转60°得到线段MQ，，是等边三角形，,是的中点，是的中点是等边三角形，即在和中，又是的中点点在上是的中点，是等边三角，又垂直平分即的最小值为四边形是正方形，且的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的性质与判定，根据以上知识转化线段是解题的关键．3、##【分析】如图所示，取D（-2，0），连接BD，连接CD与圆C交于点，先求出A点坐标，从而可证OM是△ABD的中位线，得到，则当BD最小时，OM也最小，即当B运动到时，BD有最小值，由此求解即可．【详解】解：如图所示，取D（-2，0），连接BD，连接CD与圆C交于点∵点C的坐标为（2，2），圆C与x轴相切于点A，∴点A的坐标为（2，0），∴OA=OD=2，即O是AD的中点，又∵M是AB的中点，∴OM是△ABD的中位线，∴，∴当BD最小时，OM也最小，∴当B运动到时，BD有最小值，∵C（2，2），D（-2，0），∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一点到圆上一点的距离得到最小值，两点距离公式，三角形中位线定理，把求出OM的最小值转换成求BD的最小值是解题的关键．4、【分析】抽出的牌的点数小于5有1，2，3，4共4个，总的样本数目为13，由此可以容易知道事件抽出的牌的点数小于5的概率．【详解】解：∵抽出的牌的点数小于5有1，2，3，4共4个，总的样本数目为13，∴从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于5的概率是：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5、【分析】直接利用概率公式进行计算即可.【详解】解：过年时包了100个饺子，有10个饺子包有幸运果，任意挑选一个饺子，正好是包有幸运果饺子的概率是故答案为：【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，熟练的利用概率公式进行计算是解本题的关键；概率的含义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.6、【分析】过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．【详解】如图所示，是正三角形，故O是的中心，，∵正三角形的边长为2，OE⊥AB∴，，∴，由勾股定理得：，∴，∴，∴(负值舍去)．故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．7、【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．【详解】解：∵红球的个数为3个，球的总数为3+5=8（个），∴摸到红球的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题1、（1）；（2）；（3）或【分析】（1）分别计算出OQ、PO和PQ的长度，比较即可得出答案；（2）先判断点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在线段OQ垂直平分线的左侧，结合PO≤2，点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，可得点P在如图所示的线段AB上（不包含点B），过作轴，过作轴，垂足分别为再根据图形的性质求解从而可得答案；（3）由（2）得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO＜PQ，点P在线段OQ垂直平分线的左侧，再分两种情况讨论：当时，当时，分别画出两种情况下的临界直线再根据临界直线经过的特殊点求解的值，再确定范围即可.【详解】解：（1）O（0，0），Q（1，0），P1（0，-1），P2（，），P3（-1，1）不满足OQ＜PO＜PQ且PO≤2，所以不是线段OQ的“潜力点”，同理：所以不满足OQ＜PO＜PQ且PO≤2，所以不是线段OQ的“潜力点”，同理：所以满足：OQ＜PO＜PQ且PO≤2，所以是线段OQ的“潜力点”，故答案为：P3（2）∵点P为线段OQ的“潜力点”，∴OQ＜PO＜PQ且PO≤2，∵OQ＜PO，∴点P在以O为圆心，1为半径的圆外∵PO＜PQ，∴点P在线段OQ垂直平分线的左侧，而的垂直平分线为：∵PO≤2，∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内又∵点P在直线y＝x上，∴点P在如图所示的线段AB上（不包含点B）过作轴，过作轴，垂足分别为由题意可知△BOC和△AOD是等腰三角形，∴∴-≤xp＜-（3）由（2）得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO＜PQ，点P在线段OQ垂直平分线的左侧当时，过时，即函数解析式为：此时则当与半径为2的圆相切于时，则由而当时，如图，同理可得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO＜PQ，点P在线段OQ垂直平分线的左侧，同理：当过则直线为在直线上，此时当过时，则所以此时：综上：的范围为：1＜b≤或＜b＜-1【点睛】本题考查的是新定义情境下的知识运用，圆的基本性质，圆的切线的性质，一次函数的综合应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，数形结合是解本题的关键.2、（1）见解析；（2）∠DAE＝∠BAC，见解析；（3）DE＝BD，见解析【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，从而得到∠DAE＝∠D′AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AD′E全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据旋转的性质可得AD＝AD′，再利用“边边边”证明△ADE和△AD′E全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE＝∠D′AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝∠DAE，从而得解；（3）求出∠D′CE＝90°，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍可得D′E＝CD′，再根据旋转的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，∴AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD，∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠D′AE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC−∠DAE＝120°−60°＝60°，∴∠DAE＝∠D′AE，在△ADE和△AD′E中，，∴△ADE≌△AD′E（SAS），∴DE＝D′E；（2）解：∠DAE＝∠BAC．理由如下：在△ADE和△AD′E中，，∴△ADE≌△AD′E（SSS），∴∠DAE＝∠D′AE，∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠BAC；（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°，∴∠D′CE＝45°＋45°＝90°，∵△D′EC是等腰直角三角形，∴D′E＝CD′，由（2）DE＝D′E，∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，∴BD＝C′D，∴DE＝BD．【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键．3、（1）①；②；（2）；证明见解析；（3）或．【分析】（1）①，根据CE=BC，四边形ABCD为正方形，可得BC=CD=CE，根据CF⊥DE，得出CF平分∠ECD即可；②，过点C作CG⊥BE于G，根据BC=EC，得出∠ECG=∠BCG=，根据∠ECH=∠HCD=，可得CG=HG，根据勾股定理在Rt△GHC中，，根据GE=，得出即可；（2），过点C作交BE于点M，得出，先证得出，可证是等腰直角三角形，可得即可；（3）或，根据，分两种情况，当∠ABE=90°-15°=75°时，BC=CE，先证△CDE为等边三角形，可求∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°，根据CF⊥DE，得出DF=EF=1，∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°，根据勾股定理HE=，当∠ABE=90°+15°=105°，可得BC=CE得出∠CBE=∠CEB=15°，可求∠FCE=，∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，根据30°直角三角形先证得出CF=，根据勾股定理EF=，再证FH=FE，得出EH=即可．【详解】解：（1）①∵CE=BC，四边形ABCD为正方形，∴BC=CD=CE，∵CF⊥DE，∴CF平分∠ECD，∴∠ECH=∠HCD，故答案为：∠ECH=∠HCD；②，过点C作CG⊥BE于G，∵BC=EC，∴∠ECG=∠BCG=，∵∠ECH=∠HCD=，∴∠GCH=∠ECG+∠ECF=+，∴∠GHC=180°-∠HGC+∠GCH=180°-90°-45°=45°，∴CG=HG，在Rt△GHC中，∴，∵GE=，∴GH=GE+EH=，∴，∴，∴，故答案是：；（2），证明：过点C作交BE于点M，则，∴⁰，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，（3）或，∵，分两种情况，当∠ABE=90°-15°=75°时，∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=15°，∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB==180°-15°-15°=150°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°=90°=60°，∵CE=CD，∴△CDE为等边三角形，∴DE=CD=AB=2，∠DEC=60°，∴∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°，∵CF⊥DE，∴DF=EF=1，∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°，∴EF=HF=1，∴HE=，当∠ABE=90°+15°=105°，∵BC=CE，∠CBE=∠CEB=15°，∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=150°，∴∠DCE=360°-∠DCB-∠BCE=120°，∵CE=BC=CD，CH⊥DE，∴∠FCE=，∴∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，∴CF=，∴EF=，∵∠HEF=∠CEB+∠CEF=15°+30°=45°，∴∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°=∠FEH，∴FH=FE，∴EH=，∴或．【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转性质，勾股定理，等边三角形，等腰直角三角形性质，角平分线，线段和差，掌握正方形性质，图形旋转性质，勾股定理，等边三角形，等腰直角三角形性质，角平分线，线段和差是解题关键．4、（1），见解析（2）【解析】（1）列表如下第一个十字路口\第二个红灯绿灯红灯红红红绿绿灯绿红绿绿∵共有4种等可能情形，满足条件的有1种．∴通过前2个十字路口时都是绿灯的概率．（2）画树状图如图，表示红灯，表示绿灯，∵共有16种