深圳深圳市育才教育集团育才中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

深圳深圳市育才教育集团育才中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点P，Q分别在BC，AC上，CP＝3x，CQ＝4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．（1）求证：PQ∥AB；（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．2．定义：对于二次函数，我们称函数为它的分函数（其中为常数）．例如：的分函数为．设二次函数的分函数的图象为．（1）直接写出图象对应的函数关系式．（2）当时，求图象在范围内的最高点和最低点的坐标．（3）当图象在的部分与轴只有一个交点时，求的取值范围．（4）当，图象到轴的距离为个单位的点有三个时，直接写出的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点；是直线上的一点，其纵坐标为，以，为边作矩形．（1）求的值．（2）当点与点重合时，求的值．（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值．（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求的值和点坐标；（3）点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作轴的平行线，交于点，当是线段的三等分点时，求点坐标；（4）如图2，是轴上一点，其坐标为，动点从出发，沿轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设的运动时间为（），连接，过作于点，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，点在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时的取值范围．5．四边形ABCF中，AF∥BC，∠AFC=90°，△ABC的外接圆⊙O交CF于E，与AF相切于点A，过C作CD⊥AB于D，交BE于G．（1）求证：AB=AC；（2）①证明：GE=EC；②若BC=8，OG=1，求EF的长．6．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．7．如图①，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．（1）观察猜想：图①中，线段与的数量关系是_____________，用含的代数式表示的度数是________________________；（2）探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图②的位置，连接，，，当时，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把绕点在平面内任意旋转，若，，，请直接写出线段的最大值和最小值．8．在锐角△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．（1）如图1，过点C作CF⊥AB于F点，连接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度数；（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM于N点，射线EN，AB交于P点．①依题意将图2补全；②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD．小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD．想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠APE=2α．想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证△NAQ∽△APQ．……请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE=2∠MAD．（一种方法即可）9．将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．（1）直接写出抛物线，的解析式；（2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；（3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点．10．在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点的坐标为，直线轴（如图所示）．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点，联结．（1）求的值和点的坐标；（2）设点在轴的正半轴上，若是等腰三角形，求点的坐标；11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AB上，AF＝BE＝2，连结DE，DF，动点M在EF上从点E向终点F匀速运动，同时，动点N在射线CD上从点C沿CD方向匀速运动，当点M运动到EF的中点时，点N恰好与点D重合，点M到达终点时，M，N同时停止运动．（1）求EF的长．（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．12．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若P为线段BC上一点，过点P作轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标；（3）若M（m，0）是轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标.13．如图，在直角中，，，作的平分线交于点，在上取点，以点为圆心经过、两点画圆分别与、相交于点、（异于点）．（1）求证：是的切线；（2）若点恰好是的中点，求的长；（3）若的长为．①求的半径长；②点关于轴对称后得到点，求与的面积之比．14．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心的正方形ABCD的边长为4m，我们把轴时正方形ABCD的位置作为起始位置，若将它绕点O顺时针旋转任意角度时，它能够与反比例函数的图象相交于点E，F，G，H，则曲线段EF，HG与线段EH，GF围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．（1）①如图1，当轴时，用含m，k的代数式表示点E的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH，则k的取值范围是________；②已知，把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度时，直接写出使曲边四边EFGH存在的k的取值范围．③若将图1中的正方形绕点O顺时针旋转角度得到曲边四边形EFGH，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；（2）正方形ABCD绕点O顺时针旋转到如图2位置，已知点A在反比例函数的图象上，AB与y轴交于点M，，，试问此时曲边四边EFGH存在吗？请说明理由．15．如图，在直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，，有一反比例函数图象刚好过点．（1）分别求出过点的反比例函数和过，两点的一次函数的函数表达式；（2）直线轴，并从轴出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，交反比例函数图象于点，交于点，交直线于点，当直线运动到经过点时，停止运动．设运动时间为（秒）．①问：是否存在的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；②若直线从轴出发的同时，有一动点从点出发，沿射线方向，以每秒个单位长度的速度运动．是否存在的值，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形面积最大时，在线段上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标及的最小值；（2）如（图2），将沿轴向右平移2单位长度得到，再将绕点逆时针旋转度得到，且使经过、的直线与直线平行（其中），直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上．在线段上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交轴于点，如图1所示．（1）试求点坐标，并直接写出的度数；（2）过的直线与成夹角，试求该直线与交点的横坐标；（3）如图2，现有点在线段上运动，点在轴上，为线段的中点．①试求点的纵坐标关于横坐标的函数关系式；②直接写出点的运动轨迹长度为．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为；（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）19．新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是“和谐点”．（1）点M（1，2）_____“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点P（a，3）是第一象限内的一个“和谐点”，是关于x，y的二元一次方程的解，求a，b的值．（2）如图②，点E是线段PB上一点，连接OE并延长交AP的延长线于点Q，若点P（2，3），，求点Q的坐标；（3）如图③，连接OP，将线段OP向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段．若M是直线上的一动点，连接PM、OM，请画出图形并写出与，的数量关系．20．如图，抛物线经过点A（1,0），B（4,0）与轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）证明见解析；（2）6；（3）1≤x≤．【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明△PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；（2）连接AD，根据PQ∥AB和点D在∠BAC的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP；·（3）先求出当点E在AB上时x的值，再分两种情况进行分类讨论．【详解】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9，∴AC＝＝＝12．∵＝＝，＝＝，∴＝．∵∠C＝∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ＝∠B，∴PQ∥AB；（2）解：连接AD，∵PQ∥AB，∴∠ADQ＝∠DAB．∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ＝∠DAB，∴∠ADQ＝∠DAQ，∴AQ＝DQ．∵PD＝PC＝3x，QC=4x∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x.∴DQ＝2x．∵AQ＝12﹣4x，∴12﹣4x＝2x，解得x＝2，∴CP＝3x＝6．（3）解：当点E在AB上时，∵PQ∥AB，∴∠DPE＝∠PGB．∵∠CPQ＝∠DPE，∠CPQ＝∠B，∴∠B＝∠PGB，∴PB＝PG＝5x，∴3x+5x＝9，解得x＝．①当0＜x≤时，T＝PD+DE+PE＝3x+4x+5x＝12x，此时0＜T≤；②当＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥PQ，垂足为H，∴HG＝DF，FG＝DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，∴＝＝．∵PG＝PB＝9﹣3x，∴＝＝，∴GH＝（9﹣3x），PH＝（9﹣3x），∴FG＝DH＝3x﹣（9﹣3x），∴T＝PG+PD+DF+FG＝（9﹣3x）+3x+（9﹣3x）+[3x﹣（9﹣3x）]＝x+，此时，＜T＜18．∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，∴T＝12时，即12x＝12，解得x＝1；T＝16时，即x+＝16，解得x＝．∵12≤T≤16，∴x的取值范围是1≤x≤．【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定.熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键，（3）中需注意要分类讨论.2．（1）（2）图象在范围内的最高点和最低点的坐标分别为，（3）当或或时，图象在的部分与轴只有一个交点（4），．【解析】【分析】（1）根据分函数的定义直角写成关系式即可；（2）将m=1代入（1）所得的分函数可得，然后分和两种情况分别求出最高点和最低点的坐标，最后比较最大值和最小值即可解答；（3）由于图象在的部分与轴只有一个交点时，则可令对应二元一次方程的根的判别式等于0，即可确定m的取值；同时发现无论取何实数、该函数的图象与轴总有交点，再令x=m代入原函数解析式，求出m的值，据此求出m的取值范围；（4）先令或-m①，利用根的判别式小于零确定求出m的取值范围，然后再令x=m代入或-m②，然后再令判别式小于零求出m的取值范围，令x=m代入或-m③，令判别式小于零求出m的范围，然后取①②③两两的共同部分即为m的取值范围．【详解】（1）图象对应的函数关系式为（2）当时，图象对应的函数关系式为．当时，将配方，得．所以函数值随自变量的增大而增大，此时函数有最小值，无最大值．所以当时，函数值取得最小值，最小值为．所以最低点的坐标为．当时，将配方，得．所以当时，函数值取得最小值，最小值为所以当时，函数值取得最大值，最大值为所以最低点的坐标为，最高点的坐标为所以，图象在范围内的最高点和最低点的坐标分别为，．（3）当时，令，则所以无论取何实数，该函数的图象与轴总有交点．所以当时，图象在的部分与轴只有一个交点．当时，．令，则．解得，．所以当或时，图象在的部分与轴只有一个交点．综上所述，当或或时，图象在的部分与轴只有一个交点．（4）当即，△=＞0，方∵，∴m不存在；当即，△=＜0，解得＜m＜1；①将x=m代入得-3m2+3m-1＞0，因△=则m不存在；将x=-m代入得-3m2+5m-1＞0，解得或；②将x=m代入得，解得或③将x=m代入得，因△=故m不存在；在①②③两两同时满足的为，，即为图象到轴的距离为个单位的点有三个时的m的取值范围．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了新定义函数的定义、二次函数最值和二次函数图像，正确运用二次函数图像的性质和分类讨论思想是解答本题的关键．3．（1）；（2）；（3）；（4）或．【解析】【分析】（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形是正方形时，即可求得m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；（4）分，，，四种情况讨论，结合图形分析即可．【详解】解：（1）将点代入得，解得b=1,；（2）由（1）可得函数的解析式为，∴,∵于点，∴,∵是直线上的一点，其纵坐标为，∴，若点与点重合，则，解得；（3）由（2）可得，，当矩形是正方形时，即，即或，解得，解得，又，∴抛物线的顶点为(1，2)，∵抛物线的顶点在该正方形内部，∴P点在抛物线对称轴左侧，即，且M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即，解得，故m的值为；（4）①如下图当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，即且，解得，解得，∴，②如下图当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，即，解得，∴；③当时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；④如下图当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，即，解得或，故，综上所述或．【点睛】本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M、P、Q的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论．4．（1）；（2）m=2，D(﹣1，)；（3）P（，）或P(1，)；（4）0＜t≤．【解析】【分析】(1)根据A，C两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B点坐标，代入一次函数,即可求出m的值，联立二次函数与一次函数可求出D点坐标．(3)设出P点坐标，通过P点坐标表示出N，F坐标，再分类讨论PN=2NF，NF=2PN，即可求出P点(4)由A，D两点坐标求出AD的函数关系式，因为以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，所以∥AD，即可求出的函数关系式，设直线与抛物线交于第一象限P点，所以当与P重合时，t有最大值，利用中点坐标公式求出PQ中点H点坐标,进而求出MH的函数关系式，令y=0求出函数与x轴交点坐标，从而可求出t的值,求出t的取值范围．【详解】解：(1)∵A，把A,C代入抛物线，得：解得∴．（2）令y=0即，解得，∴B（4,0）把B（4,0）代入得m=2，∴得或∴B(4,0),D(﹣1，)∴,m=2，D(﹣1，)．（3）设P（a，），则F（a，），∵DN⊥PH，∴N点纵坐标等于D点的纵坐标∴N(a，)FN=－（）=，PN=－=，∵是线段的三等分点，∴①当FN=2PN时，=2（），解得：a=或a=﹣1（舍去），∴P（，）．②当2FN=PN时，2（）=（），得a=1或a=﹣1（舍去），∴P(1,)，综上P点坐标为P（，）或P(1,)，(4)由（2）问得D(﹣1，)，又A，设AD：y=kx+b，，∴，∴AD：y=x+5，又GM⊥AD，∴可设GM：y=x+p，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，∴∥AD，可设：y=x+q，又Q，代入，得：×+q=0，q=2，∴：y=x+2，设直线与抛物线交于第一象限N点,,所以当与N点重合时,t有最大值，∴，解得：或，∴N(1,)又Q，设H为N,Q中点，则H（，），又∵H在直线GM上，∴把H代入GMy=x+p，得：，P=，∴y=x+，令y=0得：0=x+，∴x=，即QM=+=，∵M的速度为5，∴t=÷5=，∴0＜t≤．【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．5．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．【解析】【分析】（1）连接OC，则OA=OB=OC，先证明OA∥FC，则有∠ACE=∠CAO，由∠ABE=∠ACE，然后得到∠AOB=∠AOC，即可得到结论成立；（2）①先证明BE是直径，则先证明∠ACD=∠EBC，由∠ABC=∠ACB，则∠BCD=∠ABG=∠ACE，则得到∠EGC=∠ECG，即可得到GE=EC；②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE中，由勾股定理得，得到半径，然后得到EC的长度；作OM⊥CE于点M，则EM=3，即可求出EF的长度．【详解】解：（1）连接OC，则OA=OB=OC，∴∠ABO=∠BAO，∠ACO=∠CAO，∵AF是切线，∴∠FAO=90°=∠AFC，∴OA∥FC，∴∠CAO=∠ACE=∠ABO，∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO，∴∠AOB=∠AOC，∴AB=AC；（2）①∵AF∥BC，∠AFC=90°，∴∠BCE=90°，∴BE是直径，∵CD⊥AB，∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC，∵∠DAC=∠BEC，∴∠ACD=∠EBC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD，∴∠ABO=∠BCD=∠ACE，∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE，∴∠EGC=∠ECG，∴EG=EC；②作OM⊥CE于点M，如图：则四边形AOMF是矩形，∴AO=FM，∵OG=1，设GE=EC=r+1，在Rt△BCE中，由勾股定理得，∴，解得：（负值已舍去），∴AO=FM=5，EC=6，∵OM⊥EC，OM是半径，EC是弦，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行分析．6．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．【解析】【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．【详解】解：（1）点，是，的中点，，，点，是，的中点，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：，；（2）是等腰直角三角形．由旋转知，，，，，，，利用三角形的中位线得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大时，的面积最大，且在顶点上面，最大，连接，，在中，，，，在中，，，，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大时，面积最大，点在的延长线上，，，．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．7．（1）MP=NP，180°－；（2）是等边三角形，证明见解析；（3）的最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）由三角形的中位线的判定与性质不难得出，MP=BD，MPBD以及NP=CE，NPCE，因此MP=NP，将利用平行线的性质转化为与的和求解即可．（2）有（1）同理可证MP=NP，MPBD，NPCE，在根据平行线的性质以及三角形外角的性质将转化为，，，这四个角的和，求出的度数，判断的形状即可．（3）由题意不难得出M的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的一个圆，分别找出MN最大与最小时M的位置，分别求出最大最小值即可．【详解】（1）AB=AC，AD=DE，BD=EC，M、P分别是DE、BE的中点，MP=BD，MPBD，，同理可证：NP=CE，NPCE，MP=NP，，=+=+=180°－．（2）由旋转可得：，AD=AE，，在与中，，≌，CE=BD，由（1）同理可证MP=BD，MPBD，NP=CE，NPCE，MP=NP，是等腰三角形，==+，=+=+，=+=+++=180°－120°=60°，是等边三角形．（3）等腰直角中，AD=3，DE=3，M是DE的中点，AM=，M的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的一个圆，如图，连接NA并延长分别交⊙A于点M1、M2，等腰直角中，AB=7，BC=7，N是BC的中点，AN=，ANBC，当点M旋转至M1位置时，最大，=+=；当点M旋转至M2位置时，最小，=－=．【点睛】本题较为综合，主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线以及点的运动轨迹，本题关键在于利用平行线的性质将角进行转化以及分析出点的运动轨迹为圆．8．（1）证明见解析;（2）①补图见解析;②证明见解析.【解析】【分析】【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAD=20°，∴∠BAC=2∠BAD=40°．∵CF⊥AB，∴∠AFC=90°．∵E为AC中点，∴EF=EA=．∴∠AFE=∠BAC=40°．（2）①当点P在边AB上是，补全图形如图当点P在AB的延长线上是，补全图形如图②Ⅰ、当点P在边AB上时，证明：想法1:如图3，连接DE.∵AB=AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．∵E为AC中点，∴ED∥AB，∴∠PED=∠APE.∵∠ADC=90∘，E为AC中点，∴同理可证∴AE=NE=CE=DE.∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上，∴∠PED=2∠MAD.∴∠APE=2∠MAD.想法2:设∠MAD=α，∠DAC=β，∵CN⊥AM，∴∠ANC=90∘.∵E为AC中点，∴AE=NE=AC.∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAC=2∠DAC=2β.∴∠APE=∠PEC−∠BAC=2α.∴∠APE=2∠MAD.Ⅱ、当点P在AB的延长线上时证明：想法1:连接DE．∵AB=AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．∵E为AC中点，∴ED∥AB，∴∠1=∠APE．∵∠ADC=90°，E为AC中点，∴．同理可证．∴AE=NE=CE=DE．∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上．∴∠1=2∠MAD．∴∠APE=2∠MAD．想法2:设∠MAD=α，∠DAC=β，∵CN⊥AM，∴∠ANC=90∘.∵E为AC中点，∴AE=NE=AC.∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAC=2∠DAC=2β.∴∠APE=∠PEC−∠BAC=2α.∴∠APE=2∠MAD.想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，即∠3=∠4.即∵E为AC的中点，9．（1）抛物线的解析式为：y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2）【解析】【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；（2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况；（3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可．【详解】解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6．（2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，∵是等腰直角三角形，∴∠BOA=45°，又∵∠BDO=∠BAO=90°，∴点A、B、O、D四点共圆，∴∠BDA=∠BOA=45°，∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，∴是等腰直角三角形，∴DC=AC．∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，∴抛物线的对称轴为x=2，设点A的坐标为（x，x2-4x-2），∴DC=x-2，AC=x2-4x-2，∴x-2=x2-4x-2，解得：x=5或x=0（舍去），∴点A的坐标为（5，3）；同理，当点B、点A在x轴的下方时，x-2=-(x2-4x-2)，x=4或x=-1（舍去），∴点的坐标为（4，-2），综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）．（3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点，∴，∴x2-kx-6=0，设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF，∴xE+xF=k，∴中点M的横坐标xM==，中点M的纵坐标yM=kx=，∴点M的坐标为（，）；同理可得：点N的坐标为（，），设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0），将M（，）、N（，）代入得：，解得：，∴直线MN的解析式为y=·x+2（），不论k取何值时（），当x=0时，y=2，∴直线经过定点（0，2）．【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．10．（1），点D（3，4）；（2）P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）.【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线CM上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；（2）△POD为等腰三角形，有三种情况：PO=OD，PO=PD，DO=DP，故需分情况讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点O的距离即可【详解】解：（1）∵B与A（1，0）关于原点对称∴B（-1，0）∵过点B∴，∴一次函数解析式为当时，，∴D（3，4）；（2）作DE⊥x轴于点E，则OE=3，DE=4，∴；若为等腰三角形，则有以下三种情况：①以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P1，则，∴P1（5，0）．②以D为圆心，DO为半径作弧交x轴的正半轴于点P2，则，∵∴，∴，∴P2（6，0）．③取OD的中点N，过N作OD的垂线交x轴的正半轴于点P3，则，易知，∴,即：，∴，∴P3（，0）；综上所述，符合条件的点P有三个，分别是P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式和综合分析能力，注意到分情况讨论是解决本题的关键．11．（1）EF=2；（2）y＝x（0≤x≤12）；（3）满足条件的CN的值为或12．【解析】【分析】（1）在Rt△BEF中，利用勾股定理即可解决问题．（2）根据速度比相等构建关系式解决问题即可．（3）分两种情形如图3﹣1中，当MN∥DF，延长FE交DC的延长线于H．如图3﹣2中，当MN∥DE，分别利用平行线分线段成比例定理构建方程解决问题即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵AF＝BE＝2，∴BF＝6﹣2＝4，∴EF＝＝＝2．（2）由题意：＝，∴＝，∴y＝x（0≤x≤12）．（3）如图3﹣1中，延长FE交DC的延长线于H．∵△EFB∽△EHC，∴＝＝，∴＝＝，∴EH＝6，CH＝12，当MN∥DF时，＝，∴＝，∵y＝x，解得x＝，如图3﹣2中，当MN∥DE时，＝，∴＝，∵y＝x，解得x＝12，综上所述，满足条件的CN的值为或12．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．12．（1）；（2）P（，），面积最大为；（3）CM+MB最小值为，M（，0）【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，设P（a，a-3），得出PD的长，列出S△BDC的表达式，化简成顶点式，即可求解；（3）取G点坐标为（0，），过M点作MB′⊥BG，用B′M代替BM，即可得出最小值的情况，再将直线BG、直线B′C的解析式求出，求得M点坐标和∠CGB的度数，再根据∠CGB的度数利用三角函数得出最小值B′C的值.【详解】解：（1）∵抛物线经过点A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），代入表达式，解得a=1，b=-2，c=-3，∴故该抛物线解析式为：.（2）令，∴x1=-1，x2=3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b′，将B、C代入得：k=,1，b′=-3，∴直线BC的解析式为y=x-3，设P（a，a-3），则D（a，a2-2a-3），∴PD=（a-3）-（a2-2a-3）=-a2+3aS△BDC=S△PDC+S△PDB=PD×3=，∴当a=时，△BDC的面积最大，且为为，此时P（，）；（3）如图，取G点坐标为（0，），连接BG，过M点作MB′⊥BG，∴B′M＝BM，当C、M、B′在同一条直线上时，CM+MB最小.可求得直线BG解析式为：，∵B′C⊥BG故直线B′C解析式为为，令y=0，则x=，∴B′C与x轴交点为（，0）∵OG=，OB=3，∴∠CGB=60°，∴B′C=CGsin∠CGB==，综上所述：CM+MB最小值为，此时M（，0）.【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．13．（1）见解析；（2）；（3）①或；②或【解析】【分析】（1）连接DO，如图，先根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出∠1=∠3，从而得到DO∥BC，再根据∠C=90°，可得出结果；（2）连接FO，根据E为中点，可以得出，在Rt△AOD中，可以求出sinA的值，从而得出∠A的度数，再证明△BOF为等边三角形，从而得出∠BOF的度数，根据弧长公式可得出结果；（3）①设圆的半径为r，过作于，则，四边形是矩形．再证明，得出，据此列方程求解；②作出点F关于BD的对称点F′，连接DE，DF，DF′，FF′，再证明，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．【详解】（1）证明：连结，∵平分，∴，∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴是的切线．（2）解：∵是中点，∴．∴，∴，．连接FO，又BO=OF，∴△BOF为等边三角形，∴．∴．（3）解：①过作于，则，四边形是矩形．设圆的半径为，则，．∵，∴．而，∴．∴即，解之得，．②作出点F关于BD的对称点F′，连接FF′，DE，DF，DF′，∵∠EBD=∠FBD，∴．∵是直径，∴，而、关于轴对称，∴，，DF=DF′，∴DE∥FF′，DE=DF′，∠DEF′=∠DF′E，∴，∴.当时，，，，由①知，而，∴.又易得△BCD∽△BDE,∴，∴BD2=.在Rt△BED中，DE2=BE2-BD2=4-=，∴DE==DF′.∴与的面积比．同理可得，当时，与的面积比．∴与的面积比为或．【点睛】本题是圆与相似的综合题，主要考查切线的判定，弧、弦长与圆周角的关系，弧长的求法，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线再求解．14．（1）①，；②不存在，作图与理由见解析，；③四边形EFGH是平行四边形，是中心对称图形；（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）①首先确定点的纵坐标为，点又是反比例函数的图象上的点即满足反比例函数关系式，代入即可求得相对应的横坐标；点是双曲线和正方形能够相交的临界点，从而得到的取值范围．（2）根据（1）的情况，类比进而求解．【详解】解：（1）①∵以原点为中心的正方形的边长为，∴点的纵坐标为∵点在反比例函数的图象上∴∴∴∵存在曲边四边形EFGH，在反比例函数的图象上∴∴又∵∴的取值范围是：②结论：此时不存在曲边四边形理由：将正方形绕点顺时针旋转后位置如图：∵以原点为中心的正方形的边长为∴正方形的对角线为∴∴的中点的坐标为∵对于反比例函数来说，能否构成曲边四边形的临界点是的中点当时，∴∴此时不存在曲边四边形．当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°时，若存在曲边四边形，则旋转任意角度时，存在曲边四边形对于反比例函数来说，能否构成曲边四边形的临界点是的中点当，时，存在曲边四边形∴∴使曲边四边EFGH存在的k的取值范围是：．③将图1中的正方形绕点O顺时针旋转角度得到曲边四边形EFGH，如图所示，由正方形和双曲线的对称性可知，E，G关于原点对称，F，H关于原点对称即OE=OG，OF=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，曲边四边形是中心对称图形．（2）存在，理由如下：如图所示，连接OB，OA，OD，作ON⊥AB于N，AP⊥y轴于P，DQ⊥x轴于Q，∵ABCD为正方形，∴OA⊥OB，OA⊥OD，OA=OB=OD，即△OAB为等腰直角三角形∴ON=AB=AN=4，∴MN=AN-AM=4-1=3∴OM=∵∠ONM=∠APM=90°，∠OMN=∠AMP∴△ONM∽△AMP∴，即∴AP=，PM=∴OP=OM+PM=，则A点坐标为∴则反比例函数为由正方形的对称性和旋转的性质可得△OAP≌△ODQ∴OQ=OP=，DQ=AP=∴D点坐标为设直线AD解析式为将A，D代入得解得，∴直线AD解析式为令整理得则方程有两个不相等的实数根，∴直线AD与反比例函数有两个不同的交点∴曲边四边EFGH存在【点睛】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象与性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质，是一道新定义问题．15．（1），；（2）①不存在，理由详见解析；②存在，【解析】【分析】（1）先确定A、B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）①可用t的代数式表示DF，然后根据DF=BC求出t的值，得到DF与CB重合，因而不存在t，使得四边形DFBC为平行四边形；②可分两种情况（点Q在线段BC上和在线段BC的延长线上）讨论，由于DE∥QC，要使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，只需DE=QC，只需将DE、QC分别用的式子表示，再求出t即可解答．【详解】解：（1）由题意得，，，反比例函数为，一次函数为：．（2）①不存在．轴，轴，．又四边形是平行四边形，．设，则，，．此时与重合，不符合题意，不存在．②存在．当时，；当时，由，，得．由，．得．当时，四边形为平行四边形．．，（舍）当时，四边形为平行四边形．又且，为矩形．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式以及平行四边形的判定、解方程、根的判别式等知识，在解答以点D、E、Q、C为顶点的四边形的四个顶点的顺序不确定，需要分情况讨论是解答本题的关键．16．（1）点，的最小值；（2）存在，点的坐标可以为，，或【解析】【分析】（1）设，根据正切函数的定义求出点C，将其代入二次函数的表达式中，求出a，过点E作EH⊥OB，垂足为H，根据四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积得到一个二次函数，进而可求出取最大值时点E的坐标，过点M作MF⊥OB，垂足为F，要使最小，则使最小，进而求解；（2）分两种情况考虑，①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，分别利用中点坐标公式进行求解．【详解】解：（1）设，∵，，∴，即点，将点C代入中，解得，，∴，设点，过点E作EH⊥OB，垂足为H，∴四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积，∴当时，四边形面积最大，∴点，过点M作MF⊥OB，垂足为F，∵，∴要使最小，即使最小，∴过点E作EH⊥OB交BC于点M，垂足为H，此时取得最小值，∴的最小值；（2）存在；由题意知，，线段所在的直线方程为，分两种情况讨论：①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，∵，解得，点K，H的横坐标分别为，，∵四边形BCPN为平行四边形，设点，当N取点K时，由中点坐标公式知，，解得，，∴，即点，同理可知，当点N取点K时，点；②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，∴点，∴由中点坐标公式得，，∵，∴解得，或，∴点或，综上所述，点的坐标可以为，，或．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了正切函数，二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，学会运用分类讨论的思想进行解题，是中考压轴题，难度较大．17．（1）B（，0），30°；（2）或；（3）①y=+1（1-≤x≤1）；②【解析】【分析】（1）由题意得出直线AB的解析式，令y=0即可得到点B坐标，再利用正切的含义求出∠ABO的度数；（2）设这样两条直线与直线AB交点为C、D（其中点C在点D上方），作CE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，证明△CEM≌△MFD，令C（a，a+2），从而得到点D坐标，代入直线AB的解析式，即可得到结果；（3）①分别过C作CP⊥x轴于P，取PD中点Q，连接NQ，根据C、D坐标得到点N的坐标，从而求出点N的横纵坐标之间的关系；②首先得到点N的运动轨迹，再用两点之间距离的求法求解即可．【详解】解：（1）∵经过点且与平行的直线，交x轴于点B，∴直线AB的解析式为：y=+2，令y=0，解得：x=，∴B（，0），∵tan∠ABO==，∴∠ABO=30°；（2）这样的直线有2条，设它们与直线AB交点为C、D（其中点C在点D上方），作CE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，可得：△CMD为等腰直角三角形，∴CM=DM，又∠ECM=90°-∠OMC=∠DMF，∠CEM=∠DFM=90°，∴△CEM≌△MFD（AAS），令C（a，a+2），可得CE=MF=a+2，ME=DF=1-a，∴D（a+3,1-a），将D点坐标代入直线AB解析式得a=，∴此时D点横坐标为，综上所述，所求横坐标为或；（3）①将C（m，n）代入直线AB解析式可得n=m+2，分别过C作CP⊥x轴于P，取PD中点Q，连接NQ，则NQ∥CP且NQ=CP，根据C、D坐标可得CP=m+2，OP=m，DO=3m-2，∴DQ=PQ=2m-1，NQ=m+1，故N（-m+1，m+1），设x=-m+1，y=m+1，则m=1-x=，整理得：y=+1，又0≤m≤，∴1-≤-m+1≤1，综上，N点横纵坐标满足函数关系式y=+1（1-≤x≤1）；②由①可知点N的运动轨迹为一条线段，在y=+1中，令x=1-，则y=，令x=1，则y=，则=，∴N点的运动轨迹长度为．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，求函数解析式，中位线定理，三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，知识点较多，难度较大，解题的关键是根据题意得到相应点的坐标，以及根据坐标和图形的性质得到相应线段的长度．18．（1）①详见解析；②2；（2）详见解析；（3）BD＝．【解析】【分析】（1）①根据题意画出图形即可．②解直角三角形