高二数学期末试题及详细解析

高二数学期末试题及详细解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.导数的几何意义函数\(f(x)=x^3-2x+1\)在\(x=1\)处的切线方程是（）A.\(y=x-1\)B.\(y=2x-2\)C.\(y=-x+1\)D.\(y=-2x+2\)解析：计算\(f(1)=1^3-2\cdot1+1=0\)，得切点为\((1,0)\)。求导得\(f'(x)=3x^2-2\)，则\(f'(1)=3\cdot1^2-2=1\)，即切线斜率为1。由点斜式得切线方程：\(y-0=1\cdot(x-1)\)，即\(y=x-1\)。答案：A2.椭圆的定义平面内到两个焦点\(F_1(-2,0)\)、\(F_2(2,0)\)的距离之和为8的点的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：由椭圆定义：平面内到两定点（焦点）的距离之和为常数（大于两焦点间距离）的点的轨迹为椭圆。两焦点间距离\(|F_1F_2|=4\)，常数为8（大于4），故轨迹为椭圆。答案：B3.独立性检验为研究吸烟与患肺癌的关系，某机构调查了1000人，得到卡方统计量\(\chi^2=6.635\)，则有（）把握认为吸烟与患肺癌有关。A.90%B.95%C.99%D.99.9%解析：卡方临界值表中，\(\chi^2=6.635\)对应显著性水平\(\alpha=0.01\)，即有99%的把握认为两个变量有关。答案：C4.立体几何线面角正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，直线\(A_1B\)与平面\(ABCD\)所成的角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：直线\(A_1B\)在平面\(ABCD\)内的投影为\(AB\)（因\(A_1A\perp\)平面\(ABCD\)）。夹角为\(\angleA_1BA\)，在\(\Rt\triangleA_1AB\)中，\(A_1A=AB\)，故\(\tan\theta=1\)，\(\theta=45^\circ\)。答案：B5.导数与极值点函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的极值点个数是（）A.0B.1C.2D.3解析：求导得\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f'(x)=0\)，得临界点\(x=0\)、\(x=2\)。分析导数符号：\(x<0\)时\(f'(x)>0\)，\(0<x<2\)时\(f'(x)<0\)，\(x>2\)时\(f'(x)>0\)，故\(x=0\)、\(x=2\)均为极值点。答案：C6.双曲线离心率双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，则其离心率为（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{5}{3}\)D.\(\frac{3}{5}\)解析：渐近线斜率\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\)，设\(a=4k\)，\(b=3k\)，则\(c=\sqrt{a^2+b^2}=5k\)。离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}\)。答案：A7.条件概率盒子中有3个红球、2个白球，不放回取两次，第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{1}{5}\)解析：第一次取到红球后，剩余2红2白，共4个球。第二次取到红球的概率为\(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)。答案：A8.抛物线定义抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\)，点\(P\)在抛物线上且\(|PF|=5\)，则点\(P\)的横坐标为（）A.3B.4C.5D.6解析：抛物线\(y^2=4x\)的准线为\(x=-1\)（\(p=2\)）。由抛物线定义，\(|PF|=x_P+1=5\)，得\(x_P=4\)。答案：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.复合函数求导函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的导数为\(f'(x)=\_\_\_\_\)。解析：复合函数求导：\(f'(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})\cdot(2x+\frac{\pi}{3})'=2\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)。答案：\(2\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)10.椭圆标准方程椭圆长轴长为6，离心率为\(\frac{1}{3}\)，则椭圆的标准方程为\(\_\_\_\_\)。解析：长轴长\(2a=6\)，得\(a=3\)；离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\)，得\(c=1\)。\(b^2=a^2-c^2=9-1=8\)，故标准方程为\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)或\(\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{8}=1\)（焦点位置未指定）。答案：\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\)（或\(\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{8}=1\)）11.三棱锥体积三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB=AC=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(PA=3\)，则体积为\(\_\_\_\_\)。解析：底面\(\triangleABC\)为直角三角形，面积\(S=\frac{1}{2}\times2\times2=2\)。体积\(V=\frac{1}{3}\timesS\timesPA=\frac{1}{3}\times2\times3=2\)。答案：212.回归直线方程回归直线\(\hat{y}=0.5x+a\)过样本中心点\((4,3)\)，则\(a=\_\_\_\_\)。解析：样本中心点在回归直线上，代入得\(3=0.5\times4+a\)，解得\(a=1\)。答案：113.函数极大值函数\(f(x)=x^3-3x\)的极大值为\(\_\_\_\_\)。解析：求导得\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，临界点\(x=\pm1\)。分析单调性：\(x<-1\)时\(f'(x)>0\)，\(-1<x<1\)时\(f'(x)<0\)，故\(x=-1\)为极大值点。极大值\(f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)=2\)。答案：214.双曲线焦点与距离双曲线\(\frac{x^2}{4}-y^2=1\)的焦点坐标为\(\_\_\_\_\)；点\((2,1)\)到其渐近线的距离为\(\_\_\_\_\)。解析：\(a^2=4\)，\(b^2=1\)，故\(c^2=a^2+b^2=5\)，焦点为\((\pm\sqrt{5},0)\)。渐近线方程为\(x\pm2y=0\)，点\((2,1)\)在渐近线\(x-2y=0\)上（代入得\(2-2\times1=0\)），故距离为0。答案：\((\pm\sqrt{5},0)\)；0三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.导数与切线方程（12分）求函数\(f(x)=\lnx+x^2\)在\(x=1\)处的切线方程。解析：计算切点：\(f(1)=\ln1+1^2=1\)，即\((1,1)\)。求导：\(f'(x)=\frac{1}{x}+2x\)，切线斜率\(f'(1)=1+2=3\)。切线方程：\(y-1=3(x-1)\)，化简得\(y=3x-2\)。答案：\(y=3x-2\)16.椭圆与直线位置关系（14分）椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点\((1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）若直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(C\)交于\(A,B\)两点，\(OA\perpOB\)，求\(m\)的取值范围。解析：（1）求椭圆方程：离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，故\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，\(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2\)。椭圆方程化简为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1\)，代入点\((1,\frac{\sqrt{3}}{2})\)：\(\frac{1}{a^2}+\frac{4\times\frac{3}{4}}{a^2}=1\)，解得\(a^2=4\)，\(b^2=1\)。椭圆方程：\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)。（2）求\(m\)的取值范围：联立直线与椭圆方程：\(\frac{x^2}{4}+(kx+m)^2=1\)，整理得：\((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0\)。判别式\(\Delta=64k^2m^2-4(1+4k^2)(4m^2-4)>0\)，化简得\(4k^2-m^2+1>0\)（*）。设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则\(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{4m^2-4}{1+4k^2}\)。\(OA\perpOB\)等价于\(x_1x_2+y_1y_2=0\)，代入\(y_1=kx_1+m\)、\(y_2=kx_2+m\)：\((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0\)。代入根与系数关系，化简得\(5m^2=4k^2+4\)，即\(k^2=\frac{5m^2-4}{4}\)。将\(k^2\)代入（*）式：\(4\times\frac{5m^2-4}{4}-m^2+1>0\)，解得\(m^2>\frac{3}{4}\)。又\(k^2\geq0\)，故\(5m^2-4\geq0\)，即\(m^2\geq\frac{4}{5}\)。综上，\(m\)的取值范围为\((-\infty,-\frac{2\sqrt{5}}{5}]\cup[\frac{2\sqrt{5}}{5},+\infty)\)。答案：（1）\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)；（2）\((-\infty,-\frac{2\sqrt{5}}{5}]\cup[\frac{2\sqrt{5}}{5},+\infty)\)17.立体几何线面平行与二面角（14分）在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=AC=AA_1=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(E\)为\(A_1C_1\)的中点，\(F\)为\(BC\)的中点。（1）求证：\(EF\parallel\)平面\(ABB_1A_1\)；（2）求二面角\(B_1-AC-B\)的余弦值。解析：建立空间直角坐标系：设\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(A_1(0,0,2)\)，\(B_1(2,0,2)\)，\(C_1(0,2,2)\)，则\(E(0,1,2)\)，\(F(1,1,0)\)。（1）证明线面平行：平面\(ABB_1A_1\)的法向量为\(\overrightarrow{AC}=(0,2,0)\)（\(y\)轴方向）。向量\(\overrightarrow{EF}=(1,1,0)-(0,1,2)=(1,0,-2)\)。计算点积：\(\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times0+0\times2+(-2)\times0=0\)，故\(EF\perp\)法向量。因\(EF\not\subset\)平面\(ABB_1A_1\)，故\(EF\parallel\)平面\(ABB_1A_1\)。（2）求二面角余弦值：平面\(ACB\)的法向量为\(\overrightarrow{AA_1}=(0,0,2)\)（\(z\)轴方向）。平面\(B_1AC\)的法向量：取\(\overrightarrow{AB_1}=(2,0,2)\)，\(\overrightarrow{AC}=(0,2,0)\)，叉乘得：\(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB_1}\times\overrightarrow{AC}=(-4,0,4)\)，化简为\((-1,0,1)\)。二面角余弦值为\(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{AA_1}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AA_1}|\cdot|\overrightarrow{n}|}=\frac{|0\times(-1)+0\times0+2\times1|}{2\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。答案：（1）证明见解析；（2）\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)18.统计与概率（12分）某学校抽取100名高二学生的数学成绩，整理成频率分布直方图（分组为\([50,60)\)、\([60,70)\)、\([70,80)\)、\([80,90)\)、\([90,100]\)），频率分别为0.05、0.15、0.3、0.35、0.15。（1）求这100名学生数学成绩的平均数和中位数；（2）若从成绩在\([80,100]\)的学生中随机抽取2人，求至少1人成绩在\([90,100]\)的概率。解析：（1）平均数与中位数：平均数：\(55\times0.05+65\times0.15+75\times0.3+85\times0.35+95\times0.15=79\)。中位数：累计频率到\([70,80)\)时为0.5，故中位数为\(70+\frac{0.5-0.2}{0.3}\times10=80\)。（2）概率计算：\([80,100]\)学生人数：\(100\times(0.35+0.15)=50\)，其中\([80,90)\)35人，\([90,100]\)15人。至少1人在\([90,100]\)的概率：\(1-\frac{\binom{35}{2}}{\binom{50}{2}}=1-\frac{35\times34}{50\times49}=\frac{18}{35}\)。答案：（1）平均数79，中位数80；（2）\(\frac{18}{35}\)19.导数与单调性、极值（14分）已知函数\(f(x)=x^3-3ax^2+3x+1\)，\(a\in\mathbb{R}\)。（1）讨论函数\(f(x)\)的单调性；（2）若函数\(f(x)\)在区间\((1,2)\)内有极值，求\(a\)的取值范围。解析：（1）讨论单调性：求导得\(f'(x)=3(x^2-2ax+1)\)，判别式\(\Delta=4(a^2-1)\)。当\(-1\leqa\leq1\)时，\(\Delta\leq0\)，\(f'(x)\geq0\)，\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增；当\(a<-1\)或\(a>1\)时，\(\Delta>0\)，临界点\(x=a\pm\sqrt{a^2-1}\)，\(f(x)\)在\((-\infty,a-\sqrt{a^2-1})\cup(a+\sqrt{a^2-1},+\infty)\)单调递增，在\((a-\sqrt{a^2-1},a+\sqrt{a^2-1})\)单调递减。（2）求\(a\)的取值范围：极值点需满足\(\Delta>0\)（即\(a<-1\)或\(a>1\)），且\(f'(x)\)在\((1,2)\)内有零点。计算\(f'(1)=6(1-a)\)，\(f'(2)=3(5-4a)\)，由零点存在定理：\(f'(1)\cdotf'(2)<0\)，即\((1-a)(5-4a)<0\)，解得\(1<a<\frac{5}{4}\)。答案：（1）当\(-1\leqa\leq1\)时，单调递增；当\(a<-1\)或\(a>1\)时，先增后减再增；（2）\((1,\frac{5}{4})\)20.抛物线与焦点弦（14分）已知抛物线\(C:y^2=4x\)的焦点为\(F\)，过\(F\)的直线\(l\)与抛物线\(C\)交于\(A,B\)两点，\(M\)为线段\(AB\)的中点。（1）若直线\(OM\)的斜率为\(\frac{