理论力学（第2版）课件 第十章 动量矩定理

第十章动量矩定理第十章动量矩定理质点质点系动量定理：动量的改变→外力(外力系主矢)质心运动定理：质心的运动→外力(外力系主矢)

动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点(或固定轴)的动量矩的改变与外力对同一固定点(或固定轴)之矩两者之间的关系。PAG24123动量矩动量矩定理刚体对轴的转动惯量刚体的定轴转动微分方程5质点系相对于质心的动量矩定理6刚体平面运动微分方程第十章动量矩定理PAG3§10-1

动量矩PAG4一、质点的动量矩

对点O的动量矩：质点的动量对固定点O之矩。AB

单位:kg·m2/s垂直于矢径与动量形成的平面；大小:方向:矢量符合右手法则；指向:yxzO—度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱§10-1

动量矩yxzOABA'B'

对z轴的动量矩：质点动量在Oxy平面内的投影对点O的矩。单位:kg·m2/s正负:迎着z轴看，逆时针为正，顺时针为负。代数量质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系:

质点对某点O的动量矩在通过该点的z轴上的投影等于质点对于该轴的动量矩。PAG6二、质点系的动量矩对点的动量矩对轴的动量矩

质点系对某点O的动量矩在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。§10-1

动量矩§10-1

动量矩1、刚体平移

平移刚体对固定点(或固定轴)的动量矩等于刚体质心的动量对该固定点(或固定轴)的动量矩。刚体动量矩计算2、刚体绕定轴转动转动惯量

定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。§10-1

动量矩§10-2

动量矩定理一、质点的动量矩定理设O为定点，质点对定点O的动量矩为作用力F对定点O的矩为zyxO质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点之矩。质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一轴之矩。—

质点的动量矩定理投影形式：§10-2

动量矩定理§10-2

动量矩定理如果作用于质点的力对某定点O之矩恒等于零,则质点对该点的动量矩保持不变。

如果作用于质点的力对某定轴之矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变。质点动量矩守恒定理：§10-2

动量矩定理例10-1一单摆在平面内小幅度摆动,摆绳长l,摆捶质量为m,求摆捶微小摆动的运动方程。解：⑴取摆捶为研究对象,画受力图⑵运动分析⑶摆捶对O轴的动量矩摆捶外力对O轴的力矩⑷由摆捶对O轴的动量矩定理得§10-2

动量矩定理角频率周期§10-2

动量矩定理二、质点系的动量矩定理=0对质点：作用于第i个质点的力有内力和外力对质点系：§10-2

动量矩定理质点系对某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一轴之矩的代数和。质点系对某定点O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对O点之矩的矢量和。—

质点系的动量矩定理投影形式：§10-2

动量矩定理

如果作用于质点系的外力对某定点O的主矩恒等于零，则质点系对该点的动量矩保持不变。

如果作用于质点系的外力对某定轴之矩的代数和恒等于零，则质点系对该轴的动量矩保持不变。质点系动量矩守恒定律：§10-2

动量矩定理例10-2矿井提升设备，已知两个鼓轮固连在一起，总质量为m，对转轴O的转动惯量为

，作用在鼓轮上的力偶矩为M，在半径为R

的鼓轮上悬挂一质量为

的重物，而在半径为r

的鼓轮上用绳索牵引小车沿倾角为θ的斜面运动，小车质量为

。设绳索的质量和各处摩擦均忽略不计，绳索与斜面平行，试求小车的加速度。。§10-2

动量矩定理解：⑴取整个系统为研究对象,画受力图⑵运动分析⑶系统对O轴的动量矩系统外力对O轴的力矩§10-2

动量矩定理⑷由质点系对O轴的动量矩定理得§10-2

动量矩定理例10-3小球C、D

以细绳相连，质量均为m，其余构件质量不计。忽略摩擦，系统绕铅垂轴z转动，初始时系统的角速度为

。当细线拉断后，各杆与铅垂线成角θ，求此时系统的角速度。。(a)(b)§10-2

动量矩定理解：⑴取整个系统为研究对象⑵初始时θ=0⑶当⑷由系统动量矩定理§10-3

刚体的定轴转动微分方程=0主动力:约束力:刚体对于z轴的转动惯量为Jz定轴转动刚体对转轴的动量矩由动量矩定理得§10-3

刚体的定轴转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程转动惯量

—刚体转动时惯性的度量质点的运动微分方程

刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。§10-3

刚体的定轴转动微分方程

已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。解决两类问题：

已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。

不能求出轴承处的约束力，需用质心运动定理求解。刚体作匀速转动或保持静止。刚体作匀变速转动。特殊情况：§10-3

刚体的定轴转动微分方程例10-4飞轮对轴O的转动惯量为

，以角速度

绕轴O

转动。制动时，闸瓦给轮以正压力

。已知闸瓦与飞轮之间的动滑动因数为f，轮的半径为r，轴承的摩擦忽略不计。试求：(1)制动时飞轮的角加速度；(2)从开始制动到飞轮停止转动所需的时间t。。§10-3

刚体的定轴转动微分方程解：⑴取飞轮为研究对象,画受力图⑵由刚体转动微分方程得⑶由匀变速转动公式得例10-5复摆质量为m

,C为其质心,

OC=l

,

摆对悬挂点O的转动惯量为JO,求复摆微小摆动时的周期。解：⑴取复摆为研究对象,画受力图⑵由刚体转动微分方程得小扰动时，通解线性方程标准非线性方程§10-3

刚体的定轴转动微分方程PAG28固有圆频率：（2π时间内摆动次数）固有频率：（单位时间内摆动次数）初相位：由初始条件确定周期：§11-3

刚体绕定轴的转动微分方程§10-4

刚体对轴的转动惯量1、均质细直杆对中心轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量一、简单形状物体转动惯量的计算

刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量恒为正值，单位：

kg·m2若刚体的质量是连续分布，则§10-4

刚体对轴的转动惯量2、均质薄圆环对中心轴的转动惯量3、均质薄圆板对中心轴的转动惯量RzOmiRzOdriri§10-4

刚体对轴的转动惯量细直杆:均质圆环:均质圆板:二、回转半径（惯性半径）§10-4

刚体对轴的转动惯量

刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。三、平行移轴定理zc轴—

过质心且与

轴平行的轴；d

—

轴与zc轴之间的距离。§10-4

刚体对轴的转动惯量证明:设质量为m刚体质心C.§10-4

刚体对轴的转动惯量例10-6均质细直杆质量为m,长为l,求此杆对通求质心C并与杆垂直的

轴的转动惯量。解:由平行移轴定理§10-4

刚体对轴的转动惯量例10-7均质偏心圆盘的半径为R，质量为m，求其对于垂直于盘面且通过离盘心

之偏心轴

的转动惯量。解:由平行移轴定理§10-5

质点系相对于质心的动量矩定理Oyxzz'y'x'一、质点系相对质心的动量矩C平动参考系：质心C的矢径：质点的矢径：质点的相对矢径：质点的绝对速度：质点的相对速度：§10-5

质点系相对于质心的动量矩定理Oyxzz'y'x'C

质点系对任一固定点O的动量矩等于质点系随质心平动时对该点的动量矩与质点系相对于质心的动量矩的矢量和．点的速度合成定理：§10-5

质点系相对于质心的动量矩定理例10-8已知滑轮A的质量、半径、绕质心的转动惯量分为,,

；滑轮B的质量、半径、绕质心的转动惯量分别为

，

，

，且

；物块C的质量为

，速度为

。求系统对O轴的动量矩。解：⑴运动分析⑵系统对O轴的动量矩§10-4

质点系相对于质心的动量矩定理二、质点系相对于质心的动量矩定理质点系对某固定点的动量矩定理：

质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。§10-5

质点系相对于质心的动量矩定理

如果作用于质点系的外力对质心的主矩恒等于零，则质点系相对于质心的动量矩保持不变。质点系相对于质心的动量矩守恒：§10-6

刚体平面运动微分方程刚体平面运动:随质心的平动

+绕质心的转动:随基点的平动

+绕基点的转动运动学动力学随质心的平动:绕质心的转动:质心运动定理相对于质心的动量矩定理刚体相对于质心的动量矩§10-6

刚体平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程或投影式：或例10-9均质鼓轮半径为R，质量为m，对中心轴的回转半径为

，在半径为r的轴处沿水平方向作用有力

和

，使鼓轮沿水平轨道向右作纯滚动，试求轮心点C的加速度及使滚轮作纯滚动时的摩擦力。⑵列刚体平面运动微分方程§10-6

刚体平面运动微分方程解：⑴取鼓轮为研究对象，受力分析⑶运动分析§10-6

刚体平面运动微分方程联立可解得⑵质心运动定理§10-6

刚体平面运动微分方程解：⑴取物块B为研究对象，受力分析例10-10

绳的一端与水平桌面上的重物B相连，另一端绕在均质圆柱A上。已知重物质量为

，圆柱的半径为r，质量为

，重物B与水平桌面间的动摩擦因数为f，试求圆柱质心C的加速度及绳的张力。§10-6

刚体平面运动微分方程⑶取圆柱A为研究对象，受力分析(4)列刚体平面运动微分方程(5)运动分析纯滚动联立可解得1、质点和质点系的动量矩（kg·m2/s）矢量代数量质点对点O的动量矩质点对z轴的动量矩质点系对点O的动量矩质点系对z轴的动量矩矢量代数量【小结】【小结】⑴刚体平移刚体对点O的动量矩刚体对z轴的动量矩⑵刚体绕定轴转动刚体对z轴的动量矩转动惯量【小结】2、动量矩定理质点的动量矩定理：质点系