高三数学-多选题专项训练复习题附解析

高三数学多选题专项训练复习题附解析一、数列多选题1．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（）A． B．是偶数 C． D．…答案：AC【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解.【详解】对于A，，，，故A正确；对于B，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，，，，各式相加解析：AC【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解.【详解】对于A，，，，故A正确；对于B，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，，，，各式相加得，所以，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.2．设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法正确的是（）A． B．是递增数列C． D．答案：ABD【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由，设，则，所以当时，，即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，即，即，所以，解析：ABD【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由，设，则，所以当时，，即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，即，即，所以，即，所以，，故A正确；C不正确；由在上为单调递增函数，，所以是递增数列，故B正确；,所以因此，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.3．若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的可能取值为（）A． B． C．1 D．2答案：ABC【分析】根据不等式对于任意正整数n恒成立，即当n为奇数时有恒成立，当n为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解.【详解】根据不等式对于任意正整数n恒成立，当n为奇数时有：恒成立，由递减解析：ABC【分析】根据不等式对于任意正整数n恒成立，即当n为奇数时有恒成立，当n为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解.【详解】根据不等式对于任意正整数n恒成立，当n为奇数时有：恒成立，由递减，且，所以，即，当n为偶数时有：恒成立，由第增，且，所以，综上可得：，故选：ABC.【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.4．等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（）A． B． C．当或时，取得最大值 D．答案：ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列的前项和为，，∴，解得，故，故A正确；∵，，故有，故B正确；该数解析：ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列的前项和为，，∴，解得，故，故A正确；∵，，故有，故B正确；该数列的前项和，它的最值，还跟的值有关，故C错误；由于，，故，故D正确，故选：ABD.【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.5．设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是（）A．若，则既是等差数列又是等比数列B．若(，为常数，)，则是等差数列C．若，则是等比数列D．若是等差数列，则，，也成等差数列答案：BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A:,得是等差数列，当时不是等比数列，故错;选项B:,,得是等差数列，故对;选项C:,,当时也成立，是等比数列解析：BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A:,得是等差数列，当时不是等比数列，故错;选项B:,,得是等差数列，故对;选项C:,,当时也成立，是等比数列，故对;选项D:是等差数列，由等差数列性质得，，是等差数列，故对;故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前项和公式是解题关键.6．等差数列中，为其前项和，，则以下正确的是（）A．B．C．的最大值为D．使得的最大整数答案：BCD【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意，，所以，故A错误；所以，所以，故B正确；因为，所以当解析：BCD【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意，，所以，故A错误；所以，所以，故B正确；因为，所以当且仅当时，取最大值，故C正确；要使，则且，所以使得的最大整数，故D正确.故选：BCD.7．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．与均为的最大值答案：BD【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由得，则有，故A错误；而C选项，，即，可得，解析：BD【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由得，则有，故A错误；而C选项，，即，可得，又由且，则，必有，显然C选项是错误的.∵，，∴与均为的最大值，故D正确；故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题.8．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（）A．在数列中，最大B．在数列中，或最大C．D．当时，答案：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A解析：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A正确；选项不正确；，所以，故选项C不正确；当时，，即，故选项D正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n项和，属于基础题.9．已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（）A．（d为常数） B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．是与的等差中项答案：ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；B.因为数列是等差数列，所以，那么，所以数解析：ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；B.因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.10．已知数列的前n项和为则下列说法正确的是（）A．为等差数列 B．C．最小值为 D．为单调递增数列答案：AD【分析】利用求出数列的通项公式，可对A，B，D进行判断，对进行配方可对C进行判断【详解】解：当时，，当时，，当时，满足上式，所以，由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列，因解析：AD【分析】利用求出数列的通项公式，可对A，B，D进行判断，对进行配方可对C进行判断【详解】解：当时，，当时，，当时，满足上式，所以，由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以为单调递增数列，所以A，D正确，B错误，由于，而，所以当或时，取最小值，且最小值为，所以C错误，故选：AD【点睛】此题考查的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n项和的最值问题，属于基础题11．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题中正确的有（）A．若，则；B．若，则使的最大的n为15C．若，，则中最大D．若，则答案：BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A选项，若，则，那么.故A不正确；B选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为解析：BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A选项，若，则，那么.故A不正确；B选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为，所以使的最大的为15.故B正确；C选项，若，，则，，则中最大.故C正确；D选项，若，则，而，不能判断正负情况.故D不正确.故选：BC.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.12．公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有（）A． B． C．中最大 D．答案：AD【分析】先根据题意得，，再结合等差数列的性质得，，，中最大，，即：.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前项和公式得：，所以，，由于，，所以，，所以，中最大，由于，所以，即：解析：AD【分析】先根据题意得，，再结合等差数列的性质得，，，中最大，，即：.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前项和公式得：，所以，，由于，，所以，，所以，中最大，由于，所以，即：.故AD正确，BC错误.故选：AD.【点睛】本题考查等差数列的前项和公式与等差数列的性质，是中档题.二、等差数列多选题13．设等差数列的前项和为．若，，则（）A． B．C． D．解析：BC【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，，故选：BC14．等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（）A． B．C．当时最小 D．时的最小值为解析：BD【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.【详解】由于等差数列是递增数列，则，A选项错误；，则，可得，B选项正确；，当或时，最小，C选项错误；令，可得，解得或.，所以，满足时的最小值为，D选项正确.故选：BD.15．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（）A．若，则，；B．若，则使的最大的n为15；C．若，，则中最大；D．若，则.解析：ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A正确；对于B：因为，则，所以，又，所以，所以，，所以使的最大的n为15，故B正确；对于C：因为，则，，则，即，所以则中最大，故C错误；对于D：因为，则，又，所以，即，故D正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022解析：BCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，可得，则即，，故C正确；对于D，由可得，，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，，能根据数列性质利用累加法求解.17．已知等差数列的公差不为，其前项和为，且、、成等差数列，则下列四个选项中正确的有（）A． B． C．最小 D．解析：BD【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误.【详解】设等差数列的公差为，则，，因为、、成等差数列，则，即，解得，，.对于A选项，，，A选项错误；对于B选项，，，B选项正确；对于C选项，.若，则或最小；若，则或最大.C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：BD.【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前项和的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.18．等差数列中，为其前项和，，则以下正确的是（）A．B．C．的最大值为D．使得的最大整数解析：BCD【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意，，所以，故A错误；所以，所以，故B正确；因为，所以当且仅当时，取最大值，故C正确；要使，则且，所以使得的最大整数，故D正确.故选：BCD.19．设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A． B． C． D．解析：ABC【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；，C正确；，所以，D错误.【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定的范围，由通项公式写出各项（用表示）后，可判断．20．等差数列的首项，设其前项和为，且，则（）A． B． C． D．的最大值是或者解析：BD【分析】由，即，进而可得答案．【详解】解：，因为所以，，最大，故选：．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．21．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（）A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大C． D．当时，解析：AD【分析】由已知得到,进而得到,从而对ABD作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C错误.【详解】由已知得：,结合等差数列的性质可知，,该等差数列是单调递减的数列，∴A正确，B错误，D正确，,等价于,即,等价于，即,这在已知条件中是没有的，故C错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.22．已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（）A． B．C．当且仅当时，取最大值 D．当时，n的最小值为22解析：AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由二次函数的配方法，结合n为正整数，可判断C；由解不等式可判断D．【详解】等差数列的前n项和为，公差，由，可得，即，①由是与的等比中项，得，即，化为，②由①②解得，，则，，由，可得或11时，取得最大值110；由，解得，则n的最小值为22.故选：AD【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.23．在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（）A．（，为常数，）； B．（为常数，）；C．； D．的前项和（）.解析：AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B选项中（为常数，），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C选项中，对于数列符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D选项的前项和（），不符合，所以不为等差数列．故错误．故选：AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．24．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（）A．a6＞0B．C．Sn＜0时，n的最小值为13D．数列中最小项为第7项解析：ABCD【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn＜0时，n的最小值为13．数列中，n≤6时，＞0.7≤n≤12时，＜0．n≥13时，＞0．进而判断出D是否正确．【详解】∵S12＞0，a7＜0，∴＞0，a1+6d＜0．∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，又∵a3＝a1+2d＝12，∴＜d＜﹣3．a1＞0．S13＝＝13a7＜0．∴Sn＜0时，n的最小值为13．数列中，n≤6时，＞0，7≤n≤12时，＜0，n≥13时，＞0．对于：7≤n≤12时，＜0．Sn＞0，但是随着n的增大而减小；an＜0，但是随着n的增大而减小，可得：＜0，但是随着n的增大而增大．∴n＝7时，取得最小值．综上可得：ABCD都正确．故选：ABCD．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、等比数列多选题25．设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是（）A．若，则既是等差数列又是等比数列B．若(，为常数，)，则是等差数列C．若，则是等比数列D．若是等差数列，则，，也成等差数列解析：BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A:,得是等差数列，当时不是等比数列，故错;选项B:,,得是等差数列，故对;选项C:,,当时也成立，是等比数列，故对;选项D:是等差数列，由等差数列性质得，，是等差数列，故对;故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前项和公式是解题关键.26．已知数列均为递增数列，的前n项和为的前n项和为且满足，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．解析：ABC【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出范围；求出数列的前2n项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案.【详解】因为数列为递增数列，所以，所以，即，又，即，所以，即，故A正确；因为为递增数列，所以，所以，即，又，即，所以，即，故B正确；的前2n项和为=，因为，则，所以，则的2n项和为=，当n=1时，，所以，故D错误；当时假设当n=k时，，即，则当n=k+1时，所以对于任意，都有，即，故C正确故选：ABC【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.27．已知，，，依次成等比数列，且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（）A． B． C． D．解析：AB【分析】因为公比不为1，所以不能删去，，设等差数列的公差为，分类讨论，即可得到答案【详解】解：因为公比不为1，所以不能删去，，设等差数列的公差为，①若删去，则有，得，即，整理得，因为，所以，因为，所以解得，②若删去，则，得，即，整理得，因为，所以，因为，所以解得，综上或，故选：AB28．设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数、，都有，若，，数列的前项和组成数列，则有（）A．数列递增，且 B．数列递减，最小值为C．数列递增，最小值为 D．数列递减，最大值为1解析：AC【分析】计算的值，得出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，根据其通项公式进行判断即可【详解】解：因为，所以，所以，，……所以，所以，所以数列递增，当时，有最小值，故选：AC【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列的通项公式，进而可得数列的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题29．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．数列是等比数列B．若则C．若则数列是递增数列D．若数列的前n和则r=-1解析：AC【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D.【详解】设等比数列公比为则，即数列是等比数列；即A正确；因为等比数列中同号，而所以，即B错误；若则或，即数列是递增数列，C正确；若数列的前n和则所以，即D错误故选：AC【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若为非零常数)，则是等比数列；(2)等比中项法：在数列中，且，则数列是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成均是不为0的常数)，则是等比数列；(4)前项和公式法：若数列的前项和为非零常数)，则是等比数列.30．已知数列的前项和为且满足，下列命题中正确的是（）A．是等差数列 B．C． D．是等比数列解析：ABD【分析】由代入已知式，可得的递推式，变形后可证是等差数列，从而可求得，利用求出，并确定的表达式，判断D．【详解】因为，，所以，所以是等差数列，A正确；公差为3，又，所以，．B正确；时，由求得，但不适合此表达式，因此C错；由得，∴是等比数列，D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由，化已知等式为的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．31．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）A． B． C． D．解析：AD【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定．【详解】时，，数列不一定是等比数列，时，，数列不一定是等比数列，由等比数列的定义知和都是等比数列．故选AD．【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列．32．已知数列满足，，，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（）A． B．C． D．解析：CD【分析】根据数列满足，，得到，两式相减得：，然后利用等差数列的定义求得数列的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列满足，，，所以，两式相减得：，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；所以数列的通项公式是，A.令时，，而，故错误；B.令时，，而，故错误；C.当时，，而，成立，当时，，因为，所以，所以，故正确；D.因为，令，因为，所以得到递增，所以，故正确；故选：CD【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.33．设数列满足记数列的前n项和为则（）A． B． C． D．解析：ABD【分析】由已知关系式可求、，进而求得的通项公式以及前n项和即可知正确选项.【详解】由已知得：，令，则当时，，即，而也成立，∴，，故数列通项公式为，∴，即有，故选：ABD【点睛】关键点点睛：由已知求、，注意验证是否符合通项，并由此得到的通项公式，利用裂项法求前n项和.34．已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（）A． B． C． D．解析：ABD【分析】由条件可得，解出，然后依次计算验证每个选项即可.【详解】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；，选项B正确；，所以，选项C错误；，而，选项D正确．故选：ABD【点睛】本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题.35．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有()A． B． C． D．解析：BC【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.故选：BC.【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.36．对于数列，若存在数列满足（），则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（）A．若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B．若，则其“倒差数列”有最大值；C．若，则其“倒差数列”有最小值；D．若，则其“倒差数列”有最大值.解析：ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A．若数列是单增数列，则，虽然有，但当时，，因此不一定是单增数列，A正确；B．，则，易知是递增数列，无最大值，B错；C．，则，易知是递增数列，有最小值，最小值为，C正确；D．若，则，首先函数在上是增函数，当为偶数时，，∴，当为奇数时，，显然是递减的，因此也是递减的，即，∴的奇数项中有最大值为，∴是数列中的最大值．D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．四、平面向量多选题37．已知的三个角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形答案：D【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解.【详解】在中，因为，由正弦定理得，所以，即，所以或，解得或.故是直角三角形或等腰三角形.故选：D.【点睛】本题主要考查解析：D【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解.【详解】在中，因为，由正弦定理得，所以，即，所以或，解得或.故是直角三角形或等腰三角形.故选：D.【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.38．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝，a＝7，则以下判断正确的是（）A．△ABC的外接圆面积是； B．bcosC＋ccosB＝7；C．b＋c可能等于16； D．作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大值是7.答案：ABD【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．【详解】对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；对于B，根据正弦定解析：ABD【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．【详解】对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；对于B，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合，可将原式化为，故B正确．对于C，，故C错误．对于D，设到直线的距离为，根据面积公式可得，即，再根据①中的结论，可得，故D正确．故选：ABD.【点睛】本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．39．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有（）A． B．若，则C．若，则 D．答案：ACD【分析】根据正弦定理的性质即可判断.【详解】对于A，在，由正弦定理得，则，故A正确；对于B，若，则或，所以和不一定相等，故B错误；对于C，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD【分析】根据正弦定理的性质即可判断.【详解】对于A，在，由正弦定理得，则，故A正确；对于B，若，则或，所以和不一定相等，故B错误；对于C，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角，所以，故C正确；对于D，由正弦定理得，则，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.40．已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（）A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b方向上的投影为C．2m+n=4D．mn的最大值为2答案：CD【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A，向量(解析：CD【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，则，则的夹角为锐角，错误；对于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，则向量在方向上的投影为，错误；对于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，则(1，2)，若()∥，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn(2m•n)()2=2，即mn的最大值为2，正确；故选：CD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.41．下列结论正确的是（）A．在中，若，则B．在锐角三角形中，不等式恒成立C．若，则为等腰三角形D．在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为答案：AB【分析】由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D．【详解】中，，由得，A正确；锐角三角形中，，∴，B正确；中，解析：AB【分析】由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D．【详解】中，，由得，A正确；锐角三角形中，，∴，B正确；中，若，则或，即或，为等腰三角形或直角三角形，C错；中，若，，三角形面积，，，∴，，∴，，D错．故选：AB．【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．42．在中，内角所对的边分别为.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A． B．C． D．答案：BC【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】对于选项A中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B中：因为，且，所以角有两解析：BC【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】对于选项A中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B中：因为，且，所以角有两解；对于选项C中：因为，且，所以角有两解；对于选项D中：因为，且，所以角仅有一解.故选：BC.【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.43．下列结论正确的是（）A．已知是非零向量，，若，则⊥（）B．向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角为60°，则在上的投影向量为C．点P在△ABC所在的平面内，满足，则点P是△ABC的外心D．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形答案：ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对：因为，又，故可得，故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为解析：ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对：因为，又，故可得，故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为60°，故可得.故在上的投影向量为，故选项正确；对：点P在△ABC所在的平面内，满足，则点为三角形的重心，故选项错误；对：不妨设，则，故四边形是平行四边形；又，则，故四边形是矩形.故选项正确；综上所述，正确的有：.故选：.【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.44．在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（）A． B．C． D．答案：AD【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，,故C错误；对于D，,,故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查三角形解析：AD【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，,故C错误；对于D，,,故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.45．在中，若，，，则C的值可以是（）A．30° B．60° C．120° D．150°答案：BC【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.46．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则是等腰三角形C．若，则是直角三角形D．若，则是锐角三角形答案：AC【分析】对选项A，利用正弦定理边化角公式即可判断A正确；对选项B，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对选项C，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析：AC【分析】对选项A，利用正弦定理边化角公式即可判断A正确；对选项B，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对选项C，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C正确；对D，首先根据余弦定理得到为锐角，但，无法判断，故D错误.【详解】对选项A，，故A正确；对选项B，因为所以或，则是等腰三角形或直角三角形.故B错误；对选项C，因为，所以，，，因为，所以，，是直角三角形，故③正确；对D，因为，所以，为锐角.但，无法判断，所以无法判断是锐角三角形，故D错误.故选：AC【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.47．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（）A． B．C． D．答案：BC【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.【详解】对于A选项：，故A错；对于B选项：因为D为BC的中点，，故B正确；对于C选项：，故正确；对于D选项：，而，故解析：BC【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.【详解】对于A选项：，故A错；对于B选项：因为D为BC的中点，，故B正确；对于C选项：，故正确；对于D选项：，而，故D不正确.故选：BC.【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.48．下列命题中，正确的有（）A．向量与是共线向量，则点、、、必在同一条直线上B．若且，则角为第二或第四象限角C．函数是周期函数，最小正周期是D．中，若，则为钝角三角形答案：BCD【分析】根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C选项的正误解析：BCD【分析】根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C选项的正误；利用切化弦思想化简不等式得出，进而可判断出选项D的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，向量与共线，则或点、、、在同一条直线上，A选项错误；对于B选项，，，所以，则角为第四象限角，如下图所示：则为第二或第四象限角，B选项正确；对于C选项，作出函数的图象如下图所示：由图象可知，函数是周期函数，且最小正周期为，C选项正确；对于D选项，，，，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则的三个内角余弦值必有一个为负数，则为钝角三角形，D选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.五、复数多选题49．已知复数满足，则可能为（）A．0 B． C． D．答案：ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.50．已知复数，则（）A． B．的虚部是C．若，则， D．答案：CD【分析】取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，取，则，A选项错误；对于B选项，复数的虚部为，B选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，取，则，A选项错误；对于B选项，复数的虚部为，B选项错误；对于C选项，若，则，，C选项正确；对于D选项，，D选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.51．已知复数则（）A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限C． D．答案：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A正确；对于B选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A正确；对于B选项，对应的点位于第四象限，故B错；对于C选项，，则，故C错；对于D选项，，则，故D正确.故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.52．已知复数（其中为虚数单位），则以下结论正确的是（）A． B． C． D．答案：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．53．已知复数，其中是虚数单位，则下列结论正确的是（）A． B．的虚部为C． D．在复平面内对应的点在第四象限答案：AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A选项正确；，虚部为，所以B选项正确；，所以C选项错误；，对应点为，在第三象限，故D选项错误.故选解析：AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A选项正确；，虚部为，所以B选项正确；，所以C选项错误；，对应点为，在第三象限，故D选项错误.故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.54．已知复数，则下列说法正确的是（）A．若，则共轭复数 B．若复数，则C．若复数z为纯虚数，则 D．若，则答案：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A，时，，则，故A错误；对于B，若复数，则满足，解得，故B正确；对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A，时，，则，故A错误；对于B，若复数，则满足，解得，故B正确；对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得，故C错误；对于D，若，则，，故D正