小学数学竞赛专业知识题库

小学数学竞赛专业知识题库引言小学数学竞赛（如“希望杯”“华罗庚金杯”）以思维灵活性、知识应用性、逻辑严密性为核心，侧重考查学生对数学本质的理解与解决实际问题的能力。构建一套专业、系统的题库，是高效训练的关键——它能帮助学生巩固核心知识点、掌握解题策略、提升思维能力。本文将按计算技巧、应用题、几何图形、数论基础、组合数学、数学游戏与策略六大模块，梳理小学竞赛的核心考点，并提供典型例题、解题思路及拓展练习，兼具专业性与实用性。一、计算技巧：快速解题的基石计算是数学的“基本功”，竞赛中的计算并非“硬算”，而是通过技巧简化运算，考查学生的观察能力与数感。1.核心知识点凑整法：利用整数、小数、分数的“整十、整百、整千”特性，通过拆分、组合简化计算（如25×4=100，125×8=1000，0.25×4=1）。裂项相消法：将分数拆分为两个分数的差，抵消中间项（如\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)）。提取公因数：将相同因数提取出来，简化乘法运算（如\(a×b+a×c=a×(b+c)\)）。等差数列求和：利用公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)（\(n\)为项数，\(a_1\)为首项，\(a_n\)为末项），或项数公式\(n=\frac{a_n-a_1}{d}+1\)（\(d\)为公差）。2.典型例题与解题思路例题1（凑整法）：计算\(25×128×0.125\)解题思路：观察到25与4、125与8相乘可凑整，将128拆分为\(16×8\)，则：\(25×16×8×0.125=(25×16)×(8×0.125)=400×1=400\)。例题2（裂项相消）：计算\(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\cdots+\frac{1}{9×10}\)解题思路：将每一项裂分为两个分数的差，抵消中间项：\((1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)。例题3（提取公因数）：计算\(12×3.5+12×6.5\)解题思路：提取公因数12，利用乘法分配律简化：\(12×(3.5+6.5)=12×10=120\)。例题4（等差数列求和）：计算\(1+3+5+\cdots+19\)解题思路：首项\(a_1=1\)，末项\(a_n=19\)，公差\(d=2\)，项数\(n=\frac{19-1}{2}+1=10\)，则和为：\(\frac{10×(1+19)}{2}=100\)。3.拓展练习1.\(12.5×3.2×2.5\)（答案：100）2.\(\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{10×11}\)（答案：\(\frac{9}{22}\)）3.\(7.8×2.1+7.8×7.9\)（答案：78）4.\(2+4+6+\cdots+20\)（答案：110）二、应用题：生活场景的数学建模应用题是竞赛的“重头戏”，考查学生将生活问题转化为数学模型的能力，核心是找等量关系。1.核心知识点行程问题：相遇（\(总路程=速度和×相遇时间\)）、追及（\(路程差=速度差×追及时间\)）、流水行船（\(顺水速度=船速+水速\)，\(逆水速度=船速-水速\)）、火车过桥（\(总路程=车长+桥长\)）。工程问题：\(工作量=工作效率×工作时间\)（通常将工作量设为1）。分数比例问题：\(部分量=整体量×分率\)，\(整体量=部分量÷分率\)。鸡兔同笼问题：假设法（假设全是鸡/兔，计算脚数差，调整）或方程法。2.典型例题与解题思路例题1（相遇问题）：甲、乙两人从相距300米的两地同时出发，相向而行，甲每分钟走60米，乙每分钟走40米，几分钟后相遇？解题思路：相遇时间=总路程÷速度和，即\(300÷(60+40)=3\)分钟。例题2（工程问题）：一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，两人合作需几天完成？解题思路：设工作量为1，甲效率\(\frac{1}{10}\)，乙效率\(\frac{1}{15}\)，合作效率\(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}\)，时间\(1÷\frac{1}{6}=6\)天。例题3（分数比例）：一批货物，运走\(\frac{1}{3}\)后还剩20吨，原有多少吨？解题思路：剩余分率为\(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)，原有量=剩余量÷剩余分率，即\(20÷\frac{2}{3}=30\)吨。例题4（鸡兔同笼）：笼中有头10个，脚28只，鸡、兔各有多少只？解题思路：假设全是鸡，脚有\(10×2=20\)只，差\(28-20=8\)只，每换一只兔多2只脚，兔有\(8÷2=4\)只，鸡有\(10-4=6\)只。3.拓展练习1.甲、乙两人同时从A地出发去B地，甲每小时走8千米，乙每小时走6千米，甲比乙早到1小时，A、B两地相距多少千米？（答案：24千米）2.一项工程，甲先做2天，完成\(\frac{1}{5}\)，剩下的由乙做，乙需8天完成，乙的效率是多少？（答案：\(\frac{1}{10}\)）3.某班男生占\(\frac{3}{5}\)，女生有20人，全班有多少人？（答案：50人）4.鸡兔同笼，头20个，脚56只，鸡、兔各多少只？（答案：鸡12只，兔8只）三、几何图形：空间思维的直观训练几何图形考查学生的空间想象能力与图形转化能力，核心是公式应用与割补技巧。1.核心知识点平面图形：长方形（\(面积=长×宽\)）、正方形（\(面积=边长×边长\)）、三角形（\(面积=底×高÷2\)）、圆形（\(面积=πr²\)，\(周长=2πr\)）、梯形（\(面积=(上底+下底)×高÷2\)）。立体图形：正方体（\(表面积=6×边长²\)，\(体积=边长³\)）、长方体（\(表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)\)，\(体积=长×宽×高\)）、圆柱（\(表面积=2πr²+2πrh\)，\(体积=πr²h\)）、圆锥（\(体积=\frac{1}{3}πr²h\)）。组合图形：割补法（将组合图形分成几个基本图形）、平移法（将分散的部分平移合并）、旋转法（将图形旋转后简化）。2.典型例题与解题思路例题1（平面图形）：一个长方形长10米，宽5米，面积是多少？解题思路：长方形面积=长×宽，即\(10×5=50\)平方米。例题2（圆形）：一个圆形直径6米，周长是多少？（π取3.14）解题思路：周长=π×直径，即\(3.14×6=18.84\)米。例题3（组合图形）：一个长方形长10米，宽5米，里面有一个直径5米的半圆（直径与长方形的宽重合），求阴影部分面积（π取3.14）。解题思路：阴影面积=长方形面积-半圆面积，即\(10×5-\frac{1}{2}×3.14×(5÷2)²=50-9.8125=40.1875\)平方米。例题4（立体图形）：一个正方体棱长2米，表面积是多少？解题思路：正方体表面积=6×边长²，即\(6×2²=24\)平方米。3.拓展练习1.一个三角形底8米，高6米，面积是多少？（答案：24平方米）2.一个圆形半径3米，面积是多少？（π取3.14，答案：28.26平方米）3.一个长方形长12米，宽8米，里面有两个直径8米的半圆（分别在长方形的左右两边），求阴影部分面积（π取3.14）。（答案：\(12×8-3.14×(8÷2)²=96-50.24=45.76\)平方米）4.一个长方体长5米，宽3米，高2米，体积是多少？（答案：30立方米）四、数论基础：数学本质的探索数论是数学的“基础学科”，竞赛中的数论问题考查学生对数的性质的理解，核心是整除特征与因数倍数。1.核心知识点整除特征：2（末位是0、2、4、6、8）、3（各位数字和能被3整除）、5（末位是0或5）、9（各位数字和能被9整除）、11（奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除）。因数与倍数：最大公因数（GCD）、最小公倍数（LCM），关系：\(两数乘积=GCD×LCM\)。质数与合数：质数（只有1和本身两个因数）、合数（除了1和本身还有其他因数），1既不是质数也不是合数。余数问题：同余定理（若\(a≡b(mod\m)\)，则\(a-b\)能被m整除）、中国剩余定理（求解同余方程组）。2.典型例题与解题思路例题1（整除特征）：能被2和3整除的最小数是多少？解题思路：能被2整除的数是偶数，能被3整除的数各位和能被3整除，最小是6（2×3=6）。例题2（最大公因数）：12和18的最大公因数是多少？解题思路：分解质因数，12=2²×3，18=2×3²，最大公因数取公共质因数的最小指数，即2×3=6。例题3（质数）：10以内的质数有哪些？解题思路：质数是只有1和本身两个因数的数，10以内的质数有2、3、5、7。例题4（余数问题）：找一个数，除以3余2，除以5余3，最小是多少？解题思路：用中国剩余定理，先找除以3余2的数：2、5、8、11、14、17、20……，再找其中除以5余3的数，最小是8（8÷5=1余3）。3.拓展练习1.能被2、3、5整除的最小三位数是多少？（答案：120）2.15和25的最大公因数是多少？（答案：5）3.20以内的质数有哪些？（答案：2、3、5、7、11、13、17、19）4.找一个数，除以4余1，除以6余3，最小是多少？（答案：9）五、组合数学：逻辑与策略的综合运用组合数学考查学生的逻辑推理能力与策略选择能力，核心是原理应用（如加法原理、乘法原理）与方法技巧（如排除法、假设法）。1.核心知识点排列组合：加法原理（分类计数，用“+”）、乘法原理（分步计数，用“×”）。逻辑推理：排除法（排除不可能的情况）、假设法（假设某情况成立，验证是否矛盾）。容斥原理：\(|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|\)（计算两个集合的并集大小）。抽屉原理：若有n个抽屉，放入n+1个物品，至少有一个抽屉有2个物品。2.典型例题与解题思路例题1（排列组合）：3个不同的玩具，分给2个小朋友，每个小朋友至少分1个，有多少种分法？解题思路：用乘法原理，先选1个玩具给第一个小朋友，有3种选法，剩下2个给第二个小朋友，有2种选法，共\(3×2=6\)种。例题2（逻辑推理）：甲、乙、丙三人分别是医生、教师、工程师，已知：①甲不是医生；②乙不是教师；③丙是工程师。问甲、乙是什么职业？解题思路：用排除法，丙是工程师，剩下医生和教师。甲不是医生，所以甲是教师；乙不是教师，所以乙是医生。例题3（容斥原理）：某班有10人喜欢语文，15人喜欢数学，5人既喜欢语文又喜欢数学，总人数是多少？解题思路：总人数=喜欢语文+喜欢数学-既喜欢语文又喜欢数学，即\(10+15-5=20\)人。例题4（抽屉原理）：3个苹果放进2个抽屉，至少有一个抽屉有2个苹果，为什么？解题思路：若每个抽屉最多放1个苹果，2个抽屉最多放2个苹果，而有3个苹果，所以至少有一个抽屉有2个苹果。3.拓展练习1.2件不同的衣服和3条不同的裤子，有多少种搭配方法？（答案：6种）2.甲、乙、丙、丁四人分别是司机、厨师、警察、医生，已知：①甲不是司机；②乙不是厨师；③丙是警察；④丁不是医生。问丁是什么职业？（答案：司机）3.某班有12人喜欢语文，18人喜欢数学，3人都不喜欢，总人数25人，既喜欢语文又喜欢数学的有多少人？（答案：\(12+18+3-25=8\)人）4.4个苹果放进3个抽屉，至少有一个抽屉有2个苹果，为什么？（答案：若每个抽屉最多放1个，3个抽屉最多放3个，4个苹果则至少有一个抽屉有2个）六、数学游戏与策略：趣味与思维的结合数学游戏与策略考查学生的反应速度与策略选择能力，核心是寻找规律与控制局面。1.核心知识点火柴棒游戏：移动一根火柴棒，使等式成立（如\(1+1=3\)，移动一根变成\(1+2=3\)）。抢报数游戏：两人轮流报数，每次报1-3个数，谁报到指定数（如10）谁赢，策略是控制每轮和为4（1+3=4）。一笔画问题：欧拉定理（图形能一笔画的条件：奇点个数为0或2，奇点是指连接奇数条边的顶点）。策略问题：最优方案（如烧水时同时洗杯子，节省时间）。2.典型例题与解题思路例题1（火柴棒游戏）：移动一根火柴棒，使\(1+1=3\)成立。解题思路：将第二个“1”移动一根变成“2”，等式变为\(1+2=3\)。例题2（抢报数游戏）：两人轮流报数，每次报1-3个数，谁报到10谁赢，先报者怎么赢？解题思路：控制每轮和为4，10÷4=2余2，先报2，然后对方报x，自己报4-x，最后报到10。