初中数学方程应用题专项练习集

初中数学方程应用题专项练习集一、前言方程应用题是初中数学的核心内容之一，它将数学知识与实际生活紧密结合，考查学生的逻辑思维、建模能力和解决问题的能力。无论是中考还是日常学习，方程应用题都占据重要地位。本练习集以一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程为核心，按题型分类梳理知识点、提供典型例题和专项练习，并总结解题技巧，帮助学生从基础到进阶逐步突破。二、一元一次方程应用题一元一次方程是方程应用题的基础，适用于解决单一未知量的问题，如行程、工程、利润等。（一）行程问题知识点梳理核心公式：\(路程=速度\times时间\)（\(s=vt\)）常见变形：相遇问题：\(s_甲+s_乙=总路程\)追及问题：\(s_快-s_慢=初始距离\)往返问题：\(v_去\timest_去=v_回\timest_回\)典型例题例1：甲、乙两人从相距20千米的A、B两地相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。问两人经过多少小时相遇？解：设相遇时间为\(x\)小时。根据相遇问题等量关系：\(6x+4x=20\)合并同类项：\(10x=20\)→\(x=2\)检验：甲走了\(6\times2=12\)千米，乙走了\(4\times2=8\)千米，合计20千米，符合题意。答：两人经过2小时相遇。专项练习1.客车（80千米/小时）与货车（70千米/小时）从相距300千米的两地相向而行，求相遇时间。（答案：2小时）2.小明以4千米/小时步行，10分钟后加速到6千米/小时，求到达2千米外学校的总时间。（答案：30分钟）3.环形跑道400米，甲（6米/秒）、乙（4米/秒）同向出发，求甲第一次追上乙的时间。（答案：200秒）（二）工程问题知识点梳理核心公式：\(工作总量=工作效率\times时间\)通常设工作总量为1（单位“1”），则工作效率为\(1/时间\)。合作问题：\(合作效率=甲效率+乙效率\)典型例题例2：甲单独完成一项工程需10天，乙单独完成需15天。两人合作3天后，甲离开，乙单独完成剩余工程需多少天？解：设总工程为1，甲效率为\(1/10\)，乙效率为\(1/15\)。合作3天完成：\(3\times(1/10+1/15)=1/2\)剩余工程：\(1-1/2=1/2\)乙单独完成需：\((1/2)\div(1/15)=7.5\)天答：乙还需7.5天完成。专项练习1.甲、乙合作需6天完成工程，甲单独需10天，求乙单独需多少天。（答案：15天）2.师傅每小时做15个零件，徒弟每小时做10个，两人合作完成100个零件需多少小时？（答案：4小时）（三）利润问题知识点梳理核心公式：利润=售价-成本利润率=\(利润/成本\times100\%\)售价=成本×(1+利润率)典型例题例3：一件商品成本50元，按20%的利润率定价，售价是多少？解：设售价为\(x\)元。根据利润率公式：\((x-50)/50=20\%\)→\(x-50=10\)→\(x=60\)答：售价为60元。专项练习1.商品售价80元，利润率25%，求成本。（答案：64元）2.商品打8折后售价160元，求原价。（答案：200元）三、二元一次方程组应用题当问题涉及两个未知量时，二元一次方程组更直观，适用于行程、工程、配套等问题。（一）行程问题（相遇与追及）知识点梳理设两个未知量（如两人速度、两地距离），根据两个等量关系列方程组。例：甲、乙速度分别为\(x\)、\(y\)，相遇时\(时间\times(x+y)=总路程\)；追及时\(时间\times(x-y)=初始距离\)。典型例题例4：A、B两地相距S千米，甲、乙相向而行，3小时相遇；若甲先出发1小时，乙再出发，2小时相遇。求甲、乙速度。解：设甲速度为\(x\)千米/小时，乙速度为\(y\)千米/小时。方程组：\(\begin{cases}3(x+y)=S\\(1+2)x+2y=S\end{cases}\)化简得：\(\begin{cases}3x+3y=S\\3x+2y=S\end{cases}\)用①-②得：\(y=0\)（舍去，调整题目为甲先出发1小时，乙出发后1.5小时相遇）修正后方程组：\(\begin{cases}3(x+y)=S\\2.5x+1.5y=S\end{cases}\)解得：\(x=2y\)，代入①得\(S=9y\)（具体数值需补充条件，如S=18，则x=4，y=2）。专项练习1.甲、乙从相距100千米的两地相向而行，甲速度比乙快2千米/小时，2小时相遇，求两人速度。（答案：甲26千米/小时，乙24千米/小时）（二）配套问题知识点梳理配套问题的关键是找到零件间的比例关系，如1个螺丝配2个螺母，则螺丝数量×2=螺母数量。典型例题例5：车间生产螺丝和螺母，1个螺丝配2个螺母。工人每天生产螺丝150个或螺母200个，现有20名工人，如何分配才能使产品配套？解：设生产螺丝的工人为\(x\)名，生产螺母的为\(y\)名。方程组：\(\begin{cases}x+y=20\\2\times150x=200y\end{cases}\)化简②得：\(300x=200y\)→\(3x=2y\)联立①得：\(x=8\)，\(y=12\)答：8名工人生产螺丝，12名生产螺母。专项练习1.1张桌子配4把椅子，每天生产桌子20张或椅子80把，现有30名工人，如何分配？（答案：10人生产桌子，20人生产椅子）四、一元二次方程应用题一元二次方程适用于涉及平方关系的问题，如面积、增长率、利润最大化等。（一）面积问题知识点梳理核心公式：长方形面积=长×宽，正方形面积=边长²，圆面积=πr²。通过设未知数表示边长，根据面积列方程。典型例题例6：长方形长比宽多2厘米，面积24平方厘米，求长和宽。解：设宽为\(x\)厘米，长为\(x+2\)厘米。方程：\(x(x+2)=24\)→\(x²+2x-24=0\)因式分解：\((x+6)(x-4)=0\)→\(x=4\)（舍去负解）答：长6厘米，宽4厘米。专项练习1.正方形边长增加3厘米，面积增加39平方厘米，求原边长。（答案：5厘米）2.用20米篱笆围长方形，面积21平方米，求长和宽。（答案：7米，3米）（二）利润问题（增长率）知识点梳理核心公式：\(现价=原价×(1+增长率)^n\)（\(n\)为增长次数）下降率：\(现价=原价×(1-下降率)^n\)典型例题例7：某商店去年销售额100万元，今年增长\(x\%\)，明年再增长\(x\%\)，两年后销售额121万元，求\(x\)。解：方程：\(100(1+x\%)²=121\)→\((1+x\%)²=1.21\)→\(1+x\%=1.1\)→\(x=10\)答：\(x=10\)。专项练习1.手机原价2000元，两次降价后1620元，求每次降价百分比。（答案：10%）2.存款1000元，两年后本息和1040.4元，求年利率。（答案：2%）五、方程应用题解题技巧总结（一）找等量关系的方法1.关键词法：抓住“等于”“比……多”“一共”等关键词，如“甲比乙多走5千米”→\(甲路程=乙路程+5\)。2.公式法：利用行程（\(s=vt\)）、工程（\(总量=效率×时间\)）等公式。3.线段图/表格法：画线段图表示行程，列表格整理利润、销量等数据，直观找关系。（二）设未知数的技巧1.直接设：问什么设什么（如“求相遇时间”设\(x\)小时）。2.间接设：设中间量（如速度比为3:2，设甲速度3\(x\)，乙速度2\(x\)）。3.辅助设：设多个未知数，最后消元（如往返问题设去时时间\(t\)，返回时间\(s\)）。（三）检验的重要性1.数值合理性：时间、长度不能为负，增长率不能超过100%。2.条件满足性：解需满足题目的所有条件（如行程问题中路程之和等于总路程）。六、综合提升练习1.甲、乙合作3天完成工程的1/2，甲单独需10天，求乙单独需多少天？（答案：15天）2.商品成本50元，售价70元，每降价1元多卖10件，求降价多少元时利润为2160元？（答案：2元或8元）3.汽车去时60千米/小时，返回40千米/小时，往返5小时，求两地距离。（答案：120千米）4.长方形周长30厘米，面积50平方厘米，求长和宽。（答案：10厘米，5厘米）5.去年利润100万元，今年增长20%，明年计划增长\(x\%\)使利润达144万元，求\(x\)。（答案：20）七、答案解析（部分）综合提升练习2：设降价\(x\)元，售价70-\(x\)元，利润20-\(x\)元，销量100+10\(x\)件。方程：\((20-x)(100+10x)=2160\)化简：\(x²-10x+16=0\)→\(x=2\)或\(x=8\)。