《概率论与数理统计》课件第6章

第6章数理统计的基本概念6.1基本概念6.2抽样分布习题６

数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。数理统计

的内容包括:如何收集、整理数据资料；如何对所得的数据资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作出推断。数理统计的重要分支有统计推断、试验设计、多元分析等，其具体方法甚多，应用相当广泛，已成为各学科从事科学研究及生产、经济等部门进行有效工作的必不可少的数学工具。

本章从数理统计的基本概念开始，讨论抽样分布及其重要定理，这些抽样分布及其重要定理在概率论中尚未提到，而在数理统计中会经常遇到。

6.1基本概念

1.总体与个体定义1称研究对象的全体为总体，它是一个随机变量X;称组成总体的元素为个体。

例如:把某学校某年级的学生视为一个总体，则每个学生为个体;把某批灯泡视为一个总体，则每个灯泡为个体;把某地区在某季节的日平均气温视为一个总体，则其中某天

的日平均气温为个体。在数理统计中，我们总是对总体的一个或几个数量表征进行研究，如学生的身高(单位:米)、灯泡的寿命(单位:小时)、日平均气温(单位:摄氏度)等，其取值都是一个随机变量X，因而经常将总体说成总体X。对总体X的研究就归结为讨论随机变量X的分布(分布函数或分布律或概率密度)及其主要的数字特征(数学期望EX和方差DX)的研究。

2.简单随机样本

实际中，总体的分布一般是未知的，或者只知道它具有某种形式而其中包含着未知参数，因而在对总体进行研究时，只可能从总体中抽取部分个体来做研究，这样的部分个体称为样本。通过从样本的观察或试验结果的特性对总体的特征作出估计和推断，一方面自然要研究应该怎样从总体中抽取样本，使得样本在尽可能大的程度上反映总体的特征，另一方面必须建立一整套的方法，使得观察者能根据所选取的样本的性质，对总体的特性进行估计与推断。因此，所抽取的样本必须是随机的，即每一个个体都有同等概率被抽到，而且彼此独立，与总体具有相同的分布，从而有以下定义。

定义2称相互独立且与总体X同分布的随机变量X1

，

X2

，…，

Xn

为来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，简称样本。称样本X1

，

X2

，…，

Xn

的一组取值x1

，

x2

，…，xn

为该样本的一组样本值。

设总体X的分布函数为F(x

)，

X1

，

X2

，…，

Xn为来自总体X的一个样本，则X1

，

X2

，…，

Xn的分布函数都是F(x)，从而n维随机变量(X1

，

X2

，…，

Xn

)的联合分布函数为

设总体X的分布律为P(X=x)=p(x)，

X1

，

X2

，…，

Xn为来自总体X的一个样本，则X1

，

X2

，…，

Xn的分布律都是P(Xi=x)=p(x

)，从而n维随机变量(X1

，

X2

，…，

Xn)的联合分布律为

设总体X的概率密度为f(x)，

X1

，

X2

，…，

Xn为来自总体X的一个样本，则X1

，

X2

，…，

Xn的概率密度都是f(x)，从而n维随机变量(X1

，

X2

，…，

Xn)的联合概率密度为

3.经验分布函数

由于总体的分布通常是未知的，因此人们总希望通过样本对总体的分布有比较清晰的掌握，经验分布函数就是基于这种思想的分布函数。

定义3设X1

，

X2

，…，

Xn是来自总体X的一个样本，

x1，

x2

，…，xn

是样本X1

，

X2

，…，

Xn的一组样本值，将其从小到大排列，并重新编号为x(1)≤x(2)≤…≤x(n)，则称函数

为总体X的经验分布函数。

需要指出的是，若在Fn

(x)的定义中将样本值换成对应的样本，则当n固定时，它是一个随机变量，此时仍称之为总体X的经验分布函数。所以用样本值定义的Fn

(x)其实是经验分布函数的观察值，在不致混淆的情况下统称为总体X的经验分布函数。

例6－6设总体X的一组样本值为1、2、3，试求总体X的经验分布函数F3

(x

)。

解

由(6.1.4)式，得

例6－7设总体X的一组样本值为1、1、2，试求总体X的经验分布函数F

3(x)。

解

由(6.1.4)式，得

对于经验分布函数Fn

(x

)，

Glivenko(格里汶科)于1933年证明了以下结论。

定理1对于任意实数x

，当n→∞时，

F

n(x)以概率1一致收敛于总体X

的分布函数F

(x)，即

由定理1知，对于任意实数x，当n充分大时，经验分布函数的任一观察值Fn(x)与总体X的分布函数F(x

)只有微小的差别，从而在实际中可将其当做F(x)使用。

4.统计量

我们知道，通过观察样本或试验结果的特性可以对总体的特征作出估计和推断，但是样本带来的信息是零散的，不系统的，要真正通过样本带来的信息研究总体的特征，就必须对这些信息进行加工、整理，使之系统化，这个过程便引出了统计量的概念。

定义4设X1

，

X2

，…，

Xn

为来自总体X的一个样本，

g

(x1

，

x2

，…，

xn

)为已知连续函数，且g(x1

，

x2

，…，

xn

)中不含总体X的任何未知参数，则称g(X1

，

X2

，…，

Xn

)为总体X的一个统计量。设x1

，

x2

，…，

xn

是样本X1

，

X2

，…，

Xn的一组样本值，则称g(x1

，

x2

，…，

xn

)为统计量g(X1

，

X2

，…，

Xn

)的样本值。

由于样本X1

，

X2

，…，

Xn是随机变量，因此g

(X1

，

X2

，…，

Xn

)是随机变量的函数，从而统计量是一个随机变量。

定义5设X1

，

X2

，…，

Xn为来自总体X的一个样本，

x1

，

x2

，…，

xn是样本X1

，

X2

，…，

Xn的一组样本值，则有如下定义。

(1)样本均值:

样本均值的样本值:

(2)样本方差:

样本方差的样本值:

(3)样本标准差:

样本标准差的样本值:

(4)样本k阶(原点)矩:

样本k阶(原点)矩的样本值:

(5)样本k阶中心矩:

样本k阶中心矩的样本值:

6.2抽样分布

在使用统计量进行统计推断时常常需要知道它的分布，当总体的分布已知时，它的分布是确定的，然而要求出它的精确分布，一般来说是困难的。定义1称统计量的分布为抽样分布。为了研究抽样分布，下面先介绍四大基础分布。

1.四大分布

1)标准正态分布:X~N(0，

1)

在概率论中，标准正态分布作为重要分布已经作了重点讨论，在此需要补充数理统计中重要的上α分位点的概念。

定义2对于给定的正数α(0<α<1)，如果点zα

满足条件

则称点zα为X~N(0，

1)的上α分位点。图6－1

即当n=k+1时，(6.2.2)式成立。故由数学归纳法知，

的概率密度为(6.2.2)式。f(x)的图形如图6－2所示。图6－2图6－3

故T的概率密度为

f(t)的图形如图6－4所示。显然，

f(t)随n发生变化，且f(t)是偶函数，其图形关于t=0对称。当n→∞时，

f(t)趋于标准正态分布的概率密度φ(t

)，即

但当n较小时，

t分布与标准正态分布差异很大。图6－4

定义5对于给定的正数α(0<α<1)，如果点tα(n)满足条件

则称点tα(n)为T~t(n)的上α分位点。

由于0<α<1，因此0<1-α<1，从而有上1-α分位点t

1-α(n)，由t分布的概率密度图的对称性可知t1-α(n)=-tα(n)，如图6－5所示。图6－5

对于不同的α

和n，上α分位点的值已制成表格(见附表4)，可直接查得。例如，对于α=0.025，

n=35，查得t0.025(35)=2.0301。当

n充分大，如n>45时，就用t分布近似于标准正态分布，从而得到tα(n)≈zα

。4)F分布:F~F(n1，

n2

)

的分布为服从参数为(n1

，

n2)的F分布，记为F~F(n1

，

n2)。

f(y)的图形如图6－6所示。图6－6

定义7对于给定的正数α(0<α<1)，如果点Fα(

n1

，

n2

)满足条件

则称点Fα

(n1

，

n2

)为F~F(n1

，

n2

)的上α分位点。

由于0<α<1，因此0<1-α<1，从而有上1-α分位点F1-α(n1

，

n2

)，如图6－7所示。图6－