高中二年级数学《导数的概念及其几何意义（1）》

导数的概念及其几何意义（1）年级：高二学科：数学（人教A版）主讲人：

学校：

问题1高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度问题2抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率问题1解决这两类问题时有什么共性？PARTONE问题1高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度问题2抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率——平均变化率——平均变化率——瞬时变化率——瞬时变化率问题1解决这两类问题时有什么共性？

都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.问题1高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度问题2抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率——平均变化率——平均变化率——瞬时变化率——瞬时变化率问题2一般地，对于函数

y＝f(x)，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点(如

x＝

x0）处的瞬时变化率吗？追问1：为了研究函数

y＝f(x)在

x＝

x0处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率呢？在P0

(1,1)处的切线斜率

问题1高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度问题2抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率——平均变化率——平均变化率——瞬时变化率——瞬时变化率

为了研究函数

y＝f(x)在

x＝

x0处的瞬时变化率，我们可以选取自变量x的一个改变量

，可以是正值，也可以是负值，但不为

0.计算自变量x从x0变化到这个过程中函数值的平均变化率.追问2：自变量

x从

x0变化到

这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？问题1高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度问题2抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率——平均变化率——平均变化率——瞬时变化率——瞬时变化率自变量

x：函数值

y：

函数

y＝f(x)从x0到的平均变化率：函数

y＝f(x)追问3：函数

y＝f(x)在

x＝x0

处的瞬时变化率该如何表示呢？问题1高台跳水运动员的速度瞬时速度问题2抛物线的切线斜率切线斜率——瞬时变化率——瞬时变化率无限趋近于无限趋近于无限趋近于函数

y＝f(x)追问4：当

无限趋近于0时，平均变化率

是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？

这说明当

无限趋近于0时，平均变化率

不一定能无限趋近于一个确定的值.考查f(x)＝|x|在x＝0附近的变化情况.举反例：当时，当时，定义：如果当无限趋近于0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即

有极限，我们称

y＝

f(x)在

x

＝

x0

处可导，并把这个确定的值叫做

y＝

f(x)在

x

＝

x0

处的导数(也称为瞬时变化率)，记作

或.用极限符号表示这个定义，就是导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.问题3

根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？问题1高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度问题2抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率在P0

(1,1)处的切线斜率

实际上，导数可以描述许多运动变化事物的瞬时变化率.比如效率、国内生产总值的增长率等.例1

设

，求分析：因为所以为了便于计算，我们可以先求出

，再对它取极限.例1

设

，求解：问题4

你能总结出求函数

y＝f(x)在

x＝x0

处导数的步骤吗？问题4

你能总结出求函数

y＝f(x)在

x＝x0

处导数的步骤吗？第一步，写出并化简；第二步，求极限，

若存在，则例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.

已知在第

xh时，原油的温度（单位：℃）为

计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.追问1：这个实际问题与导数有什么关系？例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.

已知在第

xh时，原油的温度（单位：℃）为

计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.导数是瞬时变化率的数学表达.追问1：这个实际问题与导数有什么关系？解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是

和所以因为同理，追问2：和在这个实际问题中的意义是什么？

在本题中

是原油温度在时刻

x0的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻x0附近的变化情况.

表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h.这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.追问2：和在这个实际问题中的意义是什么？

表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s）为

y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.追问1：速度与瞬时加速度的关系是什么？瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.解：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是

和所以因为同理，追问2：和在这个实际问题中的意义是什么？

在本题中

是t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在t0时刻附近的变化情况.

表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s.导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势.追问2：和在这个实际问题中的意义是什么？

表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是－6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势.瞬时速度是位移的瞬时变化率，瞬时加速度是速度的瞬时变化率.根据路程关于时间的函数求速度与加速度是一类基本问题，它和求已知曲线的切线这两类问题直接促进了导数的产生.课堂小结知识层面导数的概念；根据定义求给定函数在某点处导数的步骤；应用导数的意义对实际问题进行了分析和解释.思想方法层面运动变化的观点；极限思想.课后作业1.设函数

f(x)