等差数列的前n项和教学设计(金陵中学王友伟)

#/7课题:2.2.3等差数列的前n项和授课教师:南京市金陵中学王友伟教材:苏教版必修5一、教学目标1经历探索等差数列前n项和公式的过程,体会化归、分类讨论等数学思想,掌握倒序相加求和法,积累数学活动的经验;2．理解等差数列前n项和公式及不同形式,能够灵活选用恰当的形式解决问题;二、教学重难点重点:等差数列前n项和公式的推导难点:从图形直观的角度分析等差数列前n项和的公式.三、教学方法与教学手段启发式教学,探究式学习,多媒体辅助教学．四、教学过程1.创设情境,引入课题前面我们学习了数列,研究了一种特殊的数列——等差数列,与学生一起回顾等差数列中的相关知识.等差数列的定义：a"*厂a"=d(nwN)(a1是首项,d是公差,n是项数)等差数列的通项公式;a二Q］+(n—l)d(nwN*,n±2)［设计意图］通过复习,帮助学生梳理知识框架,教会学生掌握研究数学的一般方法,同时为接下来应用基本量分析具体的数列做铺垫(播放阅兵视频)我们能否从数列的视角重新看我们的阅兵队列［设计意图］紧贴时事与生活,在激发学生爱国热情的同时,让学生感受到数学来源于生活,教会学生用数学的眼光来重新观察世界,思考问题.给出视频中的几个队列变化的画面,抽象成点阵如下：★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★J*-iiiifiiiiimnaa:rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr★'★•★«★**★•★«★*★•★•★*★*★•★•如★'★•★•★★•★•★•★★•★•★•★•★•★•★■★•★•#■★*★★】*****★:::rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr*★■•★★★★★妇********************-*★*♦*★★★★★***★★**************匸★**★★**★★*★★★*★★♦*★★★★*★★♦★*★★★★★★★★*★★★*★****★***★♦★*★*♦★★*'rrrrrr*:xisiiiinaminammi"r-rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr-***★-*****f:f,:f,r,rr,:f,r,7T-★-★'★■★•★■★■★■★•★■★■★■★■★'★•★■★■★'★•★•*tfanurt"★★★★★★★★★★★★★★★★J:::?:r:J:r*r::…:;J:I:fI:r:f*'r:"ririr*ri★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★J★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★以第三幅图中的蓝色区域为例,进行研究问题:对于这个方阵,你能用数列的观点发现问题、提出问题吗?［设计意图］让学生尝试着去寻找队列的人数与数列的关系,内化等差数列中的首项、项数、公差等概念,引导学生学会将实际问题中的数量用抽象的数学符号进行描述,进一步培养学生观察的能力,和从实际问题中抽象出数学知识的能力同时,让学生自行提出问题进行研究,感受到研究等差数列的前n项和并不是“心血来潮",而是有据可依.2．探索质询,追根溯源(1)构建研究方法问题2:如何求这个区域的总人数?尝试用多种方法（学生分组讨论,5分钟后小组汇报）S2］=3+4——22+23(预设方案1)从数的角度:3+23=4+22+-=12+143＋23X10+13=2731**¥¥¥***¥¥¥¥**¥******¥¥¥¥**¥¥¥*¥¥¥平竽平竽平早平平¥*竽¥*¥*¥¥*¥・¥¥*平¥¥*¥¥¥¥*¥¥**¥*#1**¥¥¥***¥¥¥¥**¥******¥¥¥¥**¥¥¥*¥¥¥平竽平竽平早平平¥*竽¥*¥*¥¥*¥・¥¥*平¥¥*¥¥¥¥*¥¥**¥*#**¥¥>¥■竽早歎★¥¥¥¥¥¥¥¥★★尢¥¥*¥*★★★★★★舉★★★★★★★★★■★★★★★★★★★★土★★★★★★★★★丈★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★*★★★*从数的角度:3+22=4+21=T2+133+22X10+23=273(预设方案3)从数的角度:S21=3+4+-+22+23S21=23+22+——4+32S21=(3+23)+(4+22)——(22+4)+(23+3)S=3+23S212X21★★★★★★*★★★★★★★★★★★★★★★★辛★★★★★★★★★衣:★★去★★★★★★*★★★★★★★★★★★★★★★★辛★★★★★★★★★衣:★★去★★★★★■★★★★★★■★★■★★★★*★★★★★★*★★★★★★★★★★★★★★★■★■★'★★★★★★★★★丈★★★★★★★★★尢、*★★★★★★★★★■★★★★★£*★★★■★★★★★★★★★★*★★★★£［设计意图］因为很多学生在小学的奥数中已经"学习"了等差数列的前n项和的公式,但是对公式背后的意义并不是非常理解,尤其是对配对的思想更是一知半解,所以这个问题中设定了奇数项的等差数列求和,引导学生发现配对时可能出现不是整数对的情形,也为接下来的奇偶项的讨论和"倒序相加法"做好铺垫.预设方案几何角度:切掉左边的两列S91=2X21+1+2+-+21=2X21+^21X21212预设方案几何角度:切掉左边的三列S21=3X21+1+2+^+20=3X21+(1+20)X10［设计意图］左边设置的常数列,让学生感受到相同的数相加可以转化成乘法,呼应了前面"配对"的思想.在学生已经拥有了"补"的方法后再抛出这一问题,比较自然的引出了"割"这样的方法,培养学生学会从几何角度给出不同的解释,也为等差数列前n项和的第二种形式的推导做铺垫.［设计意图］这一环节的设计,让学生充分感受到可以从数和形两个角度对一个等差数列进行求和,经历自行动手推导的过程,感受配对思想在计算中的带来的便捷,同时感受到可以使用“割”“补”方法对其进行分析计算,为接下来探求一般的等差数列｛an｝的前n项和奠定基础.(2)自主探究汇报交流问题3:如何推导出等差数列｛a^的前n项之和Sn的公式追问:对于一个数列,已知哪些量可以求和?已知a,a,n；1n已知a1,d,n.追问：已知a.,a,n,如何推出？1n小组讨论,分钟后小组汇报预设方案S+...+a’+a,①TOC\o"1-5"\h\zn12n－1nS=a+a’+...+a^+a,②nnn－121①+②相加得:2S=(a,+a)+(a2+a,)+.+(a+a,)=n(a,+a),12－111n(a+a)所以S=12.n2预设方案S=a+a+.+a+a\o"CurrentDocument"12－1n为偶数时,Sn=(a1+an)+(a2+a^1)+=(a1+an)2=―n为奇数时,S=(a,+a)+(a2+a,)+…+a_n1n2n—1n+1

/,、n—1|(a1+a丿—(a1+an)^T+2二n(aj+a")—2［阶段总结］我们运用倒序相加法得到了等差数列前n项和的公式,其中的配对思想就是数学中的化归思想,将不同的数转化成相同的数相加,从而可以将加法转化为成为进行计算.［设计意图］研究完具体数列的求和后,让学生将掌握的方法迁移到一般的等差数列｛an｝中,继续内化“倒序相加法",并用最后两个追问让学生真正理解为何要配对,为何能配对(要证明).追问:已知a1,d,n,如何推出？预设方案Sn=a]+(a]+d)+(a]+2d)+...+[a]+(n—1)d]=nd]+[1+2+…+(n—1)]d_,n(n-1)—na】+2d追问:能否找到几何解释所对应的图形［阶段总结］我们运用"切割法"(分组求和)的方法得到了等差数列前n项和的公式的另外一种形式,其中d+2d+3d+..+(n-1)d还是化归成了1+2++(n—1)的问题.［设计意图］从"割"的角度给出了公式的形象化解释,也让学生感受到等差数列的求和问题其实就可以划归为"1+2+……+n"的问题,体现出了化归的思想.追问:两个公式等价吗?［设计意图］通过这一问题,让学生观察两个公式的特点,进而发现两公式的区别,即公式①中出现a,而公式②中出现d,为后面选择恰当的公式解决问题做好n铺垫.同时,也让学生感受到公式①中的a是由a.和d决定的,体会a.和d两个n11基本量的地位与作用.追问:对比几种推导S的方法,你觉得哪种方法简洁?n［设计意图］让学生重新回顾几种推导方法,经过对比发现,前几种配对的方法中,最简约的是倒序相加法,而已知a,,d,n推导S的方法其实归根结底就是11n+2+.+n的问题,而1+2+...+n问题最简约的解法还是倒序相加法.经过这样的分析,让学生明白,推导公式其实还是为了追求简约,追求简约是数学研究的一大基本原则3.新知运用,巩固深化例1在等差数列｛a｝中,前n项之和为Snn(1)已知a1—2,a30—90,求S;(2)已知。］=5,d=3,求S12［设计意图］通过例题,让学生巩固公式,会根据题设条件合理地选用公式.通过追问,让学生体会n,a1,d,a,S这五个量,可以知三求二,从而加深学生对1nn公式的理解与运用.同时,对于公式的选择,其原则还是追求简约例2求出下列各区域的总人数.★★♦★tiw***************************************T********************************************amai^****************************★★♦★tiw***************************************T********************************************amai^****************************

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