晶体的比热课件

晶体的比热一．概述

定容比热的定义为单位质量的物质在定容过程中，温度升高一度时，系统内能的增量，即晶体的运动能量包括晶格振动能量Ul和电子运动能量Ue这两种运动能量对比热的贡献分别以Cυl(晶格比热)和Cυe(电子比热)来表示。除极低温下金属中的电子比热相对较大外，通常Cυl>>Cυe,所以本章仅讨论晶格比热Cυ＝Cυl＝C。=------------晶格振动能量为3NS个量子谐振子能量之和=(+)ωi由格波态密度函数g(

)定义，上式也可写成为

(3-67)其中

m为截止频率，且有g(ω)dω=3NS则定容比热为把式（3－58’）(3-68)代入上式得到∴关键和难点是求出

(3-48)二.Einsten模型假定晶体中所有原子都以相同频率独立地振动。3NS个原子组成的晶体振动内能U(T)

(3-70)则比热Cv为式中的频率

还是个待定的量。为了确定

，引入爱因斯坦温度

E,定义

＝

E＝KB

E则比热成为

E和温度T的函数(3-71)

在Cv显著变化的温度范围内，使比热的理论曲线尽可能好地与实验曲线拟合，从而确定爱因斯坦温度

E。

对于大多数固体，

E在100～300K

范围。

#014三、Debye模型把晶体视为各向同性的连续弹性媒质。设晶体是N个初基元胞组成的三维单式各子(s＝1),仅有3支声学格波。并设它们的波速都相同。因而三支格波的色散关系均是线性的

＝

pq等能面为球面

由式（3－48）可得格波态密函数：

＝3··

(3-72)代入式（3－68）(3-73)式中截止频率

m又称为德拜频率，记为

D,它由格波总数等于3N来确定：(3-74)得求得

D3＝（6NVp3）/V(3-75)引入德拜温度

D

D＝KB

D作变量代换当时式（3－73）可改写成(3-76)德拜温度

D往往由实验确定。在不同的温度下使Cv的理论值与实验值相符，从而确定

D。又由(3-75)式四、实验和理论的比较

(一)、实验定律

1.杜隆-珀替定律：对确定的材料，高温下的比热为常数，摩尔热容为3R（R为气体普适常数）。2.德拜定律：低温下的固体比热与T3

成正比。（二）高温情况1.与爱因斯坦模型比较

高温时<<1，当x<<1时，ex

1+x，

则式（3－71）其中的式（3－71）成为Cv＝3NSKB若所考查的晶体为一摩尔同元素的物质，则NS=N0（N0为阿伏伽德罗常数），Cv=3N0KB=3R，即在高温下Einsten模型符合杜隆－珀替定律。2.与德拜定律比较

类似以上处理，式（3－76）而其中的所以式（3－76）成为

若所考察的晶体为一摩尔物质，则N＝N0，

Cv＝3N0KB＝3R即在高温下Debye模型也与杜隆－珀替定律符合。（三）低温情况低温时>>1，>>1,式（3－71）即成为

1.与爱因斯坦模型比较T

0时，Cv以指数形式很快趋于零，在变化趋势上与实验符合。T

0时，Cv

0是当年长期困扰物理界的疑难问题，所以爱因斯坦理论对这个问题的解决是量子论的一次胜利。（体现在使用了谐振子能量的量子力学表示上）但爱因斯坦模型求出的Cv随温度的下降速度比T3规律要快，可见爱因斯坦模型在定量上并不适用于低温情况。2.与德拜模型比较式中的积分上限可近似取为无穷大，则积分成为(3-77)低温下

D/T>>1，式（3－76）即Cv

T3，与德拜实验定律相符合。（3－77‘）（四）两种模型与实验结果符合或偏

离的原因分析1.高温情况晶体内能（与温度有关部分）＝晶格振动能＝已激发格波的能量之和：(3-78)

T↑↑时<<1，

＝（1＋－1）－1＝

(3-59)随着温度的升高，各格波的平均声子数会增多。温度足够高时，所有格波都已充分激发。此时(略去零点能)晶体振动能

=·

ωi＝3NSKBT该结果也表明3NS个格波均激发，每个格波的能量均为KBT。求Cv关心的是内能与温度T的关系，现在与无关，即不同频率的格波的能量相同，所以如何设的分布已无关紧要。另外，一般情况下，光学格波的范围较窄，在讨论光学格波时可近似设＝E。到此请注意理解：高温时，两种模型都假定全部格波均已充分激发，尽管两个模型对格波频率及其分布作了不同的假设，但在高温下各模型都趋于经典极限。在经典物理中，每个简谐振子满足能量按自由度均分定理，每个自由度都有相同的平均动能＝1/2×KBT（＝平均势能）,则每个谐振子的能量＝KBT。2.低温情况（1）.关于爱因斯坦模型定性地认为只有

i

（KBT/）的那些格波在温度T时才激发，只有这些已激发的格波才对比热有实际贡献；而

i

（KBT/）的格波被“冻结”，对比热无贡献。在爱因斯坦模型中，假设晶格中所有原子均以相同频率独立地振动，即设不论在什么温度下所有格波激发，显然与实际不符，这就是低温下爱因斯坦模型定量上与实验不符的原因。（2）关于德拜模型

德拜模型考虑了格波的频率分布,把晶体当作弹性连续介质来处理的。低温情况下，温度越低，能被激发的格波频率也越低，对应的波长便越长，而波长越长，把晶体视为连续弹性介质的近似程度越好。即温度越低，德拜模型越接近实际情况。实际上，Cv∝T3的规律对不同晶体只适用于大约T

（～）

D，也就是绝对温度几度以下的极低温度范围。

由上所述可知，高温下两种模型都是正确的，但相对而言，爱因斯坦模型要更简单、更方便些，因此在高温下多用爱因斯坦模型，低温下则应用德拜模型。一般温度下，有时可较粗糙地近似处理为：对光学支－－用Einsten模型（因为光学支较窄）；声学支－－用Debye模型（因为声学支包括低频段）五.关于德拜温度的讨论

1.由以上讨论可知：

E－－－基本上是格波的最可几频率；

D－－－格波的截止频率；

D>

E，相应的

D>E

2.由格波的能量的量子表示

当T＝

D

时，＝

D的格波的平均声子数＝0.6，－－－刚被激发。当T<

D

时，某些声子被“冻结”，对比热无贡献；而经典理论认为，每个格波均有能量KBT,均对比热有贡献。德拜温度

D

成为利用经典或量子理论解释比热现象的分界线。3.林德曼公式

式中：C：常数（115～140）；

TM：熔点/K；A：原子量；