高等代数教学课件

高等代数教学课件目录第一章线性方程组与矩阵基础线性方程组的解法与判别数域的定义与例子行列式的定义、性质与计算第二章线性空间与线性映射线性空间的定义与公理线性相关性与线性无关组基与维数的概念线性映射的性质与表示第三章多项式与环论基础多项式环的定义与性质多项式的不可约性环的基本概念欧几里得整环与唯一分解环第四章群论与域论概述群的定义与基本性质群的同态与同构域的定义与扩张Galois理论简介第一章线性方程组与矩阵基础线性方程组的解法线性方程组是高等代数研究的基本对象，解决线性方程组是理解更高级抽象代数概念的基础。对于一般形式的线性方程组：主要解法包括：矩阵消元法与初等行变换：通过对增广矩阵进行行变换，将其化为阶梯形或简化阶梯形解的情况分析：根据阶梯形矩阵判断方程组有无解、唯一解或无穷多解增广矩阵阶梯形与解的判别：结合系数矩阵的秩与增广矩阵的秩进行判断线性方程组解的判别条件秩与解的关系对于线性方程组AX=b，设系数矩阵A的秩为r，增广矩阵(A|b)的秩为r'，未知数个数为n。则：当r'>r时，方程组无解当r'=r时，方程组有解，且：若r=n，则方程组有唯一解若r<n，则方程组有无穷多解，且通解中含有n-r个任意常数阶梯形判别法将增广矩阵化为阶梯形后：若出现形如(0,0,...,0|k)（其中k≠0）的行，说明方程组无解若不出现上述情况，且主元个数r=n，则方程组有唯一解若不出现上述情况，且主元个数r<n，则方程组有无穷多解解空间维数当线性方程组有解时，其解空间的维数等于n-r，其中n为未知数个数，r为系数矩阵的秩。例如，对于三元线性方程组，若系数矩阵的秩为2，则解空间维数为3-2=1，表示解可以用一个参数表示。矩阵初等行变换示意图矩阵的初等行变换是求解线性方程组的基础工具，它们保持方程组解集不变，同时能将复杂的矩阵转化为更简单的形式。行交换将矩阵的第i行与第j行互换位置。这相当于交换方程组中的两个方程的位置，不改变方程组的解。行倍乘用非零常数k乘矩阵的第i行。这相当于将方程组中的某个方程两边同乘以一个非零常数，不改变方程的解。行加法将矩阵第j行的k倍加到第i行上。这相当于将方程组中某个方程加上另一个方程的倍数，不改变方程组的解。数域的定义与例子数域是高等代数中最基本的代数结构之一，它为我们研究线性空间、多项式等提供了基础。数域K的定义数域K是一个集合，满足：对于任意a,b∈K，有a+b∈K和a×b∈K（加法和乘法的封闭性）加法和乘法满足交换律、结合律、分配律存在加法单位元0和乘法单位元1，且0≠1对每个a∈K，存在-a∈K使得a+(-a)=0对每个非零元素a∈K，存在a⁻¹∈K使得a×a⁻¹=1常见数域示例有理数域Q：所有可以表示为p/q（其中p,q是整数且q≠0）的数构成的集合。实数域R：包含所有有理数和无理数的集合。复数域C：形如a+bi的数的集合，其中a,b∈R，i²=-1。复数域的运算封闭性证明简述对于复数z₁=a+bi和z₂=c+di：加法：z₁+z₂=(a+c)+(b+d)i∈C乘法：z₁×z₂=(ac-bd)+(ad+bc)i∈C复数域中的其他公理也可类似验证。行列式的定义与性质n阶行列式的排列定义对于n阶方阵A=(aᵢⱼ)，其行列式定义为：其中，Sₙ是{1,2,...,n}的所有排列的集合，σ表示一个排列，sgn(σ)表示排列σ的符号。逆序数与符号排列σ=(σ₁,σ₂,...,σₙ)中，若σᵢ>σⱼ且i<j，则称(σᵢ,σⱼ)构成一个逆序。逆序的总数称为排列的逆序数，记为τ(σ)。排列的符号定义为：sgn(σ)=(-1)^(τ(σ))，即当逆序数为偶数时取+1，为奇数时取-1。行列式计算示例行列式的重要性质转置性质矩阵的转置不改变行列式值：|A^T|=|A|线性性质行列式对矩阵的行（或列）具有线性性质。若将A的第i行的k倍加到第j行，得到矩阵B，则|B|=|A|行列式展开定理行列式可以按任意行或列展开：|A|=∑ₖaᵢₖ·Aᵢₖ，其中Aᵢₖ是代数余子式乘法性质矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积：|AB|=|A|·|B|二阶行列式示例二阶行列式是最简单的非平凡行列式，其计算公式为：这个公式可以通过排列定义直接导出：考虑所有2阶排列：(1,2)和(2,1)排列(1,2)的逆序数为0，符号为+1排列(2,1)的逆序数为1，符号为-1代入定义得到：a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁二阶行列式的几何意义二阶行列式|A|的绝对值表示由矩阵A的两个列向量为邻边构成的平行四边形的面积。行列式非零与线性方程组唯一解的关系对于二阶线性方程组：当且仅当行列式|A|≠0时，方程组有唯一解。二阶行列式的几何解释：两个列向量构成的平行四边形面积我们可以用克拉默法则来求解二阶线性方程组：其中|A₁|是将A的第一列替换为b后的行列式，|A₂|是将A的第二列替换为b后的行列式。在计算机图形学中，二阶行列式常用于计算三角形面积、判断点是否在三角形内部等问题。行列式的计算技巧按行（列）展开法行列式可以按任意行或列展开计算：其中Mᵢⱼ是余子式，Aᵢⱼ=(-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ是代数余子式。技巧：选择含零元素最多的行或列进行展开，可以减少计算量。利用初等变换简化计算通过行（列）变换将行列式化简后再计算：交换两行（列）：行列式变号用数k乘某一行（列）：行列式变为原来的k倍某行（列）的k倍加到另一行（列）：行列式值不变技巧：利用初等变换将行列式化为上（下）三角形，然后计算主对角线元素的乘积。特殊行列式的计算某些特殊形式的行列式有简便计算公式：三角形行列式：主对角线元素的乘积范德蒙德行列式：Π(xᵢ-xⱼ)，其中1≤j分块行列式：当分块矩阵中有零块时可简化计算克莱姆法则应用对于n个方程n个未知数的线性方程组AX=b，若|A|≠0，则：其中Aⱼ是用b替换A的第j列得到的矩阵。克莱姆法则在理论推导中很有用，但对于高阶方程组，高斯消元法通常更高效。第二章线性空间与线性映射本章将介绍线性空间的基本概念、线性相关性、基与维数等核心内容，以及线性映射的理论与应用。线性空间的定义线性空间（又称向量空间）是高等代数中最基本的代数结构之一，它抽象出了向量加法和数乘的基本性质。线性空间的形式定义设V是一个非空集合，K是一个数域。若在V上定义了加法运算"+"和数乘运算"·"，满足以下条件：对加法运算：封闭性：∀α,β∈V，有α+β∈V交换律：∀α,β∈V，有α+β=β+α结合律：∀α,β,γ∈V，有(α+β)+γ=α+(β+γ)零元素：∃0∈V，使得∀α∈V，有α+0=α负元素：∀α∈V，∃-α∈V，使得α+(-α)=0对数乘运算：封闭性：∀k∈K，α∈V，有k·α∈V单位元：∀α∈V，有1·α=α结合律：∀k,l∈K，α∈V，有k·(l·α)=(k·l)·α分配律1：∀k∈K，α,β∈V，有k·(α+β)=k·α+k·β分配律2：∀k,l∈K，α∈V，有(k+l)·α=k·α+l·α则称V是数域K上的线性空间，记为(V,K)，简称V是K-线性空间。V中的元素称为向量。线性空间的典型例子1.欧氏空间R^n所有n维实数向量构成的集合，其中加法和数乘定义为：2.矩阵空间M_{m,n}(K)所有m×n矩阵构成的集合，加法和数乘按矩阵运算规则进行。3.多项式空间P_n(K)次数不超过n的多项式集合，加法和数乘按多项式运算规则进行。4.函数空间C[a,b]区间[a,b]上所有连续函数构成的集合，加法和数乘按函数运算规则进行。线性相关与线性无关向量组的线性组合设α₁,α₂,...,αₙ是线性空间V中的n个向量，k₁,k₂,...,kₙ是数域K中的n个数，则：称为向量组α₁,α₂,...,αₙ的一个线性组合。系数k₁,k₂,...,kₙ称为这个线性组合的系数。线性相关的定义如果存在不全为零的系数k₁,k₂,...,kₙ∈K，使得：则称向量组α₁,α₂,...,αₙ线性相关。通俗理解：某些向量可以用其他向量的线性组合表示。线性无关的定义如果仅有当系数k₁=k₂=...=kₙ=0时，等式：才成立，则称向量组α₁,α₂,...,αₙ线性无关。通俗理解：任何一个向量都不能用其余向量的线性组合表示。线性相关性的判别方法方法一：定义法构造方程组k₁α₁+k₂α₂+...+kₙαₙ=0，求解系数k₁,k₂,...,kₙ。若有非零解，则线性相关；若只有零解，则线性无关。方法二：矩阵秩法将向量组α₁,α₂,...,αₙ排列成矩阵A的列向量，判断矩阵的秩r(A)。若r(A)=n，则线性无关；若r(A)<n，则线性相关。极大线性无关组与秩的概念从向量组中选出的线性无关的向量的最大个数称为该向量组的秩。这样的线性无关向量组称为原向量组的一个极大线性无关组。极大线性无关组具有以下性质：它是线性无关的向量组中的任何向量都可以用它的线性组合表示它的向量个数等于向量组的秩线性无关向量（左）和线性相关向量（右）的直观表示。当向量线性相关时，某些向量可以表示为其他向量的线性组合。线性映射基础线性映射的定义设V和W是数域K上的两个线性空间，如果映射f:V→W满足：对于任意α,β∈V，有f(α+β)=f(α)+f(β)（加法保持性）对于任意α∈V，k∈K，有f(kα)=kf(α)（数乘保持性）则称f为从V到W的线性映射（又称线性变换）。线性映射的性质保持零向量：f(0)=0保持线性组合：f(k₁α₁+k₂α₂+...+kₙαₙ)=k₁f(α₁)+k₂f(α₂)+...+kₙf(αₙ)保持线性相关性：若向量组{α₁,α₂,...,αₙ}线性相关，则{f(α₁),f(α₂),...,f(αₙ)}也线性相关核与像的概念核（Kernel）：线性映射f:V→W的核是V中映射到W的零向量的所有向量的集合：像（Image）：线性映射f:V→W的像是V中所有向量通过f映射后得到的向量的集合：线性映射可以将一个空间中的向量映射到另一个空间中，保持向量的线性组合关系。线性映射的矩阵表示设V是n维线性空间，W是m维线性空间，f:V→W是线性映射，E={e₁,e₂,...,eₙ}是V的一组基，F={f₁,f₂,...,fₘ}是W的一组基。若f(eⱼ)在基F下的坐标为(a₁ⱼ,a₂ⱼ,...,aₘⱼ)，则矩阵：称为线性映射f在基E和F下的矩阵表示。线性映射的核和像都是线性子空间，且满足维数定理：dimV=dimKer(f)+dimIm(f)。这一关系揭示了线性映射的核与像之间的深刻联系。线性映射的可逆性可逆映射的定义线性映射f:V→W称为可逆（或同构），如果存在线性映射g:W→V，使得：其中，I_V和I_W分别是V和W上的恒等映射。映射g称为f的逆映射，记为f^{-1}。可逆映射的判别条件线性映射f:V→W可逆的充要条件是：f是单射（Ker(f)={0}）f是满射（Im(f)=W）当V和W的维数相同时，上述两个条件等价，即：矩阵表示下的可逆性设A是线性映射f在基下的矩阵表示，则：f可逆⟺A可逆若f可逆，则f^{-1}的矩阵表示为A^{-1}矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0或r(A)=n（n为A的阶数）。线性空间同构的意义两个线性空间同构意味着它们在代数结构上是"相同的"。具体来说：它们的维数相同可以建立一一对应关系，保持线性运算一个空间中的线性问题可以转化为另一个空间中的对应问题例如，所有n维线性空间都与R^n同构，这使得我们可以将抽象的线性空间问题转化为具体的R^n中的问题。理解线性映射的可逆性对于解决实际问题至关重要。例如，在解线性方程组Ax=b时，只有当矩阵A可逆时，方程组才有唯一解x=A^{-1}b。线性映射示意图向量空间之间的映射关系线性映射f:V→W将一个线性空间V中的向量映射到另一个线性空间W中，保持向量的线性组合关系。从几何角度看，线性映射可以理解为空间的伸缩、旋转、投影等变换的组合。例如：投影映射：将高维空间的向量投影到低维子空间上旋转映射：在同一空间内旋转向量方向，保持长度不变伸缩映射：改变向量的长度，保持方向不变或相反线性映射是高等代数中最基本的工具之一，它使我们能够研究不同线性空间之间的关系，为更高级的数学概念如张量和流形奠定基础。核与像的几何解释核（Kernel）的几何意义：核是原空间V中映射到零向量的所有向量构成的子空间。从几何上看，核是线性映射的"坍缩方向"，核中的向量在映射后都变成零向量，丢失了信息。像（Image）的几何意义：像是目标空间W中能够通过线性映射f得到的所有向量构成的子空间。从几何上看，像是原空间V经过线性映射后"覆盖"的区域。维数定理dimV=dimKer(f)+dimIm(f)表明，原空间的维数等于核的维数与像的维数之和。这意味着，线性映射在核的方向上"坍缩"了空间，同时保持了与核互补的子空间的维数。在量子力学中，线性算子的核与像对应于物理系统的某些重要性质。例如，哈密顿算子的核对应于系统的基态，而其像则与系统可能的能量状态有关。第三章多项式与环论基础本章将介绍多项式环的基本概念、多项式的不可约性以及环论的基础理论，包括理想、素理想和欧几里得整环等内容。多项式环的定义多项式的形式定义设K是一个数域，一个K上的多项式是形如：的表达式，其中a₀,a₁,...,aₙ∈K称为多项式的系数，n称为多项式的次数（当aₙ≠0时）。所有K上的多项式构成的集合记为K[x]，它在多项式的加法和乘法运算下构成一个多项式环。多项式的加法与乘法加法：对于多项式f(x)=Σaᵢxⁱ和g(x)=Σbᵢxⁱ，它们的和定义为：乘法：对于多项式f(x)=Σaᵢxⁱ和g(x)=Σbᵢxⁱ，它们的积定义为：这相当于按照普通代数的乘法法则，将各项相乘后合并同类项。多项式环的基本性质单位元：常数多项式1是乘法单位元零因子：K[x]中没有零因子，即若f(x)·g(x)=0，则f(x)=0或g(x)=0交换性：对任意f(x),g(x)∈K[x]，有f(x)·g(x)=g(x)·f(x)次数性质：deg(f·g)=deg(f)+deg(g)，其中deg表示多项式的次数多项式环的代数结构多项式环K[x]是一个：整环：有单位元且无零因子的交换环欧几里得整环：存在多项式的带余除法主理想整环：每个理想都是由一个元素生成的唯一分解整环：每个非零非单位元素都可以唯一地分解为不可约元素的乘积多项式环是代数学中最基本的研究对象之一，它不仅本身具有丰富的结构，还为研究其他代数结构提供了重要工具。例如，环的同构定理、域的扩张等概念都与多项式环密切相关。多项式的不可约性不可约多项式的定义设f(x)∈K[x]是次数大于0的多项式，如果f(x)不能在K[x]中被分解为两个次数较低的多项式的乘积，则称f(x)在K上不可约。形式上，若f(x)=g(x)·h(x)意味着g(x)或h(x)必有一个是K中的常数（单位元），则f(x)不可约。判别不可约的常用方法艾森斯坦（Eisenstein）判别法：设f(x)=a₀+a₁x+...+aₙxⁿ∈Z[x]，若存在素数p满足：则f(x)在有理数域Q上不可约。p|aᵢ(i=0,1,...,n-1)p∤aₙp²∤a₀辗转相除法：对于低次多项式，可以尝试用辗转相除法找到可能的因式。代数整数性质：若多项式f(x)∈Z[x]在模p意义下有不可约因式，且次数与f(x)相同，则f(x)在Q上不可约。各数域上的不可约多项式复数域C上：每个次数大于0的多项式都可以分解为一次因式的乘积，因此在C上只有一次多项式不可约。实数域R上：不可约多项式只有一次式和无实根的二次式。有理数域Q上：不可约多项式种类繁多，例如：x²-2（无有理根）x²-3（无有理根）x³-2（利用Eisenstein判别法可证不可约）不可约多项式的重要性不可约多项式在代数学中扮演着类似素数在整数理论中的角色：是构造域扩张的基础是理解多项式环结构的关键在代数方程的求解理论中有重要应用典型例题解析例题1：证明多项式f(x)=x³-3x+1在Q上不可约。解析：若f(x)可约，则f(x)必有一个一次因式，即f(x)有有理根。根据有理根定理，若有理数p/q（最简形式）是f(x)的根，则p|1且q|1，即可能的有理根只有±1。代入检验：f(1)=1-3+1=-1≠0，f(-1)=-1-3-1=-5≠0故f(x)无有理根，在Q上不可约。例题2：利用Eisenstein判别法证明x⁵+10x+5在Q上不可约。解析：取素数p=5，则：5|10（系数10）5|5（常数项5）5∤1（最高次项系数1）5²=25∤5（常数项5）满足Eisenstein判别法的条件，故x⁵+10x+5在Q上不可约。不可约多项式在数域上的几何表示。不同数域上，同一多项式的可约性可能不同。环的基本概念环的定义与例子一个环(R,+,·)是一个集合R，在R上定义了两个二元运算"+"和"·"，满足以下条件：(R,+)是一个交换群，即加法满足交换律、结合律，存在加法单位元0和每个元素的加法逆元乘法满足结合律：∀a,b,c∈R，(a·b)·c=a·(b·c)乘法对加法满足分配律：∀a,b,c∈R，a·(b+c)=a·b+a·c和(a+b)·c=a·c+b·c若乘法满足交换律，则称R为交换环。若存在乘法单位元1，则称R为有单位元的环。环的例子：整数环Zn×n矩阵环M_n(K)多项式环K[x]函数环C(X)（X上的连续函数集合）理想、素理想与极大理想理想：环R的子集I称为理想，如果：(I,+)是(R,+)的子群∀a∈I,r∈R，有r·a∈I和a·r∈I（对乘法封闭）素理想：交换环R的理想P称为素理想，如果：P≠R若a·b∈P，则a∈P或b∈P极大理想：环R的理想M称为极大理想，如果：M≠R不存在真包含M的真理想，即若M⊆I⊊R，则I=M环论是研究代数结构的重要分支，它将整数、多项式等结构的共同特性抽象出来，形成统一的理论框架。商环的构造与性质设R是环，I是R的理想，定义关系"～"：这是一个等价关系，将R划分为不相交的等价类。所有等价类构成的集合记为R/I，称为R模I的商环。商环的重要性质：若I是素理想，则R/I是整环若I是极大理想，则R/I是域自然映射π:R→R/I是环同态，且Ker(π)=I商环在代数结构的研究中有重要应用，例如构造有限域、研究多项式的因式分解等。环论是现代代数学的重要分支，它不仅在纯数学中有深刻应用，也在密码学、编码理论等领域发挥重要作用。例如，RSA加密算法的基础就是基于整数环中的素数理论。欧几里得整环与唯一分解环整环的定义一个整环是指没有零因子的交换环，即若ab=0，则a=0或b=0。整环中的元素之间的乘法运算类似于整数的乘法，没有信息的丢失。整环的例子包括整数环Z、多项式环K[x]、高斯整数环Z[i]等。欧几里得整环的定义一个整环R称为欧几里得整环，如果存在一个函数δ:R\{0}→N（称为次数函数），满足：对于任意非零元素a,b∈R，有δ(ab)≥δ(a)对于任意非零元素a,b∈R，存在q,r∈R，使得a=bq+r，且r=0或δ(r)<δ(b)第二个条件称为带余除法，它是欧几里得算法的基础。唯一因子分解定理一个唯一分解整环（也称为唯一因子分解整环）是指满足以下条件的整环：每个非零非单位元素都可以写成有限个不可约元素的乘积这种分解在忽略单位元和因子顺序的意义下是唯一的欧几里得整环都是唯一分解整环，但反之不一定成立。欧几里得算法在欧几里得整环中，可以通过辗转相除法计算两个元素的最大公因子（gcd）：设要计算gcd(a,b)，不妨设δ(a)≥δ(b)若b=0，则gcd(a,b)=a否则，使用带余除法：a=bq+r则gcd(a,b)=gcd(b,r)重复步骤2-4，直到余数为0这种算法在计算整数或多项式的最大公因子时非常有用。典型例子1.整数环Z整数环是最基本的欧几里得整环，其次数函数可以定义为δ(n)=|n|。带余除法就是普通的整数除法取余。在Z中，不可约元素就是素数。根据算术基本定理，每个大于1的整数都可以唯一地分解为素数的乘积。2.多项式环F[x]域F上的多项式环F[x]是欧几里得整环，其次数函数就是多项式的次数。带余除法就是多项式的长除法。在F[x]中，不可约多项式扮演着类似素数的角色。每个非零多项式都可以唯一地分解为不可约多项式的乘积。3.高斯整数环Z[i]高斯整数是形如a+bi的复数，其中a,b∈Z。高斯整数环是欧几里得整环，其次数函数可以定义为δ(a+bi)=a²+b²（即模的平方）。欧几里得算法是计算两个元素最大公因子的经典方法，在整数和多项式计算中都有广泛应用。非唯一分解环的例子整环Z[√-5]={a+b√-5|a,b∈Z}不是唯一分解环。例如：可以证明2,3,(1+√-5)和(1-√-5)都是不可约元素，但它们的乘积得到了相同的元素6，违反了唯一分解性。这个例子说明，整环的结构比我们通常接触的整数环复杂得多，唯一分解性并不是所有整环都具有的性质。第四章群论与域论概述本章将介绍群的基本概念与性质、群同态与同构理论，以及域的定义、扩张和Galois理论简介等内容。群的定义与基本性质群的形式定义一个群(G,·)是一个非空集合G与一个二元运算"·"，满足以下公理：封闭性：∀a,b∈G，有a·b∈G结合律：∀a,b,c∈G，有(a·b)·c=a·(b·c)单位元：∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a=a·e=a逆元：∀a∈G，∃a⁻¹∈G，使得a·a⁻¹=a⁻¹·a=e若对群G中的任意元素a,b还满足a·b=b·a，则称G为交换群（或阿贝尔群）。交换群与非交换群交换群的例子：整数加群(Z,+)有理数乘群(Q\{0},×)n阶循环群(Z_n,+)非交换群的例子：一般线性群GL(n,R)（n×n可逆矩阵构成的群）对称群S_n（n个元素的所有排列构成的群，n>2）二面体群D_n（正n边形的对称变换群）群论研究的是对称性的数学，不同的对称型对应不同的群结构。子群与生成元子群：群G的非空子集H称为G的子群，如果：H对群运算封闭单位元e∈H∀h∈H，有h⁻¹∈H子群可以用符号H≤G表示。生成元：如果群G中的元素a₁,a₂,...,aₙ的所有可能的乘积（包括取逆元和重复使用）可以生成G中的所有元素，则称a₁,a₂,...,aₙ是G的一组生成元，记为G=⟨a₁,a₂,...,aₙ⟩。特别地，如果一个群可以由单个元素生成，即G=⟨a⟩，则称G为循环群。循环群一定是交换群。1拉格朗日定理若H是有限群G的子群，则H的阶（元素个数）整除G的阶，即：子群H的指数[G:H]=|G|/|H|等于G中不同左陪集（或右陪集）的个数。2陪集分解给定群G和其子群H，可以将G分解为H的左陪集（或右陪集）的不相交并：其中a₁,a₂,...,aₙ是G中不同左陪集的代表元。3正规子群若子群H满足对任意g∈G，有gHg⁻¹=H，则称H为G的正规子群，记为H◁G。正规子群是定义商群的基础。所有交换群的子群都是正规子群。群的同态与同构群同态定义设G和H是两个群，映射φ:G→H称为从G到H的群同态，如果：也就是说，φ保持群的运算结构。如果φ同时是单射和满射，则称φ为群同构，记为G≅H。同构的群在代数结构上是"相同的"。群同态的其他特殊情况：单同态：φ是单射的群同态满同态：φ是满射的群同态自同态：从群到自身的同态，即φ:G→G自同构：从群到自身的同构，即φ:G→G是双射核与像的关系群同态φ:G→H的核（kernel）定义为：其中e_H是H的单位元。群同态φ:G→H的像（image）定义为：核与像具有以下重要性质：Ker(φ)是G的正规子群Im(φ)是H的子群若φ是满同态，则G/Ker(φ)≅H群同态将一个群的结构映射到另一个群中，保持群运算的特性。同构的群在代数结构上是等价的。第一同构定理简述设φ:G→H是群同态，则：这意味着原群G除以同态的核得到的商群，与同态的像是同构的。这个定理揭示了群同态、核、像和商群之间的深刻联系，是群论中最重要的基本定理之一。同构的意义两个群同构意味着它们具有相同的代数结构，只是元素的"名称"不同。同构群具有完全相同的性质：阶相同子群结构相同元素的阶相同交换性质相同例如，循环群Z_n与n次单位根构成的乘法群同构。群同态在许多数学分支中都有重要应用。例如，在拓扑学中，同调群之间的同态可以用来研究空间的拓扑性质；在表示论中，群到线性变换群的同态可以用来研究群的结构。域的定义与扩张域的基本性质一个域(F,+,·)是一个集合F与两个二元运算"+"和"·"，满足：(F,+)是一个交换群，单位元记为0(F\{0},·)是一个交换群，单位元记为1乘法对加法满足分配律：∀a,b,c∈F，a·(b+c)=a·b+a·c域是最完备的数系结构，在其中可以进行四则运算（除以0外）。常见的域包括有理数域Q、实数域R、复数域C和有限域GF(q)。域扩张的概念如果域K是域F的子集，且K中的加法和乘法与F中的运算一致，则称K是F的子域，F是K的扩域，记为K⊆F。常见的域扩张例子有Q⊆R⊆C。给定域K和元素α∉K，可以构造包含K和α的最小的域，记为K(α)，称为由α对K的简单扩张。代数扩张与超越扩张设F是域K的扩域，α∈F。如果存在K上的非零多项式f(x)，使得f(α)=0，则称α是K上的代数元；否则称α是K上的超越元。如果F中的每个元素都是K上的代数元，则称F是K的代数扩张；否则称为超越扩张。例如，√2是Q上的代数元，而π是Q上的超越元。扩张的次数设F是域K的扩域，则F可以视为K上的线性空间。如果这个线性空间的维数是有限的，则称F是K的有限扩张，其维数称为扩张的次数，记为[F:K]。扩张次数满足乘法公式：若K⊆L⊆F，则[F:K]=[F:L]·[L:K]。例如，[Q(√2):Q]=2，[Q(√2,√3):Q]=4。域扩张的构造方法1.多项式扩张设f(x)是K上的不可约多项式，则商环K[x]/(f(x))是一个域，它包含了K和f(x)的一个根。例如，Q[x]/(x²-2)构造了域Q(√2)。2.代数闭包任何域K都有一个代数闭包K̄，即包含K的最小的代数闭域（所有多项式都有根的域）。例如，复数域C是实数域R的代数闭包。3.分裂域给定域K上的多项式f(x)，存在K的一个扩域F，使得f(x)在F上完全分裂为一次因式。这样的最小扩域称为f(x)在K上的分裂域。域扩张可以视为在原始数系上添加新元素，使得某些方程有解。例如，Q(√2)是在有理数域上添加√2后得到的扩域。代数元的极小多项式设α是域K的扩域F中的代数元，则存在唯一的首一不可约多项式p(x)∈K[x]，使得p(α)=0。这个多项式称为α在K上的极小多项式。极小多项式的次数等于扩张K(α)/K的次数。例如，√2在Q上的极小多项式是x²-2，次数为2，所以[Q(√2):Q]=2。Galois理论简介自同构群与固定域设F是域K的扩域，定义F的自同构群Aut(F)为所有F到自身的域同构的集合。F关于K的自同构群Aut(F/K)定义为：即保持K中元素不变的F的所有自同构。给定F的自同构群的子群G，定义G的固定域F^G为：即被G中所有自同构固定的元素构成的子域。Galois群的定义设F是域K上多项式f(x)的分裂域，则F关于K的自同构群Aut(F/K)称为f(x)在K上的Galois群，记为Gal(F/K)或Gal(f)。Galois群的元素会置换f(x)的根，因此可以将Gal(f)视为f(x)的根集合的某个置换群的子群。Galois理论建立了域扩张与群之间的深刻联系，是现代代数学的重要成就之一。Galois对应Galois理论的核心是Galois对应定理：设F是域K的有限Galois扩张，G=Gal(F/K)是其Galois群，则：存在K与F之间的中间域E与G的子群H之间的一一对应：E↔H=Gal(F/E)在这个对应下，E=F^H（H的固定域）[F:E]=|H|（扩张次数等于子群的阶）[E:K]=[G:H]（扩张次数等于子群的指数）E/K是Galois扩张当且仅当H是G的正规子群，这时Gal(E/K)≅G/H代数方程可解性的群论条件根式可解的定义一个代数方程称为根式可解，如果它的根可以用系数通过有限次四则运算和开方运算表示。可解群的定义一个群G称为可解群，如果存在一个正规子群序列：使得每个商群G_{i+1}/G_i都是交换群。Abel-Galois定理一个不可约多项式f(x)∈K[x]的根可以用根式表示当且仅当它的Galois群Gal(f)是可解群。这就是著名的Abel-Galois定理，它解释了为什么五次及以上的一般代数方程没有根式解：因为对称群S_n(n≥5)不是可解群。Galois理论是19世纪法国数学家ÉvaristeGalois创立的，他在21岁参加决斗前夜写下了这一理论的核心内容。Galois理论不仅解决了几千年来困扰数学家的高次方程求解问题，还为现代代数学开辟了新的研究方向。Galois群与域扩张示意图域扩张层次结构在Galoi