1.2 第1课时　代数中的推理与证明

1.2证明第1课时代数中的推理与证明知识点证明的必要性1．在数学上，仅凭观察、实验、类比、归纳等方法得出的命题，只是一种猜想，并不一定正确．若要确定命题是真命题，还要经过严密的逻辑推理加以证实．2．人们在长期的实践中，经过分析总结后，把那些公认的真命题作为基本事实，以基本事实为依据来证实其他命题．3.一个量可以用它的等量来替换，即等量代换.4．在代数中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式(不等式)的基本性质等进行运算和推理．考点代数中的推理与证明典例

[2025·淮安期中]【阅读与理解】能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．偶数可以用2n表示，奇数可以用2n＋1表示，其中n为整数．我们可以用说理的方法说明任意一个偶数与一个奇数的和为奇数，解答过程如下：解：设任意一个偶数为2m，一个奇数为2n＋1，其中m，n为整数，则它们的和为2m＋2n＋1＝2(m＋n)＋1.因为m，n为整数，所以m＋n为整数．所以2(m＋n)＋1为奇数，即任意一个偶数与一个奇数的和为奇数．【迁移与应用】仿照上面的方法，试说明三个连续奇数的和为奇数，且能被3整除．思路导析用字母表示三个连续奇数，逐步运算和推理即可．解：设三个连续奇数分别为2n＋1，2n＋3，2n＋5，其中n是整数，它们的和为2n＋1＋2n＋3＋2n＋5＝6n＋9＝3(2n＋3)，由于2n＋3是整数，3是3的倍数，所以3(2n＋3)是3的倍数，即能被3整除，所以三个连续奇数的和是3的倍数，即能被3整除，因为6n＋9＝2(3n＋4)＋1，2(3n＋4)是偶数，所以6n＋9是奇数，所以三个连续奇数的和也是奇数．因此，三个连续奇数的和为奇数，且能被3整除．变式1证明：两个奇数之和是偶数．证明：设两个奇数分别为2m＋1，2n＋1，其中m，n为整数，则(2m＋1)＋(2n＋1)＝2m＋1＋2n＋1＝2m＋2n＋2＝2(m＋n＋1)．因为m，n，1都为整数，所以m＋n＋1为整数．所以2(m＋n＋1)是偶数．所以两个奇数之和是偶数．变式2小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m，n，它们的乘积q(q＝mn)与较大数的和一定为某个正数的平方．【举例验证】(1)当m＝3，n＝4，则q＋n＝(

)2，【推理证明】小刚同学作了如下的证明：设m<n，因为m，n是连续的正整数，所以n＝m＋1，因为q＝mn，所以q＋n＝mn＋n＝(

)2；所以q＋n一定是正数的平方．(2)请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容；【类比探究】(3)小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论．解：(1)当m＝3，n＝4时，q＋n＝mn＋n＝3×4＋4＝16＝42，故答案为：4；(2)设m<n，因为m，n是连续的正整数，所以n＝m＋1，因为q＝mn，所以q＋n＝mn＋n＝(m＋1)n＝n2；所以q＋n一定是正数的平方．故答案为：n(m＋1也可)；(3)证明：设m，n是连续的正整数，且m<n，所以n＝m＋1，因为q＝mn，所以q－m＝mn