2.7接地矩形金属槽内部电位分布仿真实验

2.7接地矩形金属槽内部电位分布仿真实验一、实验目的(1)了解和掌握分离变量法和有限差分法。(2)掌握MATLAB软件的基本使用。(3)能够仿真展示出接地矩形金属槽内部电位分布二、预习要求(1)了解拉普拉斯方程、分离变量法和有限差分法。(2)掌握MATLAB软件的基本使用三、实验原理1.问题提出一些特殊对称边界的静态场域问题，可以用分离变量法或镜像法求出其解析解(精确解)。有时由于场域的边界复杂，不易用解析方法得到，常采用数值计算方法求解；其中最常用的数值计算方法是有限差分法。如图2.7-1所示,尺寸为a×b的矩形导体槽三面接地，上方是一块密实的与之绝缘的金属盖板，其电位为φ=U0=100V，求槽内电位的分布情况。图2.7-1接地矩形导体箱这是二维静态场域的边值问题,在直角坐标系中,接地导体矩形槽中的电位函数φ满足拉普拉斯方程

其边界条件满足第一类边界条件(Dirichlet边界条件)问题：

2.导体槽内电位的理论求解与数值计算1)用分离变量法求解析解为求出矩形导体槽内电位分布的解析解，可用分离变量法来计算。根据数学物理方法，导体槽内电位函数的通解为其系数An由y=b的边界条件来确定，即两边同乘以

，

并从0～a进行积分,可得式(2.7-5)中，当n为偶数时，An=0，故应取奇数，得这样就可得到接地矩形导体槽电位分布的解析解为2)用有限差分法数值计算处理二维场域的拉普拉斯方程可以用有限差分法进行近似计算。首先把求解的区域划分成网格,把求解区域内连续的场分布用求网格节点上的离散的数值解代替。网格必须划分得充分细，才能达到足够的精度，这里采用正方形网格划分，如图2.7-2所示。其次，以各网格节点的电位作为未知数的差分方程式来代换拉普拉斯方程，如图2.7-3所示。图2.7-2有限差分的正方形网格点

图2.7-3迭代法所用网格的划分设正方形每个网格边长为h

（称为步长）,网格节点(i，j)的电位为φi,j，其上下左右4个节点的电位分别为

。在h充分小的情况下,可以将为基点进行泰勒级数展开：把以上4个式子相加，得显然，在4个式子相加的过程中，h的所有奇次方项都抵消了，所以式(2.7-7)是略去h4及其以上的项所得，其精度为h的二次项。场中任何点(i，j)都满足泊松方程

。其中，F(x，y)为场源,则式(2.7-7)变为对于无源场,F(x,y)=0，则二维拉普拉斯方程的有限差分形式为这样，二阶偏微分方程就可以用差分代数方程来近似替代。只要任意设定网格点电位的初值，则用迭代法不断更新各网格点的电位值，直到满足所要求的精度为止(利用计算机来进行迭代计算时，为了简化程序，初值电位一般取零值)。为减少迭代次数，加快收敛速度，通常采用松弛法迭代法,节点(i,j)经过n+1次迭代后,其迭代公式为式中,ω为松弛因子。四、实验仪器计算机： 1台MATLAB软件： 1套五、实验内容根据相关公式，取步长h=1,x、y方向的网格数为hx=41，hy=21，共有41×21=861个网格点，迭代精度为10-6,并用MATLAB软件编写计算程序。首先用有限差分法计算所有网格点的电位值U(i，j)，然后设定一个坐标点A(x,y)。由给定的参数求出A点电位的解析解,最后将同一点的差分解的结果和解析解的结果进行比较,算出相对误差。六、注意事项(1)确保采用的MATLAB函数使用正确。(2)确保MATLAB程序编写正确无误。