《工程光学》课件第4章

第4章平面与平面系统

4.1平面反射镜

4.2平行平板

4.3反射棱镜

4.4折射棱镜

4.5光楔

4.1平面反射镜

4.1.1单平面镜成像如图4－1所示，PP′为平面反射镜，由物点A发出的光束被平面反射镜反射，其中任意一条光线AO经平面镜PP′反射后，沿OB方向射出；另一条光线AP垂直于镜面入射，并沿原路反射，这两条反射光线的反向延长线交于A′，A′点即为物点A被平面镜反射后所成的像。

图4－1平面镜实物成虚像

图4－2平面镜虚物成实像

图4－3平面镜的镜像

图4－4平面镜的旋转

平面镜还有一个性质：当保持入射光线的方向不变，而使平面镜转动一个角度α时，则反射光线将同向转动2α(如图4－4所示)，这是因为入射角和反射角同时变化了α角。

平面反射镜的这一性质可用于测量物体的微小转角或位移。如图4－5所示，R为刻有标尺的分划板，位于物镜L的前焦面上，当测杆处于零位时，平面镜处于垂直光轴的状态

M0，此时从标尺零点即F点发出的光束经物镜折射、平面镜反射之后，沿原路返回，重新聚焦于F点。当测杆被被测物体推移x而使平面镜绕支点转动了α角后，平面镜处于M1状态，平行光束被反射后，将偏移光轴2α角，聚焦于标尺的F′点。

图4－5平面镜用于小角度或微小位移的测量

4.1.2双平面镜成像

将两个平面反射镜组合在一起，使两个平面反射镜构成一个二面角，这就是通常所说的双平面镜系统。

如图4－6所示，Q、R两平面镜构成一个夹角为α的双平面镜系统，下面我们来分析物体被这两个平面镜相继成像一次的情况。任意一条在主截面内传播的光线经双面镜的两个反射面反射后，入射光线与出射光线的夹角为β，下面讨论β角与α角的关系。

图4－6双平面镜成像由此得

由此可知，位于主截面的出射光线与入射光线之间的夹角和入射角I无关，只取决于两个反射镜的夹角α，出射光线的转角永远等于两平面镜夹角的2倍，其旋转方向则与反射面按照反射次序由Q面转至R面的方向相同。

根据这一性质，用双平面镜折转光路非常有利，其优点在于：只需加工并调整好双平面镜的夹角，而对双平面镜的安置精度要求并不高，不像单个反射镜折转光路时调整困难。

下面我们举例说明。

例如在测距机中，要求入射光线经过两端的平面镜反射以后改变90°，并且要求该角度始终保持稳定不变。如果使用单个平面镜来完成，即使在仪器出厂时平面镜的位置已安装得很准确，但是在使用过程中由于受到振动或仪器结构的变形，平面镜的位置仍可能有小量的变动。当反射镜的位置变化了α角度时，出射光线就将改变2α。为了克服这种缺点，通常采用两个平面镜，使它们之间的夹角等于光线转角的一半。只要这两个反射面之间的夹角保持不变，即使反射面位置改变，也不会影响出射光线的方向。最简单可靠的方法是把两个反射镜做在一块玻璃上。如图4－7所示，如果我们要求光线的转角为90°，只要在制造中严格保证两反射面的夹角为45°，这样无论棱镜的位置如何，入射光线和出射光线之间的夹角都等于90°。

图4－7测距机的转像光路4.2平行平板

由两个相互平行的折射平面构成的光学元件称为平行平板。平行平板在光学仪器中应用很广，如标尺、分划板、补偿板、滤光镜、保护玻璃等等。

所以平行平板是个无光焦度的光学元件，不会使物体放大或缩小，总对物体成同等大小的正立像，物与像总在平行平板的同一侧，两者的虚实不一致。

图4－8平行平板的成像特性

光线经平行平板折射后，虽然方向不变，但要产生位移。由图4－8知

可得侧向位移或平行位移为

（4-1）

若沿平行平板垂线方向计算位移，得到像点A2′

到物点A的距离称为轴向位移，以ΔL′表示，有

将式（4－1）代入上式，得

（4－2）

（4－3）

如果入射光束以近轴光束通过平行平板，因为I1角很小，所以余弦值可近似地等于1，这时将轴向位移量用Δl′表示，式（4－2）变为

（4－4）

式(4－4)表明，近轴光线的轴向位移只与平行平板的厚度d及折射率n有关，而与入射角I1无关。因此物点以近轴光经平行平板折射后所成的像是完善的。也就是说，在近轴区内，不管物体位置如何，其经过平行平板折射所成的像都可认为是由物体移动一个轴向距离而得到的。图4－9平行平板的等效作用

利用这一特点，在进行光路计算时，为了方便，可以将平行平板简化为一个等效空气平板，其换算原理如图4－9所示。入射光线PQ经玻璃平板ABCD后，出射光线HM′平行于入射光线。过H点作光轴的平行线，交PA于G，过G作光轴的垂线EF。将玻璃平板的出射平面及出射光路HM′一起沿光轴平移Δl′，则CD与EF重合。这表明，光线经过玻璃平板的光路与无折射地通过空气层ABEF的光路完全一样。这个空气层就称为平行玻璃平板的等效空气平板，其厚度为（4－5）

引入等效空气平板的作用在于，如果光学系统的会聚或发散光路中有平行玻璃平板（包括由反射棱镜展开的平行玻璃平板），可将其等效为空气平板，这样可以先计算出无平行玻璃平板（即等效为空气平板）时的像方位置，然后再沿光轴移动一个轴向位移Δl′，就得到有平行玻璃平板时的实际像面位置，即（4－6）

而无需对平行玻璃平板逐面进行计算。因此，在进行光学系统外形尺寸计算时，将平行玻璃平板用空气平板等效后，光线将无折射地通过等效空气平板，只需考虑平行玻璃平板的出射面或入射面的位置，而不必考虑平行玻璃平板的存在对光路产生的影响。

4.3反射棱镜

4.3.1反射棱镜的分类

1.简单棱镜简单棱镜只有一个主截面，它所有的工作面都与主截面垂直。根据反射面数目的不同，简单棱镜又分为一次反射棱镜、二次反射棱镜和三次反射棱镜。

1）一次反射棱镜

一次反射棱镜具有一个反射面，相当于单块平面镜，对物成镜像，即垂直于主截面的坐标方向不变，位于主截面内的坐标方向改变。

最常用的一次反射棱镜是等腰直角棱镜，如图4－10（a）所示为等腰直角棱镜，光线从一直角面入射，从另一直角面出射，使光轴折转90°。图4－10(b)所示的等腰棱镜可以使光轴折转任意角度。确定反射面角度时，只需使反射面的法线方向处于入射光轴与出射光轴夹角的平分线上即可。这两种棱镜的入射面与出射面都与光轴垂直，在反射面上的入射角大于临界角，能够发生全反射，反射面上无需镀反射膜。图4－10（c）所示为道威棱镜，它是由直角棱镜去掉多余的直角部分而制成的，其入射面和出射面与光轴均不垂直，但出射光轴与入射光轴方向不变。道威棱镜的重要特性之一是：当其绕入射光轴旋转α角时，出射光轴向同方向旋转2α角，和平面镜旋转一样。图（c）中上图右手坐标系xyz经道威棱镜后，x坐标由向上变为向下，y坐标和z坐标方向不变，从而形成左手坐标系x′y′z′。当道威棱镜旋转90°后，x坐标方向不变，y坐标由垂直纸面向外变为垂直纸

面向里，如图(c)下图所示，这时的像相对于旋转前的像转了180°。因为道威棱镜的入射面和出射面都不与光轴垂直，所以道威棱镜只能用于平行光路中。图4－10一次反射棱镜

2）二次反射棱镜

二次反射棱镜有两个反射面，相当于双平面镜系统，在这类反射棱镜中，光线经两个反射面依次反射后，反射光线相对于入射光线偏转的角度，为两个反射面夹角α的2倍。因此，经过二次反射棱镜后，出射光线与入射光线的夹角取决于反射面的夹角。由于是偶次反射，因此像与物一致，不存在镜像。

图4－11绘出了几种常用的二次反射棱镜，其中(a)是半五角棱镜，(b)是30°直角棱镜，(c)是五角棱镜，(d)是二次反射直角棱镜，(e)是斜方棱镜。五种棱镜两个反射面的夹角分别为22.5°、30°、45°、90°和180°，对应的入射光线与出射光线的夹角分别为45°、60°、90°、180°和360°。半五角棱镜和30°直角棱镜多用于显微镜观察系统，使垂直向上的光轴折转到便于观察的方向。五角棱镜取代一次反射的直角棱镜或平面镜，使光轴折转90°而不产生镜像，且装配调试方便。二次反射直角棱镜多用于转像系统，或构成复合棱镜。斜方棱镜可以使光轴平移，多用于双目观察的仪器（如双目望远镜），以调节两目镜的中心距离，满足人眼不同眼距（双眼中心距离）的观察需要。

图4－11几种常用的二次反射棱镜

图4－12斯密特棱镜

3）三次反射棱镜

三次反射棱镜最常用的是斯密特棱镜，如图4－12所示，出射光线与入射光线的夹角为45°，因为是奇次反射，所以成镜像，其特点是由于光线在棱镜中的光路很长，因此可折叠光路，使仪器结构紧凑。

2.复合棱镜

1）分光棱镜

图4－13所示为一分光棱镜。两块直角棱镜胶合在一起，中间有一层半透半反的析光膜，可以将一束光分成光强相等或光强呈一定比例的两束光，且这两束光在棱镜中的光程相

等，在两个方向成像。这种分光棱镜在很多领域被广泛应用。图4－13分光棱镜

2）分色棱镜

图4－14所示为一分色棱镜。白光经过分色棱镜后被分解为红、绿、蓝三束单色光。其中，a面镀了一层反蓝透绿介质膜，b面镀了一层反红透绿介质膜。分色棱镜主要用于彩色电视摄像机的光学系统。

图4－14分色棱镜

3）转像棱镜

图4－15所示为三种转像棱镜，其中（a）为普罗Ⅰ型转像棱镜，（b）为普罗Ⅱ型转像棱镜，（c）为别汉棱镜。转像棱镜的主要特点是出射光轴与入射光轴平行，实现完全倒像，并能在棱镜中折转很长的光路，可用于在望远镜的光学系统中实现倒像。

图4－15转像棱镜

3.屋脊棱镜

所谓屋脊棱镜，就是把普通棱镜的一个反射面用两个互成直角的反射面来代替的棱镜。两直角面的交线(即棱线)平行于原反射面，且在主截面上。它犹如在反射面上盖上一个屋脊，故称为屋脊棱镜，图4－16(a)所示为等腰直角棱镜，图4－16(b)所示为直角屋脊棱镜。

屋脊棱镜除了能保持与原有棱镜相同的光轴走向外，还能使垂直于主截面的Oy轴发生倒转。因此上述的奇次反射棱镜用屋脊面代替其中的一个反射面后，就成了偶次反射棱镜，可以单独作为倒像棱镜来使用。

图4－16直角屋脊棱镜

4.3.2反射棱镜的展开

反射棱镜在光学系统中相当于一块平行平板。在几何光学中，我们习惯于沿直线计算光路，因此，常将反射棱镜折转的光路拉直，这种拉直的方法称为棱镜的展开。棱镜展开的方法是按其入射光线被反射的顺序，以反射面为镜面，求其对称像，并依次画出反射棱镜的展开图。反射棱镜展开后，入射面和出射面相互平行，相当于一块平行平板。平行平板的厚度就是反射棱镜的展开长度，或光轴长度。

反射棱镜对入射光线产生的轴向位移以及成像缺陷和展开的等效平板是相当的。因此，在光路中加入反射棱镜会产生轴向位移和侧向位移，使像面位置改变，并引入像差。图4－17所示为一五角棱镜展开的情况。将其主截面按反射面的顺序经两次翻转180°后，即可得到等效的平行平板。由于两个反射面间的夹角θ=45°，因此入射光线和出射光线间的夹角为90°。设其口径为D，AB=AE=D，不难求出与五角棱镜等效的平行平板的厚度L为

图4－17五角棱镜的展开

若棱镜展开后厚度为L，棱镜通光口径为D，则

式中，K为棱镜的结构常数，它取决于棱镜的结构，而与棱镜的大小无关。再举一个例子，图4－18所示为一靴形棱镜展开的情况，按反射顺序，将其主截面翻转180°两次，展开后不是平行平板，为了使其具有全反射棱镜的作用，加一块“补偿棱镜”EFG，构成平行平板。为了使主棱镜发生全反射，令其和补偿棱镜之间有一个小的空气间隙。

设棱镜的口径AB=D，由图4－18可求得其等效平板的厚度L为

图4－18靴形棱镜的展开

4.3.3反射棱镜成像方向的判定

反射棱镜的主要作用是改变光轴和成像的方向。假设物空间是左手坐标Oxyz，与其相对应的像空间坐标O′x′y′z′的方向可由以下原则来判定：

（1）O′z′轴和光轴出射方向一致。

（2）O′y′轴的方向（与光轴截面垂直的方向）视棱镜组中屋脊面的个数而定。没有屋脊面或有偶数个屋脊面时，O′y′与Oy同向；有奇数个屋脊面时，O′y′与Oy反向。

（3）O′x′轴的方向视棱镜组中的反射次数（一个屋脊面算两次反射）而定。如果有奇数次反射，则O′x′的方向按右手坐标来定；如果有偶数次反射，则O′x′的方向按左手坐标来定。

4.4折射棱镜

除反射棱镜以外，还有一类用作折射元件的折射棱镜。折射棱镜的工作面是两个折射面。两折射面的交线称为折射棱，两折射面间的二面角称为折射棱镜的折射角，用表示。同样，垂直于折射棱的平面称为折射棱镜的主截面。图4－19所示为一折射棱镜的主截面，设棱镜位于空气中，其折射率为n，顶角为α，入射角为I1，折射光线相对于入射光线的偏角为δ。（4－7）

图4－19折射棱镜的工作原理两式相加有

（4－8）

又由折射定律有

（4－9）

式(4－9)中两式相减并化积得

则有

（4－10）

将式（4－8）两边对I1微分，得

（4－11）

再对式（4－9）的两边分别微分，得

（4－12）

对式（4－7）中第一个式子微分，得dI1′=dI2，代入式（4－12）中，并将式(4－12)的两个分式相除，得

（4－13）

由式（4－9）得

（4－14）

（4－15）

欲使式（4－14）和式（4－15）两式成立，必须满足

（4－16）

也就是说，只有当光线的光路对称于棱镜时，δ才能取得极值δm。

（4－17）

其中，δm为最小偏向角。

光学上常用测量折射棱镜最小偏向角的方法来测量玻璃的折射率，具体测量方法为：将被测玻璃做成棱镜，顶角α取60°左右，然后用测角仪测出α角的精确值。当测得最小偏向角