三角形中的导角模型-平行线拐点模型（教师卷）

专题06三角形中的导角模型平行线+拐点模型

近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定

理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块

内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型（M型）、

铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这

个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线：基本思路：和差拆分与等角转化。

模型1：猪蹄模型（M型）

【模型解读】

图1图2图3

如图1,①已知：AM//BN,结论：②已知：NAPE=NA+NB,结论：AM//BN.

如图2,已知：AM〃BN,结论：NP+NP3=NA+N8+NP2.

如图3,己知：AM//BN,结论：NP1+NP3......+ZP2/i+}=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2„.

【答案】C

【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用.

【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键.

例3.（2023春•四川泸州•七年级校考期末）如图所示，若AB既F,用含。、B、/的式子表示应为

()

【答案】C

【分析】过C作CD团AB,过M作MN回EF,推出AB0CD3MN0EF,根据平行线的性质得出a+团BCD=180°,

0DCM=0CMN,团NMF=7,求出团BCD=180°。，0DCM=0CMN=^即可得出答案.

【详解】过C作CD0AB,过M作MN0EF,

0AB0EF,团AB国CD团MN团EF,团a+®BCD=180°,0DCM=0CMN,0NMF=X,

【点睛】本题考查J'平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力.

A.60°B.45°C.50°D.55°

【答案】A

【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键.

A.23°B.33°C.44°D.46°

【答案】C

【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）Zf=ZB+ZD,理由如下：

过点E作直线。〃48,则a〃A8〃C。，贝ljN8=Nl,ZD=Z2,AZBED=Z1+Z2=ZB+ZD.

AB

A_______BABE《一c

a—bd—*—一

cDcD

cD

(2)Z£+ZB+ZD=360°,理由如下：

过点F作直线b〃4B.!HlJb//AB//CD.\ZR+Z3=lSO°,Z4+ZD=180°

ZB+Z3+Z4+ZD=360°即ZE+ZB+ZD=360°.

(3)NB+NF+ND=NE+NG,理由如下：

过点E,F,G作直线c〃48,d//AB,e//AB,则c〃48〃d〃e〃C。，

则N8=N5,Z6=Z7,Z8=Z9,Z10=ZD

.•.Ze+Z£FG+ZD=Z5+Z7+Z8+Z10=Z5+Z6+Z9+Z10=ZB£F+ZraD.

模型2：铅笔头模型

-M

UpJ"

—

图1图2图3

如图1,①已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+Z3=360°；②已知：/1+,Z2+Z3=360°,结论：AM//BN.

如图2,已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

如图3,己知：AM//BN,结论：Zl+Z2+...+Z»=(〃一1)180°.

AB

c4__

EF

A.180°B.270°C.360°D.540°

【答案】c

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

【答案】180°

【详解】解：延长EA交CD于点F,如图所示:

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解

题的关键

例3.（2022•湖北洪山•七年级期中）如图，已知48〃CD,P为直线A8,CD外一点,BF^^ZABP,DE平

分/COP,RF的反向延长线交OF干点F,若/FFD=a,试用。表示/P为.

【分析】根据角平分线的性质得山/1一/2,Z3-Z4,平行线的性质得由N1-N5,Z6-^PDC-2Z

3,进而根据三角形内角和得出N5、/FED,再得到/P和。的关系，然后即可用。表示4.

【详解】解：延长48交PD于点G,延长FE交CD于点H,

DE平分NCDP,AZ1=Z2,Z3=Z4,

,:AB〃CD,AZ1=Z5,Z6=ZPDC=2Z3,

〈NP8G=1800・2/1，AZP5G=1800-2Z5,，N5=90°・g/P8G，

ZFED=180°-ZHED,Z5=180°-ZEHD,ZEHD~\-ZHED+Z3=180%

A1800-Z5+1800-/FEO+/3=180°,AZFFD=180°-N5+N3,

：.ZFED=180°-(90°-yZPBG)Z6=90°+1(NP8G+N6)=90°+；(180°-NP)=180°-g

ZP,•：/FED=a,・・・cr=180°-T/P，NP=360°-2a.故答案为:ZP=360°-2a.

【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系

是关键.

图3

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键.

例5.（2023•余干县八年级期末）已知直线AB〃CD,（1）如图1,直接写出NBME、NE、NEND的数量

关系为;（2）如图2,NBME与NCNE的角平分线所在的宜线相交于点P,试探究NP与NE之间的

数量关系，并证明你的结论；（3）如图3,ZABM=-ZMBE,ZCDN=-ZNDE,直线MB、ND交于点F,

nn

【分析】（l）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理,

角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.

【详解】(1)如图1,・.・AB〃CD,AZEND=ZEFB,

ZEFB是△MEF的外角，,ZE=ZEFB-ZBME=ZEND-ZBME,

(2)如图2,VAB/7CD,.\ZCNP=ZNGB,

•・•NNPM是z\GPM的夕卜角，AZNPM=ZNGB+ZPMA=ZCNP+ZPMA,

：MQ平分NBME,PN平分NCNE.AZCNE=2ZCNP,ZFME=2ZBMQ=2ZPMA,

VAB/7CD,.\ZMFE=ZCNE=2ZCNP,•.•△EFM中，ZE+ZFME+ZMFE=180°,

AZE+2ZPMA+2ZCNP=180°,即NE+2（ZPMA+ZCNP）=180°,AZE+2ZNPM=180°；

（3）如图3,延长AB交DE于G,延长CD交BF于・H,

VABZ/CD,/.ZCDG=ZAGE,丁/ABE是^BEG的外角，

/.ZE=ZABE-ZAGE=ZABE-ZCDE,①

,・，NCHB是△DFH的外角，

点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.

模型4：羊角模型

图1图2

例L（2023春•上海•七年级专题练习）如图所示，ABQCD,0E=37°,0C=20。，则团占48的度数

【答案】570

【分析】根据三角形内角和180。以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如

果两直线平行，那么它们的同旁内角互补：3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可.

0@E=37°,0C=20°,团团CTE=180°37°20°=123°,0a4FD=123°,

0AB0CD,Oa4FD+0E^B=18O°,00E4B=18OO123O=57°,故答案为：57°.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键.

例/2.（2022•江z苏七年级期中）如图所示，已知AB〃CD,ZA=50°,ZC=ZE.则NC等于（）

c

A.20°B.25°C.30°D,40°

【答案】B

【分析】根据AB〃CD,ZA=5O°,所以NA=/AOC.又因为/C=/E,/AOC是外角，所以可求得/C.

【详解】解：VAB/7CD,ZA=50°,.\ZA=ZAOC（内错角相等），

又・；NC=/E,NAOC是外角，・・・NC=5（T+2=25。.故选B.

例3.（2023春•浙江•七年级专题练习）已知AW/C。,求证：叵8=团£+团。

【答案】见解析

【分析】过点E作E/词CD,根据平行线的性质即可得出回BW8OD,根据平行线的性质即可得出

WOD^BEF.（3D=0DEF,结合角之间的关系即可得出结论.

【详解】证明：过点E作七对。九如图

0AB0CD,^EF^CD（辅助线），

^BOD^BEF（两直线平行，同位角相等）；^D^DEF（两直线平行，内错角相等）：

^BEF=^BED+^DEF=^BED+^D（等最代换），

008。。=回£+0。（等量代换），即姐四E+0O.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角.

A.55°B.60°C.45°D.50°

【答案】C

D

B

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键.

【答案】75。/75度平行

【点睛】本题考杳了对顶角相等，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

模型5：蛇形模型（“5”字模型）

基本模型：如图，AB//CD,结论：Zl+Z3-Z2=180°.

图1图2

A.50°B.40。C.30°D.20°

【答案】D

【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键.

【答案】C

【分析】利用平行线的传递性作出辅助线与，再通过平行线的性质即可解决问题.

【详解】解：过E作的平行线即，如图所示；

【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据传

递性做出辅助线是解决问题的关键.

BA

?4

-----------G

RDF

【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线.

【答案】C

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义.利用数形结合的思想是解题关键.

【答案】25。/25度

【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关

键.

课后专项训练

【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

A.延长交庄的延长线于点G

B.连接BE

【答案】C

【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可.

团此辅助线的作法不能说明8c与。石平行，故此选项符合题意:

【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论.掌握平行线的判定和性质是解

题的关键.

【答案】D

【分析】过N2顶点作直线/，支撑平台，直线/将N2分成两个角即N4、N5,

根据平行线的性质即可求解.

【详解】如图所示，过N2顶点作直线/♦支撑平台，直线/将N2分成两个角即N4、Z5

团工作篮底部与支撑平台平行、直线/"支撑平台

【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键.

H

【答案】D

【详解】分别过E点、,F点,G点、,H点作L1/2/3/4平行于AB

观察图形可知，图中有5组同旁内角，

【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键

【答案】D

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键.

6.（2022•安徽芜湖•七年级期中）如图，AB^CD,BF,。尸分别平分和（3COE,BFWDE,团尸与团48£■互

补，则囹尸的度数为

匚E

A

A.3OB.35cc.36cD.45c

【答案】C

【分析】延长BG交CD『G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.

【详解】解：如图延长BG交CD于G

0BF0ED00F=0EDF乂团平分E0C/）E=20F,

0BF0ED00CGF=0EDF=20F,0ABSCD00ABF=0CGF=20F,

貂/平分立

又跑”与财4E互补团团少脑\4£=180°即5国F=180。，解得由F=36°故答案选C.

【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.

【答案】A

【点睛】本题考杳了对■顶角相等，平行线的性质.解题的关键在于明确角度之间的数量关系.

8.（2023春•重庆江津•七年级校联考期中）如图，AB//CD,^ABE=^EBF,团。C£=居设同48E=

23

a,团£=夕，团”=力则a,尸，y的数量关系是（）

A.4/?-a+y=360°B,3/?-a+y=360°C.4/T-a-y=36C°D.3/？-2a-y=360°

【答案】A

【分析】过石作过尸作尸。44以根据已知条件得出MB尸=3a,^DCF=^ECD,求出

AB//EN〃CD,AB〃FQ〃CD,根据平行线的性质得出MBE=l38EN=a,^ECD=^CEN,^BF^BFQ=

180°,WCF+^CFQ=1