考点解析-福建省福清市中考数学真题分类（勾股定理）汇编综合练习试题

福建省福清市中考数学真题分类（勾股定理）汇编综合练习考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（

）A．5 B．25 C． D．5或2、《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（）A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）23、如图，在中，，两直角边，，现将AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD长为（

）A． B． C． D．4、如图，矩形中，的平分线交于点E，，垂足为F，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．66、如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（

）A． B． C． D．7、如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的边BC的长为()A．20 B．22 C．24 D．30第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、已知一直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm,则此直角三角形斜边上的高为____．2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则点C到AB的距离是_______．3、小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________．4、无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．5、如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地某处断裂，且旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部________m位置断裂．6、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈（1丈=10尺），折断后顶端落在离竹子底端3尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列出关于x方程为:__________.7、在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_______米.8、若△ABC中，cm，cm，高cm，则BC的长为________cm．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，求证：．2、如图，高速公路上有A，B两点相距10km，C，D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，求BE的长．3、若的三边，，满足条件，试判断的形状.4、一架云梯长25m，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C离墙7m．（1）这个梯子的顶端A距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?5、《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”6、如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？7、如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】分情况讨论：①当边长为4的边作斜边时；②当边长为4的边作直角边时，利用勾股定理分别求解即可．【详解】解：当边长为4的边作斜边时，第三条边的长度为；当边长为4的边作直角边时，第三条边的长度为；综上分析可知，这个三角形的第三条边的长为5或，故D正确．故选：D．【考点】本题主要考查了勾股定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键．2、C【解析】【分析】首先设芦苇长x尺，则水深为（x−1）尺，根据勾股定理可得方程（x−1）2＋52＝x2．【详解】解：设芦苇长x尺，由题意得：（x−1）2＋52＝x2，即x2﹣52＝（x﹣1）2故选：C．【考点】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，从题中抽象出勾股定理这一数学模型．3、A【解析】【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．【详解】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，∴AB＝（cm），由折叠的性质得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝10cm−6cm＝4cm，∠BED＝90°，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝8−x，在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，即42＋x2＝（8−x）2，解得：x＝3，∴CD＝3cm，故选：A．【考点】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．4、D【解析】【分析】根据AE平分∠DAE，可得，从而得到AB=BE，进而得到，可得①正确；然后证明△ABE≌△AFD，可得AB=BE=AF=FD，从而得到∠AED=∠CED，故②正确；再证得△DEF≌△DEC，可得③正确；再根据△ABF≌△DCF，可得BF=CF，故④正确；过点F作FG⊥BC于点G，可得，从而得到，进而得到，可得⑤正确；即可求解．【详解】解：在矩形中，∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=BC，AD∥BC，∵AE平分∠DAE，∴，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=45°，∴∠AEB=∠BAE=45°，∴AB=BE，∴，∵，∴AE=AD，故①正确；在△ABE和△AFD中，∵∠BAE=∠DAE，∠ABE=∠AFD，AE=AD，∴△ABE≌△AFD（AAS），∴BE=DF，∴AB=BE=AF=FD，∴，∴∠AED=∠CED，故②正确；∵∠DAE=45°，DF⊥AE，∴∠ADF=45°，∴∠CDF=45°，∠EDF=∠ADE-∠ADF=22.5°，∴∠CDE=∠FDE=22.5°，∵∠AEB=45°，∠AED=67.5°，∴∠CED=67.5°，∴∠AED=∠CED，∵DE=DE，∴△DEF≌△DEC，∴DF=CD，∴DE⊥CF，故③正确；∵AB=CD，∠BAE=∠CDF=45°，AF=DF，∴△ABF≌△DCF，∴BF=CF，故④正确；如图，过点F作FG⊥BC于点G，∴FG∥AB，∴∠EFG=∠BAE=45°，∴∠EFG=∠FEG，∴FG=GE，∵△DEF≌△DEC，∴CE=EF，∴，∴，∵BF=CF，∴BG=CG，∴，∵AB=1，，∴，，解得：，∴．故⑤正确；∴正确的有5个．故选：D【考点】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5、C【解析】【详解】解：如图所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，即：a2+b2=13，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选C．6、A【解析】【详解】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.解：由勾股定理得：，，，，即∴△ABC是直角三角形，设BC边上的高为h，则，∴.故选A.点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.7、C【解析】【详解】由折叠得：在Rt中，∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则故BC=BF+FH+HC=6+8+10=24.故选C.二、填空题1、4.8cm.【解析】【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．【详解】∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，∴斜边为=10(cm)，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×6×8=×10h，解得：h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm.故答案为4.8cm.【考点】此题考查勾股定理，解题关键在于列出方程.2、【解析】【分析】首先根据勾股定理求出直角边BC的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2=AB2∵AC=9，BC=12，∴AB=在Rt△ABC中,∠C=90°，则有AC2+BC2=AB2，∵AC=9，AB=15，∴BC==12，∵S△ABC=AC⋅BC=AB⋅h，∴h==故答案为【考点】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键3、2【解析】【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可．【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，所以BC即为河水深度，，∵，∴是直角三角形，∴，∴，解得：BC=2（m），故答案为：2．【考点】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键．4、5【解析】【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝15，则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm）．故答案为5．【考点】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．5、6【解析】【分析】设，则,在中，利用勾股定理列方程，即可求解．【详解】解：如图，由题意知，，，设，则,在中，，即，解得，因此旗杆在离底部6m位置断裂．故答案为：6．【考点】本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．6、【解析】【分析】设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即可【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，根据题意可得：故答案为：【考点】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．7、【解析】【分析】由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可．【详解】解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，设BD＝x，则AD＝15－x，∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，即，解得x＝2.5米，故树高为CD＝5＋x＝7.5（米），答：树高为7.5米．故答案为：7.5．【考点】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键．8、28或8##8或28【解析】【分析】高的位置不确定，应分情况进行讨论：（1）高在内部；（2）高在外部，依此即可求解．【详解】解：如图（1）cm，cm，，则，，则；如图（2），由（1）得，，则．则的长为或．故答案为或．【考点】此题考查了勾股定理，本题需注意高的位置不确定，应根据三角形的形状分两种情况讨论．三、解答题1、见解析【解析】【分析】设斜边为c，根据勾股定理即可得出c＝，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】证明：设斜边为c，根据勾股定理即可得出c＝，∵ab＝ch，∴ab＝h，即a2b2＝a2h2+b2h2，∴＝，即．【考点】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．2、4km【解析】【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设BE＝xkm，则AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由题意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4．所以，EB的长是4km．【考点】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．3、三角形为直角三角形,理由见解析【解析】【分析】这是一道有关勾股定理的逆定理、完全平方公式的解答题．把已知条件写成三个完全平方式的和的形式，再由非负数的性质求得三边，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状.【详解】，，即．，，，，，．，，．，，该三角形为直角三角形．【考点】此题主要考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式.此题的关键就是灵活掌握完全平方公式的特点，用配方法进行恒等变形，在恒等变形的过程中不要改变式子的值.4、（1）这个梯子的顶端距地面有高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了．【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求解