初一奥数拔高班有理数巧算讲义

一、有理数巧算的核心思想有理数巧算的本质是通过观察数的结构特征，灵活运用运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）和数学公式，将复杂运算转化为简便运算，既提升计算效率，又培养数感与逻辑推理能力。二、常见巧算方法与实战技巧（一）凑整法：化零为整，简化运算核心思路：利用数的“互补性”（如和为整十、整百，或差为整数），通过加法交换律、结合律将数分组凑整，减少计算量。例题1：计算$(-3.75)+5\frac{1}{4}+(-6.25)+4\frac{3}{4}$观察到$3.75+6.25=10$，$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$，利用加法交换律和结合律分组：$$\begin{align*}\text{原式}&=[(-3.75)+(-6.25)]+\left(5\frac{1}{4}+4\frac{3}{4}\right)\\&=(-10)+10\\&=0\end{align*}$$练习1：计算$(-2.5)+3\frac{1}{3}+\left(-1\frac{2}{3}\right)+2.5$（二）裂项相消法：拆分抵消，化繁为简核心思路：将分数拆分为两个数的差（或和），使中间项相互抵消，仅保留首尾项，适用于分数数列求和。常见裂项模型：分母为连续整数乘积：$\boldsymbol{\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$（如$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）分母为等差数列乘积：$\boldsymbol{\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right)}$（如$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)$）例题2：计算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{99×100}$利用裂项模型$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$拆分：$$\begin{align*}\text{原式}&=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots+\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\\&=1-\frac{1}{100}\\&=\frac{99}{100}\end{align*}$$练习2：计算$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\dots+\frac{1}{97×99}$（提示：参考等差数列裂项模型）（三）错位相减法：等比求和，错位相消核心思路：对于等比数列求和（形如$S=a_1+a_1q+a_1q^2+\dots+a_1q^n$），通过“乘以公比$q$后与原式相减”，消去中间项，简化计算。例题3：计算$1+3+3^2+3^3+\dots+3^{10}$设$S=1+3+3^2+\dots+3^{10}$①，两边乘以公比$3$，得$3S=3+3^2+\dots+3^{11}$②，②-①得：$3S-S=3^{11}-1$，即$2S=3^{11}-1$，因此$S=\frac{3^{11}-1}{2}$（可进一步计算数值，此处保留形式）。练习3：计算$1+4+4^2+\dots+4^9$（四）分组结合法：规律分组，化乱为序核心思路：将数列按符号、周期或规律分组，使每组运算结果统一，再汇总结果。例题4：计算$1-2+3-4+\dots+99-100$数列以“+-”为周期，每2项为一组：$$\begin{align*}\text{原式}&=(1-2)+(3-4)+\dots+(99-100)\\&=(-1)+(-1)+\dots+(-1)\quad(\text{共50组})\\&=-50\end{align*}$$练习4：计算$1+2-3-4+5+6-7-8+\dots+2021+2022-2023-2024$（五）公式法：活用公式，直击本质核心思路：利用平方差、完全平方、等差数列求和等公式，将运算转化为公式形式，简化计算。常见公式：平方差：$\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$等差数列求和：$\boldsymbol{S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}}$（$n$为项数，$a_1$为首项，$a_n$为末项）例题5：计算$100^2-99^2+98^2-97^2+\dots+2^2-1^2$利用平方差公式拆分每对项：$$\begin{align*}\text{原式}&=(100-99)(100+99)+(98-97)(98+97)+\dots+(2-1)(2+1)\\&=1×199+1×195+\dots+1×3\end{align*}$$观察得：数列$3,7,\dots,195,199$是等差数列，首项$a_1=3$，末项$a_n=199$，公差$d=4$，项数$n=50$（因共100项，每2项一组，共50组）。由等差数列求和公式：$$S_{50}=\frac{50×(3+199)}{2}=50×101=5050$$练习5：计算$20^2-19^2+18^2-17^2+\dots+2^2-1^2$三、总结与提升建议有理数巧算的关键在于“观察—联想—转化”：1.观察数的结构（是否有互补数、重复规律、公式特征）；2.联想对应的巧算方法（凑整、裂项、错位相减等）；3.转化为简便运算形式，验证结果。建议通过“专项练习+错题复盘”提升：每天选取1-2种方法，练习3-5道题；错题标注“卡壳点”（如裂项模型记错、分组规律找错），针对性强化。练习答案提示（供自查）：练习1：$1\frac{2}{3}$（提示：$(-2.5)+2.5=0$，$3\frac{1}{3}-1\frac{2}{3}=1\frac{2}{3}$）练习2：$\frac{49}{99}$（提示：$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，抵消后得$\fr