数轴与函数基础知识专项训练题

数轴与函数基础知识专项训练题一、知识要点回顾解决数轴与函数相关问题，需先夯实核心概念：（一）数轴核心要点定义：规定原点、正方向、单位长度的直线，是实数的几何直观载体。三要素：原点（对应\(0\)）、正方向（通常向右）、单位长度（需统一）。数的位置与大小：数轴上右边的数总比左边的大；实数与数轴上的点一一对应。两点距离：若数轴上两点表示的数为\(a\)、\(b\)，则距离为\(\boldsymbol{\verta-b\vert}\)。（二）函数核心要点定义：设\(A\)、\(B\)为非空数集，若对\(A\)中任意\(x\)，通过对应关系\(f\)，在\(B\)中都有唯一的\(y\)与之对应，则称\(f:A\toB\)为函数，记为\(y=f(x)\)（\(A\)为定义域，值域是\(B\)的子集）。三要素：定义域（自变量\(x\)的取值范围）、对应关系（\(f\)的规则）、值域（函数值\(y\)的集合）。表示方法：解析式法、列表法、图像法（图像需满足“垂直于\(x\)轴的直线与图像至多一个交点”）。二、基础训练题题型一：数轴的应用1.画出数轴，标出表示\(-2\)、\(0\)、\(3.5\)、\(-\frac{1}{2}\)的点，并用“\(<\)”连接这些数。2.数轴上点\(A\)表示\(1\)，点\(B\)与\(A\)的距离为\(3\)，则点\(B\)表示的数为______。3.若\(a\)在数轴上位于\(-1\)左侧（如图，图略），则\(a\)、\(-a\)、\(1\)、\(-1\)的大小关系为______（用“\(<\)”连接）。题型二：函数概念辨析4.下列对应关系中，能构成函数的是（）A.\(A=\mathbb{R}\)，\(B=\mathbb{R}\)，对应关系\(f\)：\(x\toy=\pm\sqrt{x}\)（\(x\geq0\)）B.\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{4,5,6\}\)，对应关系\(f\)：\(1\to4\)，\(2\to5\)，\(3\to4\)C.\(A=\mathbb{R}\)，\(B=\{y\midy>0\}\)，对应关系\(f\)：\(x\toy=\vertx\vert\)D.\(A=\{x\midx>0\}\)，\(B=\mathbb{R}\)，对应关系\(f\)：\(x\toy=\pmx\)5.函数\(y=\frac{1}{x-2}\)的定义域为______，值域为______。题型三：函数的表示与求值6.已知函数\(f(x)=2x^2-1\)，求\(f(0)\)、\(f(-1)\)、\(f(a+1)\)的值。7.某函数的列表表示如下：\(x\)\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)-----------------------------------\(y\)\(3\)\(5\)\(7\)\(9\)请写出该函数的一个可能解析式。三、进阶提升题题型一：数轴与函数的综合8.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\geq0\\-x+1,&x<0\end{cases}\)，在数轴上描述其图像的关键点，并求\(f(2)\)、\(f(-3)\)的值。9.若函数\(y=f(x)\)的图像与数轴的交点为\((-2,0)\)和\((3,0)\)，则方程\(f(x)=0\)的解为______。题型二：定义域与值域的综合分析10.求函数\(f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}\)的定义域；若其定义域为\([-1,1)\)，求值域的取值范围。11.已知函数\(f(x)=ax+2\)（\(a\neq0\)）的定义域为\([-1,3]\)，值域为\([b,8]\)，求\(a\)、\(b\)的值。题型三：函数对应关系的深度理解12.已知\(f(x+1)=x^2+2x\)，用两种方法求\(f(x)\)的解析式。13.若函数\(f(x)\)满足\(f(ab)=f(a)+f(b)\)（\(a,b>0\)），且\(f(2)=1\)，求\(f(8)\)的值。四、答案与解析（典型题）题型一（数轴应用）1.解析：数轴绘制时，定原点、正方向（右）、单位长度（如1单位表示1），标出\(-2\)（左2）、\(0\)（原点）、\(3.5\)（右3.5）、\(-\frac{1}{2}\)（左0.5）。大小关系：\(\boldsymbol{-2<-\frac{1}{2}<0<3.5}\)。2.答案：\(4\)或\(-2\)。解析：点\(B\)可能在\(A\)右侧（\(1+3=4\)）或左侧（\(1-3=-2\)）。题型二（函数概念）4.答案：B。解析：A中\(x\geq0\)时\(y\)不唯一；B中每个\(x\inA\)对应唯一\(y\inB\)，符合；C中\(x=0\)时\(y=0\notinB\)；D中每个\(x\)对应两个\(y\)，均不满足“唯一性”。题型三（函数求值）6.解析：\(f(0)=2\times0^2-1=-1\)；\(f(-1)=2\times(-1)^2-1=1\)；\(f(a+1)=2(a+1)^2-1=2a^2+4a+1\)。进阶题（函数与数轴综合）8.解析：当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x+1\)，取\(x=0\)得\((0,1)\)、\(x=1\)得\((1,2)\)，图像为从\((0,1)\)向右上方的射线；当\(x<0\)时，\(f(x)=-x+1\)，取\(x=-1\)得\((-1,2)\)、\(x=0\)（左极限）得\((0,1)\)，图像为从\((0,1)\)向左上方的射线。\(f(2)=3\)，\(f(-3)=4\)。进阶题（定义域值域分析）11.解析：若\(a>0\)，函数单调递增，\(f(-1)=-a+2=b\)，\(f(3)=3a+2=8\)，解得\(a=2\)，\(b=0\)；若\(a<0\)，函数单调递减，\(f(-1)=-a+2=8\)，\(f(3)=3a+2=b\)，解得\(a=-6\)，\(b=-16\)。进阶题（函数对应关系）12.方法一（配凑法）：\(f(x+1)=x^2+2x=(x+1)^2-1\)，令\(t=x+1\)，则\(f(t)=t^2-1\)，故\(f(x)=x^2-1\)。方