人教数学A版教材必修4第一章三角函数教学设计

人教数学A版教材必修4第一章三角函数II教学设计

一、教材分析

1、本单元的教学内容的范围

1.1任意角的概念与弧度制

1.1.1角的概念的推广

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算

1.2任意角的三角函数

1.2.1三角函数的定义

1.2.2单位圆与三角函数线

1.2.3同角三角函数的基本关系式

1.2.4诱导公式

1.3三角函数的图象与性质

1.3.1正弦函数的图象与性质

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质

1.3.3已知三角函数求值

2.本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用

(1)三角函数在高中课程中的地位和作用

三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几

何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学(I)中建立的函数概念以及指数函数、对数函

数的研究方法。主要的学习内容是三角函数是概念、图象和性质，以及三角函数模型的简单

应用；研究方法主要是代数变形和图象分析。因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数

联系起来了。本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继内容和高等

数学的基础，三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自

然界周期变化规律最强有力的数学工具。三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其

他学科联系紧密。

(2)本章知识结构

1)知识和技能目标

(1)任意角、弧度

r解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

(2)三角函数

①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2土。,乃士。的正弦、余弦、正切)

2

能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性。

③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,24],正切函数在-工，工上的性质（如单

调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

④理解同角三角函数的基本关系式：

,sinx

x+cos-2x=1,-----=tanx.

cosx

⑤结合具体实例，了解y=Asin（〃+0）的实际意义；能借助计算器或计算机画出

y=Asin（@r+。）的图象，观察参数A,包。对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决•些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数

模型。

2）过程与方法目标

①用运动变化的观点了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，通

过对各种角的表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力。

②正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，通过研究三角函数的性质和图象，进一

步体会数形结合的思想方法。

③通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力；培养利用联系、

变化的辨证唯物主义观点去分析问题的能力。

④结合有关内容（如角度与弧度的换算，已知角求它的三角函数值，已知三角函数值求

角）进行算法的基本训练，鼓励学生运用计算器，计算机求函数值，作函数图象，探索和解

决问题。

3）情感，态度和价值观目标

①通过对角的概念的推广，培养学生学习数学的兴趣；理解并认识角度制与弧度制是辨

证统一的，不是孤立的、割裂的。

②通过对同角三角函数的基本关系的学习，揭示事物之间普遍联系的规律，培养辨证唯

物主义思想。

③通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感

性认识到理性认识的飞跃。

4.本单元的教学内容重点和难点分析

①本单元教学内容的重点：任意角三角函数的概念，同角三角函数的关系式，诱导公式,

正弦函数的性质与图象，函数y=Asin（m+。）的图象和正弦函数图象的关系。

（2）本单元教学内容的难点：弧度制和周期函数的概念，正弦型函数y=Asin（m+。）的

图象变换，综合运用公式进行求值、化简和证明等。

二、与本单元教学内容相适应的教学方法和教学方法概述

合理选用启发式讲授、探究性学习、合作学习等多种教学方法，结合教材特点、学生基

础确定切合教学实际的教法。

三、本单元所需教学资源的概述

几何画板、Excehscilab等辅助教学软件、人教社网站，相关资料包（光盘、试题、等）

四、本单元学时建议

1.1任意角的概念与弧度制2课时

1.2任意角的三角函数7课时

1.3三角函数的图象与性质6课时

本章小结1课时

（共计16学时，仅供参考）

1.1.1角的概念的推广一一任意角、终边相同的角、象限角

教学目标

「知识与技能』

1.认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；

2.能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；

3.能用集合和数学符号表示象限角；

4.能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

r过程与方法』

1.通过角的概念的扩充，让学生体会动态与静态数学观的差异，进一步理解旋转变换的作用；

2.通过角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广让学生体会在数学学科中，将概念的

形式化、数量化的过程与方法，借此进一步体会数形结合的思想、方法，这是本节课的重

点内容；

［情感、态度和价值观』

通过掌握角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广的过程与方法，让学生体会数

学的抽象化、形式化等学科特点.

知识的重点

形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边相同的角

的表示方法和判定方法

知识的难点

终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示

教学方法

本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就

概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在

概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.

教学过程

环节教学内容师生互动设计意图

情复习静态数学观下，按图形『提问』角是数学中最常见的基本图形之一，按图形组合的

境组合方式定义角.方式来看，角是由哪些基本的图形组成的呢？

引r解答』有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.

入

『提问』不加任何描述条件，两条共端点的射线组成几个

角？这两个角之间有什么关系？它们的取值范围是多少？

『解答』两个，和为360°,0°〜360°（大于等于0°且

小于360°）.发现静态数学

观下，按“图形组合”

f提问』在图上我们如何区的方式定义角的概

分这两个角？念有很大的局限性.

『解答』标示、添加描述条

件等

复习动态的数学观指导『提示』『演示J

下，按“图形（旋转）变换”为了解决上述问题，我

的方式定义角.们看另一种定义方式.即，一条射线绕着它的端点从一个位

置旋转到另一位置所形成的图形叫做角.

r提问』两种定义方式有什么异同之处？

『解答』比较两种角的定义，

角组合式旋转式发现差异，为角的概

一条射线，另一边是念的推广做准备

边两条射线其经过旋转变换的结

果

顶点公共端点旋转中心

个数两个?

范围0°〜360°?

r思考』在旋转式定义方式下，我们会产生这样的质疑：

i.一次旋转而得的角有几个？

2.两条射线一次组合产生的两个角，如何用旋转的方式表

示？

3.当旋转超过一周时，如何描述旋转量？

概任意角的概念显然，当我们用旋转的方式定义角时，原有的角的范围

念必须被扩充.

形按照逆时针方向旋转而任意角的概念

成成的角叫做正角；我们用旋转变换的观点来扩充角的概念，即解决旋转变

按照顺时针方向旋转而换的三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）对角的概念

成的角叫做负角；有什么影响？以旋转变换的

当射线没有旋转时，叫（1）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两要素为线索，发现旋

做零角.种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我转式定义是如何扩

在画图时、常用带箭头们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么充角的概念的

的弧来表示旋转的方向和旋质疑一中提到的问题就可以解决了；

转的绝对量.旋转生成的角，（2）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360。，

又常叫做转角.角度的绝对值可大于360。.这样质疑二中的问题就

可以解决了；

（3）旋转中心：作为角的顶点.

『板书』『画图J

按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；

按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；

当射线没有旋转时，叫做零角.

在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的

绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.

任意角的图示方法

如图（课本图1-1）,射线0A如图（课本图1-1）,射线OA绕端点。旋转到OB的位置

绕端点0旋转到0B的位置所所成的角，记作NA0B,其中0A叫做NA0B的始边，0B叫做

成的角，记作/AOB,其中OAZAOB的终边.以0B为始边，0A为终边的角记作/B0A.

叫做NA0B的始边，0B叫做例：ZA0B=120°,ZB0A=-120°.

ZAOB的终边.以0B为始边，

0A为终边的角记作NB0A.

应『例题』如图（课本图1—2）,教师讲解，学生练习在实践中巩固所学

用射线’0A绕端点0旋转，旋概念

举转的绝对量超过了周角，按

例照图中箭头所指的方向和弧

线表示的周数，可以表示角

的度数.

『练习』读角练习

概角的合成与运算问题二.角的合成与运算

念『例题』课本P4让学生体会数

应各角和的旋转量等于各角旋『小结』各角和的旋转量等于各角旋转量的和.形结合思想的应用

用转量的和.根据己有的定义，我们可以发现：如果把度数相同的角

看成是一个角，那么角和实数之间可以形成一一对应的关

系.

于是，角的合成可以用实数运算来表示.

『练习』

1.课本P7.练习A.5题

2.课本P6练习A.2题（3）

概如果我们固定角的始边，因其终边可以任意旋转，故而定义终边相同的角

如果当角a与角夕的始边重

念可以构成任意度数的角，而通过观察我们可以发现，这些角

形合时，它们的终边也重合，中有很多角的边是重合的.

成因此我们定义：

那么我们称角a与角夕是终

三.终边相同的角

边相同的角.1.定义

如果当角a与角夕的始边重合时，它们的终边也重合，

那么我们称角a与角0是终边相同的角.

2.表示方法引导学生发现

一般地，如果/口尸是终边

『思考』终边相同的角度数相等么？反之，度数相等的角终终边相同的角的表

相同的角，那么我们记边相同么？示方法

『解答』终边相同的角度数不一定相等；而度数相等的角终

P=a+h360P#eZ,

边一定相同？

当k=0时，两个角相同.

『思考』终边相同的两个角的度数有什么关系？

『解答』终边相同的两个角的位置关系是一一两边重合，数

量关系是一一差是360°的整数倍.

『思考』设4口广是终边相同的两个角，如何用符号语言表

示其数量关系？

『解答』/3—a=k-368,kGZ,通过变形可以得到

/3^a+k-36（T,keZ

『小结』一般地，如果3fli尸是终边相同的角，那么我们记

/3=a+k-366,keZ,

当k=0时，两个角相同.

『说明』借助终边相同

我们来总结一下，如何把终边相同的角的图形变换特性的角的表示方法，研

转化为数量关系形式的.究旋转变换的数量

从角的旋转式定义看，终边相同角的本质特征是：每旋表示形式，体现数形

转360°的整数倍后两角重合.结合的思想与方法

a4旋转初值

整数kt旋转次数

360°---------------单位旋转量

3.终边相同的角的集合

终边相同的角的集合形式：设a表示任意角，所有与a终边相同的角，包括。本身

设a表示任意角，所有构成一个集合，这个集合可记为

与a终边相同的角，包括aS={/3\/3=a+k-36(f,k&Z}.

本身构成一个集合，这个集

合可记为集合中的每一个元素都与a的终边相同，当k=0时，对应

S={夕|夕=a+h360P,&eZ}元素为a.

应1.写出与下列各角终边相同教师讲解，学生练习在实践中巩固所学

用的角的集合S,并在0°〜概念

举360°内找出与它们终边相

例同的角.

(1)-150°

(2)650°

(3)-950°15'

2.课本P6.例4

概从终边相同的角的符号表示四.符号表示终边满足一定条件的角终边相同的角

念方法推出符号表示终边满足的表示方法的推广，

『例题』已知，角a=45°,角夕的终边与角a的终边关

推一定条件的角的方法即旋转变换的数量

广表示形式、数形结合

于原点对称，写出角夕的集合S.

例如,的思想与方法的练

习，这是本节的提升

j3=a+k-13(y,k^Z,表『解答』S={p|/?=45°+hl8CP,AeZ}

点

示角。每次旋转180°,角『思考』比较与角a终边相同的角的集合，你能发现什么？重点在于让学

『讨论』生建立起图形变换

夕与角a的终边关于原点对

可以通过数量关系

『小结J在/7=a+h360PMeZ中，a表示旋转初值，

称.式加以描述的观念，

整数4表示旋转次数，360。表示单位旋转量.改变这并掌握具体方法

些常数，表示不同的旋转过程.例如

△=a+b900MeZ表示

0=a+k-186,k€Z,表示角。每次旋转180°,

角a每次旋转90°,角夕与

角夕与角a的终边关于原点对称.

角a的终边关于坐标轴对

称.『思考』类似地请你自己做一些探究.

『结论』4=a+h90°,ZeZ表示角a每次旋转90°,

※角a与角一a的终边关于用探究所得的

X轴对称等.思想和方法解决新

角夕与角a的终边关于坐标轴对称.

问题

※角a与角一a的终边关于入轴对称等.

应『例题』课本P5.例3；教师讲解，学生练习在实践中巩固所学

用概念

举『练习』

例1.写出终边在y轴上的角

的集合：(课本P7.练习B.1)

2.写出终边在一、三象限

角平分线上的角的集合.（课

本P7.练习B.2）

3.课本P7.练习B.3

概平面内任意一个角都可以通五.象限角的概念将任意角等概

念过移动，使角的顶点和平面今后我们通常在平面直角坐标系中讨论角.念与坐标系相结合，

推直角坐标系的原点重合，角『定义』为三角函数做准备

广的始边和X轴的正半轴重合，平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点和平面

这时，角的终边在第几象限，直角坐标系的原点重合，角的始边和X轴的正半轴重合，这

就把这个角叫做第几象限的时，角的终边在第儿象限，就把这个角叫做第儿象限的角.

角.

应r例题』教师讲解，学生练习第3题，进一步明确

用1.课本P7.练习A.4终边相同的角的周

举2.课本P7.练习B.4期性，为三角函数做

例3.如果用数轴上的点表示准备

角度，象限角所对应的点

如何分布？

4.新学案P1.例题2

总1、任意角的概念教师带领学生回顾，简单绘制本节课的知识脉络图本节课概念众多，通

结2、角的合成与运算过梳理脉络，帮助学

|"|3、终边相同的角的表示方生巩固知识

顾法

4、终边满足一定条件的角

的表示方法

5、象限角的概念与表示方

法

作业新学案A组、B组下节课通过测验检查作业落实情况课后练习，巩固所学

备注本节所选例题超过课时限制，宜在实际操作中加以选择

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算

一、教学目标：

1.知识目标：

（1）1弧度的角的定义：（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实

数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。

2.能力目标：

（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解

角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的

面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。

3.情感目标：

（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、

辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，

学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学

生的学习兴趣。

二、教学重点、难点：

重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；

难点：理解弧度制与角度制的区别。

三、教学方法：

通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度

量单位的可靠性和可行性。从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简

单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换

算的方法。通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好

地进行合作交流。

四、教学过程:

教学教学内容师生互动设计意图

环节

1.复习上节课所学角的概师：上节课我们把角的概共同回顾角度制，从

念。念进行了扩充，角分为几而为下面角度制与弧

2.初中所学的角度制。类？（正角、负角、零角）度制的比较埋下伏

师：在初中几何里，我们笔。

学习过角的度量，1度的角

复是怎样定义的呢？

学答：周角的1/360为1度

引的角。

入师：这种用角作单位来度量

角的制度叫做角度制，今天

我们来学习另一种在数学

和其他学科中常用的度量

角的制度一一弧度制。（板

书课题）

1.圆心角、弧长和半径之间1.角是由射线绕它的端点1.边演示边说明，使

概念的关系：旋转而成的，在旋转的学生通过图像来获取

形成在同心圆中，同一圆心角a过程中射线上的必然形对新概念的直观印

所对的弧与它所在圆的半径成一条圆弧，不同的点象。

的比值是一个常数，即所形成的圆弧的长度是

不同的，如图所示，但

ABA'B'…

—=——==定都对应同一个圆心角

rra。

值.教师用多媒体演示，引

2.定义：长度等于半径长的

日*小田在ABA'B'

圆弧所对的圆心角叫做1导学生思考——=——=2.通过和学生一起探

弧度的角，弧度记作rad。rr究，使学生明白新概

这种以弧度为单位来度定值，并与学生一起探究相念的由来，从而加深

量角的制度叫做弧度制。理解。

等的原因：设。=",

注：今后在用弧度制表示AB

角的时候，弧度二字或弧长为/，半径为OA=r,

rad可以略去不写。则

概3.与角度制相比：,2冗丫121

1=n-----,—=n------,

念（1）弧度制是以“弧度”360r360

形为单位的度量角的单位制，角可以看出，等式右端不含半

成度制是以“度”为单位来度量径，表示弧长与半径的比值

角的单位制；(2)1弧度是跟半径无关，只与a的大小

弧长等于半径长的弧所对的有关。

圆心角的大小，而1度是圆周结论：可以用圆的半径

的」一所对的圆心角的大作单位去度量角。

3602.在给出弧度的定义之3.通过对比，让学生

小；(3)弧度制是十进制,后，请同学们讨论弧度对知识进行类比、迁

而角度制是六十进制；(4)制与角度制的区别和联移和联想，加深对概

以弧度和度为单位的角，都是系,教师加以概括总结。念的理解；通过分组

一个与半径无关的定值。3.用公式a=,求圆心角讨论，加强学生间的

r交流和合作，发挥他

4.公式：a=—,表示的是

r时，应强调其结果是圆们学习的主动性。

在半径为r的圆中，弧长心角的弧度数，并要求4.由于在物理上计算

为/的弧所对的圆心角是学生掌握此公式的变形角速度时要经常用到

arado形式：1=ar和此公式，因此要求学

r='(aw0)。生掌握它及其两个变

a形。

1.用角度制和弧度制度量1.由上面的公式可以计算1.让学生意识到相互

给定弧长和半径的圆心转换得必要性和重要

角，零角既是0角，又是

弧度角的弧度，请同学们考性，激发学生积极思

制与0rad角，同一个非零角虑一下，人给一个角度考问题。

角度的度数和弧度数是不同时怎么换算成弧度呢？2.从特殊到一般，是

制的的。反过来又该怎么做呢？人类认识事物的一般

换算2.周角的弧度数：2.先引导学生计算周角的规律，让学生从某一

弧度数，在此基础上再个简单的、特殊的情

180=兀rad

来考虑换算问题，并和况开始着手，更利于

3.换算公式：学生一起推导出两个换教学的开展和学生思

算公式。补充负角所对

,(180«Y维的拓展。

arad=l----1,应的弧度数。

3.通过学生的实际计算和

。冗,运用，让学生熟练掌握3.观察分析和小组讨

n—n----rad.

180特殊角的角度和弧度的论相结合，进一步加

4.特殊角的角度数与弧度数对应表。深学生对新知识的理

的对应表4.同学分组讨论一下角的解和掌握。

5.角的集合与实数集R之间集合与实数集的对应关

弧度建立起一种---对应关系。系。

制与6.把角度值〃换算为弧度值答：一一对应。4.写算法一方面训练

角度a的一个“算法”：问：在这两种单位制下学生的逻辑思维能

制的(1)给变量〃和圆周率万的都是一一对应吗？力，另一方面也为后

换算近似值赋值；由于每一个角都有唯一面学习算法打下基

(2)如果角度值〃是以“度、的一个实数(角度数或础。

分、秒”形式给出，先把〃化弧度数)与它对应，反

为以“度”为单位的10进制过来，每一个实数也都

表示；有唯一的一个角和它对

77

（3）计算白，得出的结果应，因此，无论用角度

180制还是弧度制，都能在

赋给变量。；角的集合与实数集R之

（4）计算加，赋值给变量a。间建立起一种一一对应

关系。

5.根据上面的公式，带领

学生写出由角度换算

为弧度的算法，让学生

自己写出由弧度换算

角度的算法。

例1、例2学生板书，教师通过例1和例2让学

例1（1）把112°30'化成弧

指导。生掌握弧度和角度换

度（精确到0.001）；例3、例4教师讲解并板书，算的方法，例3是弧

在解题步骤的规范性上为长公式的应用，例4

（2）把112°30'化成弧

学生做好榜样。是推导扇形面积公

度（精确到乃）。关于例4,请学生思考：把式，从而对相关问题

例2把（化成度。扇形面积公式和三角形面的解决提供工具。

典型积公式进行类比，你会产生

例题什么联想？

例3扇形A0B中，AB所对

的圆心角是60,半径

是50米，求的长/

（精确到0.1米）。

例4利用弧度制推导扇形

面积公式S=L/z■，其

2

中/是扇形的弧长，r

是扇形的半径。

1.1弧度的角和弧度制的定让学生谈谈本节课的收获，注重学生学习的自主

归纳义；教师归纳。性，发表本节课的体

小结2.弧度与角度的换算；验和收获。

3.弧度制下的弧长公式、扇

形面积公式。

层次一：教材练习A,2,4,层次一的题目要求所有学通过分层作业，使不

布置5。生完成，层次二的题目要求同层次的学生进一步

作业层次二：教材练习B,4；习中等以上水平的学生完成。巩固本节课所学知

题1-1A,2。识。

附录（表格和图）：

度

0°30°45°60090°120°135°150°180°225°270°315°360°

弧071717t兀235715372万

—71—71—71—n—71—71

度4y2346424

1.2.1（第一课时）任意角的三角函数的定义（一）

一、学习目标

1.理解并掌握任意角三角函数的定义.

2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.

3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.

二、重点难点

教学重点：三角函数的定义和定义域。

教学难点：根据任意角三角函数定义求三角函数值

授课类型：新授课.

课时安排：1课时.

教具：多媒体、实物投影仪

三、教学过程

教学环教学内容师生互动设计意图

节

复习引1.在教师提出问题：初中是如何定义角温故知新

入初中我们/的？

学习了锐/

师：前面我们对角的概念进行了扩

角三角函C/

充，并学习了弧度制，知道角的集合

数，它是以/

与实数集是一一对应的，在这个基

锐角为自B/a

础上，今天我们来研究任意角的三

变量，边的-----a---------角函数.

比值为函

数值的三角函数：

.ba

sina=—cosa