中学数学期末试卷及详细解析

中学数学（八年级上学期）期末综合测试卷及深度解析本次期末测试卷紧扣人教版八年级上册数学核心知识点，涵盖三角形、轴对称、整式乘除、分式等模块，旨在考查学生对基础知识的掌握、逻辑推理能力及运算能力。试卷难度梯度分明，基础题、中档题、拓展题占比约为6:3:1，适合学生自查知识漏洞，也可为教师教学提供参考。一、选择题（每题3分，共30分）1.下列图形中，属于轴对称图形的是（）A.平行四边形B.等腰三角形C.直角三角形D.梯形解析：轴对称图形的定义是“沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合”。选项A：平行四边形（非特殊类型）无对称轴，折叠后无法重合；选项B：等腰三角形沿底边的高（或顶角平分线、底边中线）折叠，两腰能完全重合，符合定义；选项C：一般直角三角形无对称轴（仅等腰直角三角形是轴对称图形）；选项D：一般梯形无对称轴（仅等腰梯形是轴对称图形）。答案：$\boldsymbol{B}$2.计算$(-2a^2)^3$的结果是（）A.$-8a^6$B.$-6a^6$C.$8a^6$D.$6a^6$解析：本题考查幂的乘方与积的乘方运算规则：积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数）；幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$为正整数）。对$(-2a^2)^3$展开：第一步，对“$-2$”和“$a^2$”分别乘方：$(-2)^3\cdot(a^2)^3$；第二步，计算：$(-2)^3=-8$，$(a^2)^3=a^{2\times3}=a^6$；第三步，相乘得：$-8\cdota^6=-8a^6$。答案：$\boldsymbol{A}$3.若$\triangleABC\cong\triangleDEF$，且$\angleA=50^\circ$，$\angleB=70^\circ$，则$\angleD$的度数为（）A.$50^\circ$B.$70^\circ$C.$60^\circ$D.$80^\circ$解析：全等三角形的对应角相等，$\angleA$与$\angleD$是对应角（字母顺序对应），因此$\angleD=\angleA=50^\circ$。答案：$\boldsymbol{A}$4.分式$\dfrac{x}{x-1}$有意义的条件是（）A.$x\neq0$B.$x\neq1$C.$x>1$D.$x<1$解析：分式有意义的条件是分母不为$0$，因此$x-1\neq0\impliesx\neq1$。答案：$\boldsymbol{B}$5.点$P(2,-3)$关于$x$轴对称的点的坐标是（）A.$(2,3)$B.$(-2,-3)$C.$(-2,3)$D.$(-3,2)$解析：关于$x$轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。因此$P(2,-3)$关于$x$轴对称的点为$(2,3)$。答案：$\boldsymbol{A}$6.化简$\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x}$的结果是（）A.$\dfrac{5}{x^2}$B.$\dfrac{5}{2x}$C.$\dfrac{5}{x}$D.$\dfrac{6}{x}$解析：同分母分式相加，分母不变，分子相加，因此$\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{2+3}{x}=\dfrac{5}{x}$。答案：$\boldsymbol{C}$7.一个等腰三角形的两边长为$3$和$7$，则它的周长为（）A.$13$B.$17$C.$13$或$17$D.$10$解析：等腰三角形需满足“三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）”。若腰长为$3$，则三边为$3,3,7$，但$3+3=6<7$，不满足三边关系；若腰长为$7$，则三边为$7,7,3$，$7+3>7$，满足三边关系，周长为$7+7+3=17$。答案：$\boldsymbol{B}$8.计算$(x+2)(x-3)$的结果是（）A.$x^2-x-6$B.$x^2+x-6$C.$x^2-x+6$D.$x^2+x+6$解析：利用多项式乘法法则（分配律）展开：$(x+2)(x-3)=x\cdotx+x\cdot(-3)+2\cdotx+2\cdot(-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$。答案：$\boldsymbol{A}$9.如图，$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleA=36^\circ$，$BD$平分$\angleABC$，则$\angle1$的度数为（）（图：等腰$\triangleABC$，$AB=AC$，$BD$平分$\angleABC$，交$AC$于$D$，$\angle1$为$\angleBDC$）解析：由$AB=AC$，$\angleA=36^\circ$，得$\angleABC=\angleC=\dfrac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ$；$BD$平分$\angleABC$，故$\angleABD=\dfrac{1}{2}\angleABC=36^\circ$；$\angle1$是$\triangleABD$的外角，故$\angle1=\angleA+\angleABD=36^\circ+36^\circ=72^\circ$（或用$\triangleBDC$内角和：$\angle1=180^\circ-\angleC-\angleDBC=180^\circ-72^\circ-36^\circ=72^\circ$）。答案：$\boldsymbol{72^\circ}$（选项需结合图，假设选项含$72^\circ$，此处以计算为准）10.若关于$x$的分式方程$\dfrac{x}{x-3}+\dfrac{3a}{3-x}=2a$有增根，则$a$的值为（）A.$1$B.$\dfrac{1}{2}$C.$\dfrac{1}{3}$D.$3$解析：增根是“使分母为$0$的根”，先确定增根：$x-3=0\impliesx=3$。将方程变形（注意$\dfrac{3a}{3-x}=-\dfrac{3a}{x-3}$）：$\dfrac{x}{x-3}-\dfrac{3a}{x-3}=2a$，两边同乘$(x-3)$得：$x-3a=2a(x-3)$。将增根$x=3$代入方程：$3-3a=2a(3-3)\implies3-3a=0\impliesa=1$。答案：$\boldsymbol{A}$二、填空题（每题3分，共18分）1.若分式$\dfrac{x-2}{x+1}$的值为$0$，则$x=\boldsymbol{2}$。解析：分式值为$0$的条件是“分子为$0$且分母不为$0$”。分子为$0$：$x-2=0\impliesx=2$；验证分母：$x=2$时，$x+1=3\neq0$，满足条件。2.一个多边形的内角和为$1080^\circ$，则它的边数为$\boldsymbol{8}$。解析：多边形内角和公式为$(n-2)\times180^\circ$（$n$为边数）。列方程：$(n-2)\times180^\circ=1080^\circ$，解得$n-2=6\impliesn=8$。3.计算：$a^3\cdota^2=\boldsymbol{a^5}$。解析：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m\cdota^n=a^{m+n}$，因此$a^3\cdota^2=a^{3+2}=a^5$。4.如图，$\triangleABC\cong\triangleADE$，$\angleB=25^\circ$，$\angleE=105^\circ$，则$\angleBAD=\boldsymbol{50^\circ}$。（图：$\triangleABC\cong\triangleADE$，$\angleB$对应$\angleD$，$\angleC$对应$\angleE$）解析：由全等得$\angleD=\angleB=25^\circ$，$\angleC=\angleE=105^\circ$；$\triangleADE$中，$\angleDAE=180^\circ-\angleD-\angleE=180^\circ-25^\circ-105^\circ=50^\circ$；若$\angleBAC=\angleDAE$（全等对应角），且$\angleBAD$为公共角外的部分，结合图意（如$B$、$A$、$D$共线或其他），最终$\angleBAD=50^\circ$（需结合图，此处按角度和推导）。5.若$x^2+kx+9$是完全平方式，则$k=\boldsymbol{\pm6}$。解析：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，对比$x^2+kx+9$，得$a=x$，$b=3$，因此$kx=\pm2\cdotx\cdot3\impliesk=\pm6$。6.某班学生分组做游戏，若每$3$人一组则余$2$人，若每$4$人一组则余$3$人，该班最少有$\boldsymbol{11}$人。解析：设人数为$x$，则$x+1$是$3$和$4$的公倍数（因为$x\equiv-1\pmod{3}$且$x\equiv-1\pmod{4}$）。$3$和$4$的最小公倍数为$12$，故$x+1=12\impliesx=11$。三、解答题（共52分）1.（8分）化简求值：$\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}\div\dfrac{x-2}{x+2}$，其中$x=3$。解析：步骤为“因式分解→除法变乘法→约分→代入求值”。因式分解：分子$x^2-4x+4=(x-2)^2$，分母$x^2-4=(x-2)(x+2)$；除法变乘法：原式$=\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}\times\dfrac{x+2}{x-2}$；约分：约去$(x-2)$和$(x+2)$（$x\neq\pm2$，$x=3$满足），结果为$1$；代入求值：$x=3$时，原式$=1$。2.（10分）如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，点$D$、$E$在$BC$上，且$BD=CE$。求证：$AD=AE$。解析：利用等腰三角形性质和全等三角形判定（SAS）。由$AB=AC$，得$\angleB=\angleC$（等边对等角）；在$\triangleABD$和$\triangleACE$中：$\begin{cases}AB=AC\\\angleB=\angleC\\BD=CE\end{cases}$因此$\triangleABD\cong\triangleACE$（SAS）；由全等得$AD=AE$（对应边相等）。3.（10分）解方程：$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}+1$。解析：分式方程需“去分母→解整式方程→检验”。去分母：两边同乘$(x-1)$（$x\neq1$），得$2=1+(x-1)$；解整式方程：$2=1+x-1\impliesx=2$；检验：$x=2$时，$x-1=1\neq0$，故$x=2$是原方程的解。4.（12分）如图，在$\triangleABC$中，$\angleACB=90^\circ$，$AC=BC$，$BE\perpCE$于$E$，$AD\perpCE$于$D$，$AD=5\mathrm{cm}$，$DE=3\mathrm{cm}$。求$BE$的长。（图：$CE$为水平线段，$AD\perpCE$于$D$，$BE\perpCE$于$E$，$A$、$B$在$CE$上方，$\triangleABC$为等腰直角三角形）解析：利用全等三角形（AAS）推导线段关系。由$\angleACB=90^\circ$，得$\angleACD+\angleBCE=90^\circ$；由$AD\perpCE$，得$\angleACD+\angleCAD=90^\circ$，故$\angleCAD=\angleBCE$（同角的