11.5.2 公式法 课件 华东师大版数学八年级上册

11.5因式分解第11章整式的乘除2.公式法1.认识平方差公式、完全平方公式的特点.（重点）2.会运用这两种公式将多项式分解因式.（难点）学习目标还记得前面学过的乘法公式吗？平方差公式：两数和（差）的平方公式：a2

-

b2=(a+b)(a

-

b)(a±b)2

=a2

±2ab+

b2

有一位张大爷租了一块“十字形”土地(如图).为了便于种植，张大爷提出换一块同等面积的长方形土地耕种.abbab2b2b2b2由题意可得：十字形土地面积＝a2－4b2，长方形土地：长×宽＝a2－4b2长方形土地的长和宽可以是多少？想一想：多项式

a2-

b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是

a，b两数的平方差的形式))((baba

-

+=22ba

-

))((22bababa

-

+=

-

整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：运用平方差公式因式分解1√√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2

-

()2的形式.（1）x2+y2（2）x2-

y2（3）

-

x2

-

y2

-

(x2+y2)y2

-

x2（4）

-

x2+y2（5）x2

-

25y2(x+5y)(x

-

5y)（6）m2

-

1(m+1)(m

-

1)(x

+y

)(x

-

y

)(y

+

x)(y

-

x

)=(5x+4y)(5x-4y).例1

分解因式：aabb(

+)(-)a2

-

b2=解：(1)原式=5x4y5x5x4y4y(2)原式ab4y(5x)2-(4y)2典例精析(1)25x²－16y²；

方法总结：公式中的

a，b无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.方法总结例2

分解因式：…………一提（公因式）……二套（公式）三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）分解因式的一般步骤解：(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2

)(x2

-

y2)=(x2+y2

)(x

-

y)(x

-

y).(1)x4－y4；(2)3x3－12xy2.(2)原式=3x(x²－4y2)=3x[x²－(2y)2]=3x(x＋2y)(x－2y).典例精析两数和(或差)平方公式：两数和(或差)平方公式的特点：

1.必须是三项式（或可以看成三项的）；

2.有两个同号的数或式的平方；

3.中间有两底数之积的±2倍.

简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.=（a±b）2运用两数和(或差)平方公式因式分解2凡具备这些特点的三项式，就是两数和(或差)平方公式，将它写成两数和(或差)平方形式，便实现了因式分解.a22abb2±.+.=(a±b)²利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(或差)平方公式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.3、x²+4xy+4y²

=()²+2·()·()+()²=()²2、m²-6m+9=(

)²-2·()·(

)+()²=()²1、a²+4a

+4=()²+2·()·()+()²=()²a2a+2xx2yx+2y2y对照公式

a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？mm

-33a2m3a22abb2±.+.=(a±b)²下列各式是不是两数和(或差)平方公式？

（1）a2

-

6a+9；

（2）1+4a²；

（3）4b2+4b

-

1；

（4）a2+ab+b2；

（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项.不是（3）4b²与

-

1的符号不统一.不是分析：不是是（4）中间项缺

2倍.例3

分解因式：（1）16x2

+24x+9；（2）-x2+4xy-

4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2，

9=3²，24x=2·4x·3，

所以

16x2+24x+9是一个两数和平方公式，即

16x2+24x+9=(4x)2

+2×4x·3+32.2ab

b2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为

-(x2-

4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.解：

(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2·4x·3+(3)2(2)-x2+4xy-

4y2

=-(x2-

4xy+4y2)=-(x-

2y)2.例4

把下列各式分解因式：（1）4x3y+4x2y2

+xy3；（2）(a+b)2

-12(a+b)+36.分析：（1）中有公因式

xy，应先提出公因式，再进一步分解因式；

（2）中将

a+b看成一个整体，设

a+b=m，则原式化为

m2

-12m+36.解：(1)原式

=xy(4x2

-4xy+y2)=xy(2x

-

y)2.(2)原式

=(a+b)2-2·(a+b)·6+62

=(a+b-6)2.例5

利用两数和(或差)平方公式简便计算：(1)1002

-

2×100×99

+99²；(2)342

+34×32

+162.解：(1)原式

=(100

-

99)²

(2)原式

=(34

+16)2本题利用两数和(或差)平方公式分解因式，可以简化计算.=1.=2500.1.把下列各式分解因式：(1)16a2

-

9b2

=__________________；

(2)(a+b)2

-

(a

-

b)2=________；

(3)9xy3

-

36x3y=____________________；

(4)

-

a4+16=_______________________.(4a+3b)(4a

-

3b)4ab9xy(y+2x)(y

-

2x)(4+a2)(2+a)(2

-

a)2.把下列多项式因式分解.（1）x2－12x+36；（2）4a2－4a+1；（3）y2+2y

+1

-

x2

.解：（1）原式

=x2－2·x·6+62

=(x－6)2.（2）原式

=(2a)2－2·2a·1+

12=(2a－1)2.

(3)原式

=(y

+1)²

-

x²=(y

+1

+x)(y

+1

-

x).3.多项式

4a²+ma+9

是两数和(或差)平方公式，那么

m的值是

.±124.若

(2x

)n

-

81

可分解成

(4x2

+

9

)(2x

+

3)(2x

-

3

)，则

n

的值是______.45.已知

4m

+

n

=

40，2m

-

3n

=

5．求

(m

+

2n)2

-

(3m

-

n)2

的值．原式

=

-40×5

=

-200.解：原式

=(m

+

2n

+

3m

-

n)(m

+

2n

-

3m

+

n)=(4m

+

n)