数学函数专题知识点总结教材

第一章函数的基本概念与表示1.1函数的定义函数是从非空数集（定义域）到数集（值域）的映射关系，核心特征是：定义域内的每一个输入值，都对应唯一的输出值。从变量依赖角度，若变量\(y\)随\(x\)的变化而变化，且对每个\(x\)（定义域内），\(y\)有唯一确定的值，则称\(y\)是\(x\)的函数，记为\(y=f(x)\)（\(f\)为“对应法则”）。关键辨析：定义域是“\(x\)能取的所有值”，值域是“\(y\)实际能取的所有值”；判定“是否为函数”的核心：定义域内每个\(x\)对应唯一\(y\)（反例：\(y^2=x\)不是函数，因一个\(x\)可能对应两个\(y\)）。1.2函数的表示方法函数有三种核心表示形式，需根据场景灵活选择：（1）解析法（公式法）用数学表达式直接描述\(x\)与\(y\)的关系（如\(y=2x+1\)、\(y=\lnx\)）。优点是逻辑严谨、便于推导；缺点是抽象，需结合定义域理解。（2）列表法将\(x\)与\(y\)的对应值以表格呈现（如三角函数表、工资表）。优点是直观，适合离散/有限值的函数；缺点是无法体现整体规律。（3）图像法在平面直角坐标系中绘制\((x,f(x))\)的点集（如一次函数的直线、二次函数的抛物线）。优点是直观展示单调性、对称性等；缺点是精度有限，需结合解析法分析细节。1.3定义域与值域的求解定义域是函数的“输入范围”，需根据表达式的限制条件分析；值域则是“输出范围”，需结合函数性质推导。定义域的常见限制：分式：分母\(\neq0\)（如\(y=\frac{1}{x-2}\)，定义域\(x\neq2\)）；偶次根式：被开方数\(\geq0\)（如\(y=\sqrt{x-1}\)，定义域\(x\geq1\)）；对数函数：真数\(>0\)（如\(y=\log_2(x+3)\)，定义域\(x>-3\)）；三角函数：如\(\tanx\)的定义域\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。值域的求解思路：结合函数单调性、最值、图像特征分析。例如：一次函数\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的值域为\(\mathbb{R}\)；二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）：若\(a>0\)，值域为\(\left[\frac{4ac-b^2}{4a},+\infty\right)\)；若\(a<0\)，值域为\(\left(-\infty,\frac{4ac-b^2}{4a}\right]\)。第二章初等函数的性质与图像2.1一次函数与二次函数（1）一次函数：\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）图像：直线，斜率为\(k\)，截距为\(b\)；性质：单调性：\(k>0\)时，\(y\)随\(x\)增大而递增；\(k<0\)时，\(y\)随\(x\)增大而递减；定义域、值域均为\(\mathbb{R}\)。（2）二次函数：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）图像：抛物线，开口方向由\(a\)符号决定（\(a>0\)向上，\(a<0\)向下）；顶点与对称轴：顶点坐标\(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)，对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)；单调性：对称轴左侧（\(x<-\frac{b}{2a}\)）与右侧（\(x>-\frac{b}{2a}\)）单调性相反（由\(a\)符号决定）；最值：顶点纵坐标为最值（\(a>0\)时最小，\(a<0\)时最大）。2.2幂函数、指数函数与对数函数（1）幂函数：\(y=x^\alpha\)（\(\alpha\)为常数）图像与性质：因\(\alpha\)不同而变化（如\(\alpha=1\)时为直线\(y=x\)，\(\alpha=2\)时为抛物线\(y=x^2\)，\(\alpha=\frac{1}{2}\)时为\(y=\sqrt{x}\)）；共性：都过点\((1,1)\)；当\(\alpha>0\)时，在\((0,+\infty)\)上递增；当\(\alpha<0\)时，在\((0,+\infty)\)上递减。（2）指数函数：\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）图像：过点\((0,1)\)，当\(a>1\)时，图像从左下到右上（递增）；当\(0<a<1\)时，图像从左上到右下（递减）；性质：定义域\(\mathbb{R}\)，值域\((0,+\infty)\)；无周期性、奇偶性（除非\(a=1\)，但\(a\neq1\)）。（3）对数函数：\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）图像：过点\((1,0)\)，当\(a>1\)时，在\((0,+\infty)\)上递增；当\(0<a<1\)时，在\((0,+\infty)\)上递减；性质：定义域\((0,+\infty)\)，值域\(\mathbb{R}\)；与指数函数\(y=a^x\)互为反函数（图像关于\(y=x\)对称）。2.3三角函数（正弦、余弦、正切）（1）正弦函数：\(y=\sinx\)图像：周期为\(2\pi\)的波浪线，值域\([-1,1]\)；性质：周期性：最小正周期\(T=2\pi\)；奇偶性：奇函数（\(\sin(-x)=-\sinx\)），图像关于原点对称；单调性：在\(\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right]\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）上递增，在\(\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]\)上递减。（2）余弦函数：\(y=\cosx\)图像：周期为\(2\pi\)的波浪线，值域\([-1,1]\)；性质：周期性：最小正周期\(T=2\pi\)；奇偶性：偶函数（\(\cos(-x)=\cosx\)），图像关于\(y\)轴对称；单调性：在\([2k\pi,\pi+2k\pi]\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）上递减，在\([\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]\)上递增。（3）正切函数：\(y=\tanx\)图像：周期为\(\pi\)的“断开”曲线，定义域\(x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）；性质：周期性：最小正周期\(T=\pi\)；奇偶性：奇函数（\(\tan(-x)=-\tanx\)）；单调性：在\(\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）上单调递增。第三章函数的核心性质分析3.1单调性（增减性）（1）定义：设函数\(f(x)\)在区间\(I\)上有定义，若对任意\(x_1,x_2\inI\)，当\(x_1<x_2\)时：若\(f(x_1)<f(x_2)\)，则\(f(x)\)在\(I\)上单调递增；若\(f(x_1)>f(x_2)\)，则\(f(x)\)在\(I\)上单调递减。（2）判定方法：定义法：作差\(f(x_1)-f(x_2)\)，通过因式分解、配方等技巧判断符号；导数法：若\(f(x)\)可导，在区间\(I\)上\(f'(x)>0\)则递增，\(f'(x)<0\)则递减（导数章节补充）；图像法：从左到右，图像上升则递增，下降则递减。3.2奇偶性（对称性）（1）定义：奇函数：对定义域内任意\(x\)，有\(f(-x)=-f(x)\)，图像关于原点对称；偶函数：对定义域内任意\(x\)，有\(f(-x)=f(x)\)，图像关于y轴对称。（2）判定步骤：1.检查定义域是否关于原点对称（若不对称，直接“非奇非偶”）；2.计算\(f(-x)\)，与\(f(x)\)或\(-f(x)\)比较。（3）常见奇偶函数：奇函数：\(y=x^3\)、\(y=\sinx\)、\(y=\tanx\)；偶函数：\(y=x^2\)、\(y=\cosx\)、\(y=|x|\)；非奇非偶：\(y=x+1\)、\(y=2^x\)。3.3周期性（1）定义：若存在非零常数\(T\)，对定义域内任意\(x\)，有\(f(x+T)=f(x)\)，则称\(f(x)\)为周期函数，\(T\)为周期（最小的正周期称为“最小正周期”）。（2）常见周期函数：三角函数：\(\sinx\)、\(\cosx\)的最小正周期为\(2\pi\)；\(\tanx\)的最小正周期为\(\pi\)；周期拓展：若\(f(x+a)=f(x-a)\)，则周期\(T=2a\)；若\(f(x+a)=-f(x)\)，则周期\(T=2a\)。3.4对称性（点对称与线对称）（1）关于点对称：若对任意\(x\)，有\(f(a+x)+f(a-x)=2b\)，则函数图像关于点\((a,b)\)对称（特殊地，\(a=0,b=0\)时为奇函数，关于原点对称）。（2）关于线对称：若对任意\(x\)，有\(f(a+x)=f(a-x)\)，则函数图像关于直线\(x=a\)对称（特殊地，\(a=0\)时为偶函数，关于\(y\)轴对称）。第四章函数的应用与拓展4.1函数的零点与方程的根（1）零点定义：函数\(y=f(x)\)的零点是方程\(f(x)=0\)的实数根，即函数图像与\(x\)轴交点的横坐标。（2）零点存在定理：若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续（图像无间断），且\(f(a)\cdotf(b)<0\)（两端点函数值异号），则\((a,b)\)内至少有一个零点。（3）应用：判断方程根的个数（结合单调性、图像）。例如：方程\(2^x=x+2\)的根，可转化为\(f(x)=2^x-x-2\)的零点，通过分析单调性（\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上递增）和特殊点（\(f(1)=-1\)，\(f(2)=0\)，\(f(-2)=\frac{1}{4}\)），确定根的数量为2（\(x=2\)和一个负根）。4.2函数建模与实际应用（1）建模步骤：1.分析实际问题中的变量（自变量、因变量）；2.确定函数类型（一次、二次、指数、分段函数等）；3.列函数表达式（结合已知条件，如成本、利润、面积、运动规律）；4.验证与优化（结合定义域，求最值或合理范围）。（2）实例：利润问题：设成本为\(C(x)\)，收入为\(R(x)\)，则利润\(L(x)=R(x)-C(x)\)，通过求\(L(x)\)的最值确定“最优产量”；几何问题：用长为\(L\)的铁丝围矩形，求面积最大时的长和宽（二次函数最值问题，当长=宽=\