工程力学（静力学和材料力学）（第3版）课件 14 应力状态分析与强度理论

第14章

应力状态分析与强度理论§14-1

应力状态的概念主平面：切应力为零的平面主应力：主平面上的正应力主方向：主平面的法线方向可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。三个主应力用表示,按代数值大小顺序排序,即应力状态的分类：单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零单向应力状态也称为简单应力状态二向和三向应力状态统称为复杂应力状态圆筒形薄壁压力容器，平均直径为

D、壁厚为

，承受内压

p

作用。圆杆受扭转和拉伸共同作用§14-2

平面应力状态分析一、解析法:拉应力为正:顺时针转动为正:逆时针转动为正

和都是的周期函数。利用上式便可确定正应力和切应力的极值。若时，能使

，它们确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在平面。用完全相似的方法可确定切应力的极值：若时，能使

，它们确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大和最小切应力。即：最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为即(1)(2)，得二、图解法应力圆

莫尔(Mohr)圆圆心坐标为半径为下面根据已知单元体上的应力画应力圆：下面利用应力圆求任意斜截面上的应力：下面利用应力圆求主应力及最大切应力：例：分别用解析法和图解法求图示单元体的

(1)指定斜截面上的正应力和切应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上；

(3)最大切应力值。应力单位：M

Pa解：(一)使用解析法求解或(二)使用图解法求解作应力圆，从应力圆上可量出：

例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。解：低碳钢铸铁若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:主单元体：六个平面都是主平面首先分析平行于主应力之一（例如）的各斜截面上的应力。§14-3

特殊三向应力状态下的极值应力

对斜截面上的应力没有影响。这些斜截面上的应力对应于由主应力和所画的应力圆圆周上各点的坐标。

同理，在平行于的各个斜截面上，其应力对应于由主应力和所画的应力圆圆周上各点的坐标。

在平行于的各个斜截面上，其应力对应于由主应力和所画的应力圆圆周上各点的坐标。

这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和切应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。

至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明,其应力和可由图中阴影面内某点的坐标来表示。在三向应力状态下：

作用在与平行且与和的方向成角的平面上。例：求图示应力状态的主应力和最大切应力。

(应力单位为M

Pa)解：例：求图示应力状态的主应力和最大切应力。（应力单位为M

Pa）解：例：求图示应力状态的主应力和最大切应力。

(应力单位为M

Pa)解：

这里所指的平面应变状态，实际上是平面应力所对应的应变状态，它与弹性力学中所说的平面应变状态不同。补：平面应变状态分析

由于最大应变往往发生于受力构件的表面，而表面上的点一般都可按平面应变状态进行分析。

伸长的线应变和使直角增大的切应变规定为正

设构件内一点处的应变

、和皆为已知量。现求和应变的实测：

用应变仪直接测出三个选定方向的线应变，求出由下式直角应变花由由求主应变可求得§14-4

广义胡克定律纵向应变：横向应变：下面计算沿方向的应变:引起的应变为当三个主应力同时作用时引起的应变为广义胡

克定律对于二向

应力状态下面考虑体积变化：单位体积的体积改变为：也称为体积应变。式中：体积弹性模量当时，§14-5

强度理论强度失效的主要形式有两种：断裂失效，屈服失效相应地，强度理论也可分为两类：一类是关于脆性断裂的强度理论；另一类是关于塑性屈服的强度理论。一、关于脆断的强度理论第一强度强度条件在单向拉伸时，极限应力失效条件可写为1.最大拉应力理论（第一强度理论）

它假定：无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的主应力达到单向拉伸断裂时极限应力,材料就发生断裂。令

试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）

它假定，无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的最大伸长线应变达到单向拉伸断裂时应变的极限值，材料就发生断裂。若材料直到脆性断裂都在线弹性范围内工作,则所以发生脆性断裂的条件是由此导出失效条件的应力表达式为令第二强度条件

煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。二、关于屈服的强度理论1.最大切应力理论（第三强度理论）

它假定，无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的最大切应力

达到单向拉伸屈服切应力

时,材料就发生屈服。屈服失效条件是用应力表示的屈服破坏条件第三强度条件令

第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力的影响,其带来的最大误差不超过15％,而在大多数情况下远比此为小。2.畸变能密度理论（第四强度理论）

它假定，复杂应力状态下材料的畸变能密度达到单向拉伸时使材料屈服的畸变能密度时，材料就发生屈服。屈服失效条件是简单拉伸时屈服失效条件是第四强度条件

此理论和许多塑性材料的试验结果相符，用此理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的。四个强度理论的强度条件可写成统一形式称为相当应力

一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。

影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。无论是塑性材料或脆性材料：

在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；

在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。例：填空题。

冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原因是冰处于

应力状态，而水管处于

应力状态。三向压二向拉

石料在单向压缩时沿压力作用方向的纵截面裂开，这与第

强度理论的论述基本一致。二

一球体在外表面受均布压力作用，则在球体任意处的三个主应力，，MPa。在纯剪切应力状态下：(1)用第三强度理论可得出：塑性材料的许用切应力与许用拉应力之比(2)用第四强度理论可得出：塑性材料的许用切应力与许用拉应力之比例：填空题。解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为第三强度理论的强度条件为由此得剪切强度条件为按第三强度理论可求得或第四强度理论的强度条件为由此得剪切强度条件为按第三强度理论可得或例：填空题。

三向应力状态中，若三个主应力都等于，材料的弹性模量和泊松比分别为

E

和，则三个主应变为

。例：填空题。

第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为及，对于纯剪切应力状态，恒有＿＿＿。

危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料,应选用_______强度理论进行计，因为此时材料的破坏形式为___________。例：填空题。第一脆性断裂例：选择题。纯剪切应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案：（A）变大（B）变小（C）不变（D）不确定√

例：圆轴直径为

d，材料的弹性模量为

E，泊松比为，为了测得轴端的力偶之值，但只有一枚电阻片。

(1)试设计电阻片粘贴的位置和方向；

(2)若按照你所定的