高数基础知识专题总结与练习

高数基础知识专题总结与练习第一章函数与映射一、核心知识点梳理函数是描述变量依赖关系的工具，从映射角度看，函数是非空数集到非空数集的映射（记为\(y=f(x),\x\inD\)），其核心要素包括定义域（自变量范围）、对应法则（变量映射规则）、值域（函数值集合）。1.基本初等函数（函数的“积木”）五类基本初等函数构成复杂函数的基础：幂函数：\(y=x^\mu\)（\(\mu\)为常数，如\(\mu=2\)时为二次函数，\(\mu=-1\)时为反比例函数）。指数函数：\(y=a^x\)（\(a>0,a\neq1\)，\(a=e\)时为自然指数\(y=e^x\)）。对数函数：\(y=\log_ax\)（\(a>0,a\neq1\)，与指数函数互为反函数，\(a=e\)时为自然对数\(y=\lnx\)）。三角函数：如\(y=\sinx\)（周期\(2\pi\)，奇函数）、\(y=\cosx\)（周期\(2\pi\)，偶函数）等，需熟悉定义域、值域与周期性。反三角函数：如\(y=\arcsinx\)（定义域\([-1,1]\)，值域\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)），是三角函数的“单射化”反函数。2.复合函数与初等函数复合函数：若\(y=f(u)\)（\(u\inU\)）且\(u=g(x)\)（\(x\inD\)），且\(g(D)\capU\neq\varnothing\)，则\(y=f[g(x)]\)为复合函数（\(u\)为中间变量）。例如\(y=\sin(2x+1)\)由\(y=\sinu\)和\(u=2x+1\)复合而成。初等函数：由基本初等函数经有限次四则运算或复合运算得到的函数（如\(y=\sqrt{x^2+1}\)、\(y=e^{\sinx}\lnx\)均为初等函数）。3.函数的特性奇偶性：定义域关于原点对称时，若\(f(-x)=f(x)\)则为偶函数（图像关于\(y\)轴对称，如\(y=x^2\)）；若\(f(-x)=-f(x)\)则为奇函数（图像关于原点对称，如\(y=x^3\)）。单调性：区间\(I\)内，若\(x_1<x_2\)时\(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(>\)），则\(f(x)\)在\(I\)上单调递增（或递减）。周期性：存在\(T>0\)，使\(f(x+T)=f(x)\)对所有\(x\)成立（如\(\sinx\)周期为\(2\pi\)）。有界性：存在\(M>0\)，使\(|f(x)|\leqM\)对\(x\inD\)成立（如\(\sinx\)在\(\mathbb{R}\)上有界，\(\frac{1}{x}\)在\((0,1]\)上无界）。二、典型例题解析例1：求函数的定义域求\(f(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln(x+1)}\)的定义域。分析：需同时满足：根号下非负：\(4-x^2\geq0\implies-2\leqx\leq2\)；对数真数正：\(x+1>0\impliesx>-1\)；分母非零：\(\ln(x+1)\neq0\impliesx+1\neq1\impliesx\neq0\)。综合：定义域为\((-1,0)\cup(0,2]\)。例2：判断函数的奇偶性判断\(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2+1}\)的奇偶性。分析：定义域为\(\mathbb{R}\)（关于原点对称），计算\(f(-x)\)：\[f(-x)=\frac{e^{-x}-e^{x}}{(-x)^2+1}=\frac{-(e^x-e^{-x})}{x^2+1}=-f(x)\]故\(f(x)\)为奇函数。例3：复合函数分解将\(y=\cos^2(\lnx)\)分解为基本初等函数的复合。解：令\(y=u^2\)（幂函数），\(u=\cosv\)（三角函数），\(v=\lnx\)（对数函数）。即由\(y=u^2\)、\(u=\cosv\)、\(v=\lnx\)复合而成。三、针对性练习1.求\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}+\ln(3-x)\)的定义域。2.判断\(f(x)=x^3\sinx\)的奇偶性。3.分解复合函数\(y=\sqrt{\arctan(e^{2x})}\)的中间变量与基本初等函数。第二章极限一、核心知识点梳理极限描述函数（或数列）的变化趋势，分为数列极限（\(n\to\infty\)时\(a_n\)的趋势）和函数极限（\(x\tox_0\)、\(x\to\infty\)时\(f(x)\)的趋势）。1.极限的直观定义数列极限：\(n\)无限增大时，\(a_n\)无限趋近于常数\(A\)（如\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)）。函数极限（\(x\tox_0\)）：\(x\)无限趋近于\(x_0\)（\(x\neqx_0\)）时，\(f(x)\)无限趋近于\(A\)（如\(\lim_{x\to2}(x+1)=3\)）。函数极限（\(x\to\infty\)）：\(|x|\)无限增大时，\(f(x)\)无限趋近于\(A\)（如\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)）。2.极限的四则运算法则若\(\limf(x)=A\)，\(\limg(x)=B\)，则：\(\lim[f(x)\pmg(x)]=A\pmB\)\(\lim[f(x)\cdotg(x)]=A\cdotB\)\(\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）3.两个重要极限第一重要极限：\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)（推广：\(\lim_{\square\to0}\frac{\sin\square}{\square}=1\)，\(\square\)为同一无穷小）。第二重要极限：\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\)（推广：\(\lim_{\square\to0}\left(1+\square\right)^{\frac{1}{\square}}=e\)）。4.无穷小与等价无穷小替换（\(x\to0\)时）无穷小：极限为\(0\)的变量（如\(x\to0\)时，\(x,\sinx,e^x-1\)均为无穷小）。等价无穷小：若\(\alpha\sim\alpha'\)，\(\beta\sim\beta'\)，则\(\lim\frac{\alpha}{\beta}=\lim\frac{\alpha'}{\beta'}\)（乘除可换，加减慎用）。常见等价无穷小：\(\sinx\simx\)，\(\tanx\simx\)，\(e^x-1\simx\)，\(\ln(1+x)\simx\)，\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\)。5.极限存在准则夹逼准则：若\(g(x)\leqf(x)\leqh(x)\)且\(\limg(x)=\limh(x)=A\)，则\(\limf(x)=A\)（如证明\(\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0\)）。单调有界准则：单调递增（或递减）且有上界（或下界）的数列必有极限（如\(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\)的存在性）。二、典型例题解析例1：四则运算求极限求\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)。分析：直接代入分母为\(0\)，先因式分解：\[\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\quad(x\neq2)\]故\(\lim_{x\to2}(x+2)=4\)。例2：重要极限求极限求\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{2x}\)。分析：用第一重要极限的推广，令\(\square=3x\)（\(x\to0\)时\(\square\to0\)）：\[\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}\cdot\frac{3x}{2x}=1\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\]例3：等价无穷小替换求极限求\(\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\ln(1+3x)}\)。分析：\(x\to0\)时，\(e^{2x}-1\sim2x\)，\(\ln(1+3x)\sim3x\)，替换后：\[\lim_{x\to0}\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}\]例4：第二重要极限的应用求\(\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^x\)。分析：变形为第二重要极限形式，令\(t=-\frac{x}{2}\)（\(x\to\infty\)时\(t\to\infty\)），则\(x=-2t\)：\[\left(1-\frac{2}{x}\right)^x=\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-2t}=\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{-2}\]故极限为\(e^{-2}\)。三、针对性练习1.求\(\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}\)（提示：立方差公式）。2.求\(\lim_{x\to0}\frac{\tan5x}{\sin2x}\)（等价无穷小或重要极限）。3.求\(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n\)（第二重要极限）。4.用夹逼准则证明\(\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+n}}{n+1}=1\)。第三章函数的连续性一、核心知识点梳理连续性描述函数图像“无断裂、无跳跃”的特性，是研究函数局部与整体性质的基础。1.函数在一点连续的定义设\(f(x)\)在\(x_0\)的某邻域内有定义，若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)，则\(f(x)\)在\(x_0\)处连续。等价定义（增量形式）：令\(\Deltax=x-x_0\)（自变量增量），\(\Deltay=f(x_0+\Deltax)-f(x_0)\)（函数增量），则\(\lim_{\Deltax\to0}\Deltay=0\)。2.间断点的分类若\(f(x)\)在\(x_0\)处不连续，则\(x_0\)为间断点，分为两类：第一类间断点：左右极限都存在。可去间断点：左右极限相等但不等于\(f(x_0)\)（或\(f(x_0)\)无定义），如\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)处（补充\(f(1)=2\)可连续）。跳跃间断点：左右极限不相等，如\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\x-1,&x\geq0\end{cases}\)在\(x=0\)处（左极限1，右极限-1）。第二类间断点：左右极限至少有一个不存在（如无穷间断点\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)处，振荡间断点\(f(x)=\sin\frac{1}{x}