反比例函数教学设计与课堂实录

反比例函数教学设计与课堂实录一、教学设计（一）教学目标1.知识与技能：学生能理解反比例函数的意义，能根据实际问题写出反比例函数关系式；能画出反比例函数的图像，并结合图像探索反比例函数的基本性质（如增减性、图像所在象限等）；初步学会运用反比例函数解决简单的实际问题。2.过程与方法：经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，体会数学建模思想；通过观察、比较、归纳、探究等数学活动，培养学生的抽象思维能力、动手操作能力和合作交流意识。3.情感态度与价值观：感受反比例函数在现实生活中的广泛应用，体验数学的价值；在探究活动中获得成功的体验，增强学习数学的自信心；培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。（二）教学重难点1.教学重点：反比例函数的概念、图像和基本性质。2.教学难点：反比例函数图像的画法及对其性质（尤其是增减性）的理解；理解反比例函数中变量之间的对应关系及“反比例”的含义。（三）教学方法与手段1.教学方法：情境教学法、引导发现法、合作探究法、讲练结合法。2.教学手段：多媒体课件辅助教学，几何画板动态演示，学生自主画图探究。（四）教学准备1.教师准备：制作多媒体课件（包含情境问题、例题、练习题等），准备几何画板软件，印发导学案。2.学生准备：预习课本相关内容，准备直尺、铅笔、坐标纸。二、课堂实录（一）创设情境，引入新课师：同学们，我们已经学习了一次函数，谁还记得一次函数的一般形式是什么？它的图像是什么样子的？生1：一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0），当b=0时是正比例函数y=kx（k≠0）。它的图像是一条直线。师：非常好！一次函数描述了两个变量之间的一种线性变化关系。今天我们来研究生活中另一种常见的变量关系。请看大屏幕上的问题：（课件展示）问题1：小明要去距离学校10千米的图书馆，若他骑车的平均速度为v千米/小时，那么他到达图书馆所需的时间t小时将如何表示？问题2：一个矩形的面积为20平方厘米，若它的长为x厘米，那么它的宽y厘米将如何表示？问题3：一个蓄水池的容积为100立方米，若每分钟的出水量为Q立方米，那么将水池放空所需的时间t分钟如何表示？师：请大家独立思考，将这些问题中的函数关系式写出来，并观察它们有什么共同的特点。（学生独立完成，教师巡视，适时指导有困难的学生。约3分钟后）师：好，时间到。哪位同学愿意分享一下你的结果？生2：问题1中，路程是10千米，速度是v，时间t=10/v。问题2中，面积是20，长是x，宽y=20/x。问题3中，容积100，出水量Q，时间t=100/Q。师：写得很正确。大家观察这三个函数关系式：t=10/v，y=20/x，t=100/Q，它们和我们之前学过的一次函数有什么不同？它们自身又有什么共同特征呢？生3：一次函数的右边是关于自变量的一次整式，而这几个函数的右边都是一个常数除以自变量。师：说得非常好！这就是我们今天要学习的一种新的函数类型——反比例函数。（板书课题：反比例函数）（二）合作探究，形成概念师：那么，究竟什么是反比例函数呢？请大家类比正比例函数的定义，尝试给反比例函数下一个定义。可以小组讨论一下。（学生小组讨论，教师参与其中，引导学生关注自变量的取值范围和常数的限制条件。约4分钟）师：哪个小组愿意发表你们的看法？生4（小组代表）：我们认为，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y等于一个常数k除以x的形式，那么y就是x的反比例函数。师：有补充吗？这个常数k有什么要求？x呢？生5：我们觉得k不能等于0，因为如果k=0的话，y就等于0了，变成了常数函数，不是反比例了。而且x也不能等于0，因为分母不能为0。师：非常好！考虑得很周全。一般地，如果两个变量x、y之间的对应关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。（教师板书定义）师：对于这个定义，大家还有什么疑问吗？生6：老师，反比例函数的自变量x的取值范围是什么？师：这个问题提得好！谁能回答？生7：x不能等于0，因为分母不能为0。所以自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。师：正确。那么函数值y的取值范围呢？生8：y也不能等于0，因为k≠0，x≠0，所以k/x不可能等于0。师：没错。反比例函数还有没有其他的表达形式呢？比如，我们能不能把y=k/x变形一下？生9：可以写成xy=k，也就是x乘以y等于常数k。师：非常好！y=k/x(k≠0)还可以写成xy=k(k≠0)或者y=kx⁻¹(k≠0)的形式。这三种形式是等价的，大家要熟悉。其中，k叫做反比例函数的比例系数，并且k≠0。师：下面我们来看几个例子，判断下列哪些是反比例函数，如果是，请指出比例系数k。（课件展示）1.y=3/x2.y=x/23.y=-5/x4.y=2x+15.xy=4（学生思考后回答）生10：1是反比例函数，k=3；3是反比例函数，k=-5；5可以写成y=4/x，所以也是反比例函数，k=4。2和4不是。师：判断准确！看来大家对反比例函数的概念已经有了初步的理解。（三）深入探究，掌握图像与性质师：我们知道，函数的图像是研究函数性质的重要工具。一次函数的图像是直线，那么反比例函数的图像会是什么样子呢？我们以y=6/x为例，一起来画一画它的图像。师：画函数图像的一般步骤是什么？生11：列表、描点、连线。师：非常好。首先是“列表”。我们要选取一些x的值，求出对应的y值。大家思考一下，x可以取哪些值？不能取哪些值？生12：x可以取正数，也可以取负数，但不能取0。师：对。为了使图像更准确、更具代表性，我们通常会选取一些互为相反数的x值，并且尽量使描出的点分布均匀一些。请大家在坐标纸上完成下表：（课件展示表格，学生独立完成，教师巡视指导）x...-6-3-2-1-1/21/21236...---------------------------------------y=6/x......师：好，大部分同学都完成了。我们来核对一下。当x=-6时，y=6/(-6)=-1；x=-3时，y=-2；x=-2时，y=-3；x=-1时，y=-6；x=-1/2时，y=-12。x=1/2时，y=12；x=1时，y=6；x=2时，y=3；x=3时，y=2；x=6时，y=1。大家都对了吗？（学生点头或小声回应）师：接下来是“描点”。请大家在坐标平面内描出这些点。注意，点的坐标是（x,y），不要描错位置。（学生描点，教师巡视，对个别描点有困难的学生进行指导。）师：描完点后，就是“连线”。请大家仔细观察这些点的分布规律，尝试用平滑的曲线将它们连接起来。连接时要注意，左右两边的点要分别连接，因为x不能取0，所以图像在x=0处是断开的。（学生连线，教师用几何画板同步演示描点连线的过程，并强调“平滑曲线”。）师：大家看，我们画出的y=6/x的图像是由两支曲线组成的，我们把这样的图像叫做“双曲线”。（板书：图像：双曲线）师：现在，请大家在刚才的坐标纸上，用不同颜色的笔，尝试画出y=-6/x的图像，看看它和y=6/x的图像有什么相同点和不同点。给大家5分钟时间。（学生自主画图，教师巡视指导，鼓励学生互相交流。）师：时间到。我们请两位同学到黑板上来展示一下你们画的图像，并说说你们的发现。（两位学生板演，画出y=-6/x的图像）师：这两位同学画得都非常规范。大家对比一下y=6/x和y=-6/x的图像，它们有什么共同特征？又有什么不同之处？生13：它们都是双曲线，都有两支。不同的是，y=6/x的图像在第一、三象限，而y=-6/x的图像在第二、四象限。师：观察得很仔细！那么，大家思考一下，反比例函数y=k/x(k≠0)的图像所在的象限与k的符号有什么关系呢？生14：当k>0时，图像在第一、三象限；当k<0时，图像在第二、四象限。师：非常正确！（板书：当k>0时，双曲线的两支分别在第一、三象限；当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限。）师：我们再来看图像的变化趋势。以y=6/x在第一象限的分支为例，当x的值逐渐增大时，y的值如何变化？生15：x增大，y减小。比如x从1增大到6，y从6减小到1。师：那在第三象限呢？x从-6增大到-1（注意，这里的“增大”是指x的值在数轴上向右移动），y的值从-1增大到-6？生15（犹豫）：啊，不是，y的值从-1变到-6，是变小了。师：对。所以，对于y=6/x(k>0)，在每一个象限内，y随x的增大而减小。（板书：当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小。）师：那么对于y=-6/x(k<0)，在每一个象限内，y随x的增大如何变化呢？大家观察自己画的图像。生16：在第二象限，x从-6增大到-1，y从1增大到6；在第四象限，x从1增大到6，y从-6增大到-1。所以当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大。师：太棒了！总结得非常到位。（板书：当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大。）师：这里有一个非常重要的关键词——“在每一个象限内”。为什么要强调这一点呢？大家思考一下，如果我们不限制“在每一个象限内”，比如对于y=6/x，取x1=-1（第三象限），x2=1（第一象限），x1<x2，但y1=-6，y2=6，此时y1<y2，就不是y随x的增大而减小了。所以，反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”。师：我们再来看，双曲线会与坐标轴相交吗？生17：不会。因为x不能为0，所以图像与y轴没有交点；y也不能为0，所以图像与x轴也没有交点。师：是的。双曲线的两支会无限接近x轴和y轴，但永远不会与坐标轴相交。（板书：图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交。）（四）应用新知，巩固提升师：我们已经学习了反比例函数的概念、图像和基本性质。现在我们来做几个练习，检验一下大家的掌握情况。练习1：已知反比例函数的图像经过点（2，3），求这个反比例函数的表达式。师：谁能说说思路？生18：设反比例函数的表达式为y=k/x，因为图像经过点（2，3），所以把x=2，y=3代入表达式，就能求出k的值。师：很好。请大家在练习本上写出解题过程。（学生独立完成，教师请一位学生板演）解：设反比例函数的表达式为y=k/x(k≠0)。因为函数图像经过点（2，3），所以将x=2，y=3代入y=k/x，得3=k/2解得k=6所以，这个反比例函数的表达式为y=6/x。师：过程完整，结果正确。练习2：反比例函数y=(m-1)/x的图像在第二、四象限，求m的取值范围。生19：因为图像在第二、四象限，所以比例系数k应该小于0。这里k=m-1，所以m-1<0，解得m<1。师：非常好，学以致用。练习3：已知点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）是反比例函数y=8/x图像上的两点，且x₁<x₂<0，比较y₁与y₂的大小。师：这个问题稍微复杂一点，大家可以画图分析，或者利用我们学过的性质来解决。生20：因为k=8>0，所以反比例函数在每一个象限内y随x的增大而减小。点A和点B的横坐标都是负数，所以它们都在第三象限。因为x₁<x₂<0，在第三象限内x增大y减小，所以y₁>y₂。师：分析得非常透彻！看来大家已经能够灵活运用反比例函数的性质了。（五）课堂小结，反思提升师：同学们，这节课我们一起学习了反比例函数。回顾一下，你有哪些收获？可以从知识、方法、思想等方面谈谈。生21：我知道了反比例函数的定义是y=k/x(k≠0)，图像是双曲线。生22：我学会了画反比例函数的图像，知道了k的符号决定了双曲线所在的象限，也决定了函数的增减性。生23：我觉得学习反比例函数和学习一次函数一样，都是从实际问题引入，然后研究定义、图像、性质，最后应用。师：同学们总结得都非常好。我们不仅学习了反比例函数的知识，更重要的是体验了从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，运用了数形结合的思想方法。希望大家在今后的学习中，能继续保持这种勤于思考、勇于探索的精神。（六）布置作业师：今天的作业是：1.课本练习题：第X页第X题，第X页第X题。2.拓展思考：结合生活中的实例，编一道与反比例函数相关的应用题，并尝试解决。3.预习下一节内容：反比例函数的应