2025中考数学总复习《锐角三角函数》高分题库及参考答案详解（综合卷）

中考数学总复习《锐角三角函数》高分题库考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则sinA的值是（）A． B． C． D．2、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米3、△ABC中，tanA＝1，cosB＝，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形4、如图，某建筑物AB在一个坡度为i＝1：0.75的山坡BC上，建筑物底部点B到山脚点C的距离BC＝20米，在距山脚点C右侧同一水平面上的点D处测得建筑物顶部点A的仰角是42°，在另一坡度为i＝1：2.4的山坡DE上的点E处测得建筑物顶部点A的仰角是24°，点E到山脚点D的距离DE＝26米，若建筑物AB和山坡BC、DE的剖面在同一平面内，则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin42°≈0.67．cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

A．36.7米 B．26.3米 C．15.4米 D．25.6米5、如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为．如果在坡度为的山坡上种植树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、当0≤θ≤α时，将二次函数y＝﹣x2x（0≤x）的图象G，绕原点逆时针旋转θ得到图形G均是某个函数的图象，则α的最大值为_____．2、如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，⊙C经过A，B，D，O四点，∠OAB＝120°，OB＝4，则点D的坐标是_____．3、如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是______．4、如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E在AB边上，AE＝4，BE＝2，点F是AC上的一个动点．连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°并延长至其2倍，得到线段EG，当时，点G到CD的距离是_______．5、计算：cos245°＋tan30°·sin60°－sin245°＝________．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、平面直角坐标系中，过点M的⊙O交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点，交OM的反向延长线于点N．（1）求经过A、N、B三点的抛物线的解析式．（2）如图①，点E为（1）中抛物线的顶点，连接EN，判断直线EN与⊙O的位置关系，并说明理由．（3）如图②，连接MD、BD，过点D的直线交抛物线于点P，且，直接写出直线DP的解析式．2、如图是我们日常生活中经常使用的订书器，AB是订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动．在滑动过程中，DE的长保持不变．已知BD＝cm．（1）如图1，当∠ABC＝45°，BE＝12cm时，求连接杆DE的长度；（结果保留根号）（2）现将压柄BC从图1的位置旋转到与底座AB垂直，如图2所示，请直接写出此过程中，点E滑动的距离．（结果保根号）3、如图，已知抛物线（为常数，且＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求的值；（3）在（1）的条件下，直线BD上是否存在点E，使∠AEC=45°？若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由．4、计算（1）（2）4x2﹣8x＋1＝05、某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高，点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．若在此处建桥，求河宽的长．（结果精确到）[参考数据：，，6、（1）计算：．（2）如图，在菱形ABCD中，于点E，，，求菱形的边长．-参考答案-一、单选题1、A【分析】先根据银河股定理求出AB，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：如图，∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，∴∴，故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键．2、C【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【详解】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝，∴OF＝xtan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°＝，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构建直角三角形是解本题的关键．3、C【分析】先根据△ABC中，tanA=1，cosB=求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵△ABC中，tanA=1，cosB=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．4、D【分析】如图所示，过E点做CD平行线交AB线段为点H，标AB线段和CD线段相交点为G和H由坡度为i＝1：0.75，BC＝20可得BG=16,GC=12,由坡度为i＝1：2.4，DE＝26可得DF=24,EF=10，分别在在中满足，在中满足化简联立得AB=25.6．【详解】如图所示，过E点做CD平行线交AB线段为点H，标AB线段和CD线段相交点为G和H∵在中BC＝20，坡度为i＝1：0.75，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．在中DE＝26，坡度为i＝1：2.4，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中满足，在中满足,即,其中BG=16、BG=12、BH=BG-EF=6、DF=24，代入化简得，令2-有∴，∴AB=25.6．故选：D．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键．5、A【分析】根据坡度为0.5，即可求出相邻两棵树的垂直距离为2m，根据勾股定理即可求出相邻两树间的坡面距离．【详解】解：∵坡度i=，∴相邻两棵树的垂直距离为4×0.5=2m，∴相邻两树间的坡面距离约为．故选：A【点睛】本题考查了坡度的定义，解直角三角形的应用，熟知坡度的定义“坡度=垂直距离：水平距离”是解题关键．二、填空题1、【解析】【分析】根据题意，找到图象G的切线，进而根据旋转的性质即可求得α的最大值【详解】解：∵将二次函数y＝﹣x2x（0≤x）的图象G，逆时针旋转θ得到图形G均是某个函数的图象，设过原点的直线∴当y＝﹣x2x，存在唯一交点时即解得设为上一点，过点作轴，则当图象旋转时，与轴相切，符合函数图象，故即故答案为：30°【点睛】本题考查了旋转的的性质，抛物线与直线交点问题，解直角三角形，理解题意求得直线与轴的夹角是解题的关键．2、(0，4)【解析】【详解】先利用圆内接四边形的性质得到∠BDO＝60°，解直角三角形求出OD，可得结论．【分析】解：∵四边形ABDO为圆的内接四边形，∴∠OAB+∠BDO＝180°，∴∠BDO＝180°﹣120°＝60°，∵∠DOB＝90°，在Rt△ABO中，tan∠BDO＝，∵OB＝4∴OD＝4，∴D（0，4）故答案为：（0，4）．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是证明∠BDO＝60°．3、3314##3143【解析】【分析】过点作，交延长线于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再解直角三角形可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，，，，，，，解得，又，，在中，，即，解得，，，解得，则的面积是，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．4、或【解析】【分析】分两种情况如图1和图2所示，利用相似三角形的性质与判定分类讨论求解即可．【详解】解：如图1所示，过点G作NH∥AD分别交BA，CD延长线于H，N，过点F作FM∥BC，交AB于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAD=∠HAD=∠ADC=∠AND=90°，∴∠H=∠N=∠AMF=90°，∴四边形HADH是矩形，，即，∴HN=AD，由旋转的性质可知∠GEF=90°，∴∠HEG+∠NEF=90°，又∵MEF+∠MFE=90°，∴∠HEG=∠MFE，∴△HEG∽△MFE，∴，∴，，∵MF∥BC，∴△AMF∽△ABC，∴，，∴，∴，∴，即点G到CD的距离为；如图2所示，过点G作NH∥AD分别交直线BA，直线CD于H，N，过点F作FM∥BC，交AB于M，同理可求出，，同理可证△AMF∽△ABC，∴，，∴，∴，∴，即点G到CD的距离为；综上所述，点G到CD的距离为或．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，三角函数，点到直线的距离，旋转的性质，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造相似三角形求解．5、##0.5【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【详解】解：=.故答案为．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．三、解答题1、（1）；（2）直线EN与⊙O相切，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）结合题意，根据圆和勾股定理的性质，计算得圆的半径，从而得，；根据抛物线轴对称的性质，得经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为：；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）根据抛物线的性质，计算得；根据勾股定理的性质，得，；根据圆的性质，得；根据勾股定理的逆定理，通过，推导得，结合圆的切线的定义，即可得到答案；（3）结合（2）的结论，根据特殊角度三角函数的性质，得，分当点P纵坐标大于0和小于0两种情况，根据圆周角、圆心角的性质，推导得；根据含角直角三角形和勾股定理的性质，计算得点坐标，再通过待定系数法求解一次函数解析式，即可得到答案．【详解】（1）∵⊙O过点M∴∵⊙O交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），∴∴，∴经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为：∵⊙O交OM的反向延长线于点N∴设经过A、N、B三点的抛物线为：∴经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为：∴∴∴∴∴经过A、N、B三点的抛物线为：；（2）经过A、N、B三点的抛物线为：，且对称轴为：∴当时，抛物线取最小值，即∴，∵∴∵∴∴∴直线EN与⊙O相切；（3）∵∴∴如图，当点P纵坐标大于0时，直线交⊙O于点Q，连接，过点Q作，交OB于点K∴∴∵，，∴∴∴∴设直线DP的解析式为：∴∴∴；如图，当点P纵坐标小于0时，直线交⊙O于点Q，连接，过点Q作，交OB于点K∴∵，，∴∴∴∴设直线DP的解析式为：∴∴∴；∴直线DP的解析式为：或．【点睛】本题考查了圆、二次函数、一次函数、勾股定理、直角三角形、轴对称、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、圆周角、圆心角、二次函数图像、勾股定理及其逆定理、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解．2、（1）连接杆的长度为；（2）．【解析】【分析】（1）过点D作DM⊥AB交AB与点M，在Rt△BDM中，通过解直角三角形可求出DM、BM的长度，在Rt△DEM中，利用勾股定理可求出DE的长；（2）在Rt△DBE中，利用勾股定理可求出BE的长度，结合（1）中BE的长度即可求出点E滑动的距离．【详解】解（1）在图1中，过点D作DM⊥AB交AB与点M，在Rt△BDM中，DM=BD•sin45°=，BM=BD•cos45°=，在Rt△DEM中，∠DME=90°，DM=4，EM=BE-BM=8，∴DE=∴连接杆DE的长度为；（2）在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BD=，DE=，∴BE=∴在此过程中点E滑动的距离为cm．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形以及灵活使用勾股定理是解决问题的关键．3、（1）：y=x2-x-2；（2）a=或；（3）在直线BD上不存在点E，使∠AEC=45°．理由见解析【解析】【分析】（1）令y=0可得A和B两点的坐标，把点B的坐标代入直线y=-x+b中可得b的值，根据点D的横坐标为-5，可得点D的坐标，将点D的坐标代入抛物线的解析式中可得答案；（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如图1和图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）根据OA=OC=2，∠AOC=90°画圆O，半径为2，可知若优弧上存在一点E与A，C构建的∠AEC=45°，再证明BD与⊙O相离，圆外角小于圆上角，可得结论．【详解】解：（1）抛物线y=a（x+2）（x-4），令y=0，解得x=-2或x=4，∴A（-2，0），B（4，0），把B（4，0）代入直线y=−x+b中，b=3，∴直线的解析式为y=-x+3，当x=-5时，y=-×（-5）+3=，∴D（-5，），∵点D（-5，）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，∴a（-5+2）（-5-4）=，∴a=，∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x-4）=x2-x-2；（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=-8a，∴C（0，-8a），OC=8a．∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角．∴若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．过点P作PN⊥x轴于点N，①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如图1所示，设P（x，y），则ON=x，PN=y，tan∠BAC=tan∠PAB，∴，即：，∴y=4ax+8a，∴P（x，4ax+8a），代入抛物线解析式y=a（x+2）（x-4），得a（x+2）（x-4）=4ax+8a，整理得：x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2（与点A重合，舍去），∴P（8，40a），∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：a=；②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如图2所示，与①同理，可求得：y=2ax+4a，∴P（x，2ax+4a），代入抛物线解析式y=a（x+2）（x-4），得a（x+2）（x-4）=2ax+4a，整理得：x2-4x-12=0，解得：x=6或x=-2（与点A重合，舍去），∴P（6，16a），∵△ABC∽△PAB，∴，即，解得：a=；综上所述，a=或；（3）在（1）的条件下，二次函数的解析式为：y=x2-x-2；当x=0时，y=-2，∴C（0，-2），∴OA=OC=2，如图3，以O为圆心2为半径画圆，在上取一点E1，过点O作OF⊥BD于F，∵∠AOC=90°，∴∠AE1C=45°，在直线y=-x+3中，OM=3，OB=4，∴BM=5，∴S△OBM=×3×4=×5OF，∴OF=＞2，∴直线BD与⊙O相离，∴∠AEC＜45°，∴在直线BD上不存在点E，使∠AEC=45°．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，解