强化训练人教版8年级数学上册《全等三角形》综合练习试题（含详细解析）

人教版8年级数学上册《全等三角形》综合练习考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在中，是边上的高，平分，交于点，若，，则的面积等于（）A．36 B．48 C．60 D．722、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（

）A． B．C． D．3、如图所示，是的边上的中线，cm，cm，则边的长度可能是（

）A．3cm B．5cm C．14cm D．13cm4、如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP5、如图：，，则此题可利用下列哪种方法来判定（

）A．ASA B．AAS C．HL D．缺少条件，不可判定6、如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．70°7、下列说法正确的是（

）A．两个长方形是全等图形 B．形状相同的两个三角形全等C．两个全等图形面积一定相等 D．所有的等边三角形都是全等三角形8、如图，△ABC与△DEF是全等三角形，则图中的相等线段有（

）A．1 B．2 C．3 D．49、如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（

）A．1 B．2C．3 D．410、如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.5第Ⅱ卷（非选择题70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝_____．2、已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为__________．3、如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DF，AB＝DF，若△ABC≌△DFE，则需添加的条件是________．（填一个即可）4、如图，在和中，，，直线交于点M，连接．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是___________（填序号）．5、如图，中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为________．6、如图，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______(填写答案序号)．7、如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝______°．8、如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5，BC=1，则AF=______．9、如图，在四边形中，，，，的延长线与、相邻的两个角的平分线交于点E，若，则的度数为___________．10、如图，在和中，，，，，以点为顶点作，两边分别交，于点，，连接，则的周长为______．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、在中，，直线经过点C，且于D，于E，（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，显然有：（不必证明）；（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．2、在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．（1）如图1，当时，则_______°；（2）当时，①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．3、已知:如图，，，．求证:．4、如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．5、如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．(1)求证：；(2)若，，求的度数．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】作交于点，然后根据角平分线的性质，可以得到，再根据三角形的面积公式，即可求得的面积．【详解】解：作交于点，∵是边上的高，∴，∵平分，∴∵，，∴．故选：B．【考点】本题考查了三角形的面积和角平分线性质．理解和掌握角的平分线的性质定理是解题的关键．2、C【解析】【分析】根据三角形全等的判定方法求解即可．【详解】解：A、∵，，，∴，选项不符合题意；B、∵，，，∴，选项不符合题意；C、∵由，，，∴无法判定，选项符合题意；D、∵，，，∴，选项不符合题意．故选：C．【考点】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．3、B【解析】【分析】延长AD至M使DM=AD，连接CM，根据SAS得出，得出AB=CM=4cm，再根据三角形的三边关系得出AC的范围，从而得出结论．【详解】解：延长AD至M使DM=AD，连接CM，∵是的边上的中线，∴BD=CD，∵∠ADB=∠CDM,∴，∴MC=AB=5cm，AD=DM=4cm，∴AM=8cm在中，即：3＜AC＜13，故选：B【考点】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出AC长度的取值范围是解题的关键．4、D【解析】【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误．【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，在△CQB与△CPA中，，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故C正确，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故B正确，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故D错误；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正确．故选：D．【考点】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量．5、C【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理直接求解．【详解】解：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴（HL），故选C．【考点】本题考查了全等三角形的判定定理，牢记全等三角形的判定定理是解题的关键．6、B【解析】【分析】由BD、CE是高，可得∠BDC=∠CEB=90°，可求∠BCD＝70°，可证Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），得出∠BCD＝∠CBE＝70°即可．【详解】解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，∴∠BDC=∠CEB=90°，∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），∴∠BCD＝∠CBE＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．【考点】本题考查三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式，掌握三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式是解题关键．7、C【解析】【分析】性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答．【详解】A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；C、两个全等图形面积一定相等，故正确；D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；故选：C．【考点】此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．8、D【解析】【分析】全等三角形的对应边相等，据此可得出AB=DE，AC=DF，BC=EF；再根据BC-EC=EF-EC，可得出一组线段相等，据此找出组数，问题可解.【详解】∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，∴BC-EC=EF-EC，即BE=CF.故共有四组相等线段.故选D.【考点】本题主要考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等.9、C【解析】【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．【详解】如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝×OD×8＝12OD=3故选：C【考点】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．10、C【解析】【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．【详解】解：过作的平行线交于，，是等边三角形，，，是等边三角形，，∵CQ＝PA，∴在中和中，，≌，，于，是等边三角形，，，，，，故选：C．【考点】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．二、填空题1、2【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，即可利用ASA证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出BC＝EF＝6，即可根据线段的和差得解．【详解】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴BC＝EF，∵BF＝10，BC＝6，∴EF＝6，CF＝BF﹣BC＝4，∴EC＝EF﹣CF＝2，故答案为：2．【考点】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ABC≌△DEF是解题的关键．2、或【解析】【分析】以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在内交于点P，则OP为的平分线，以OP为边作，则为作或的角平分线，即可求解．【详解】解：以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在内交于点P，得到OP为的平分线，再以OP为边作，则为作或的角平分线，所以或．故答案为：或．【考点】本题考查的是复杂作图，主要要理解作图是在作角的平分线，同时要考虑以OP为边作的两种情况，避免遗漏．3、∠A＝∠D或∠ACB＝∠DEF或AC∥DE或BC＝FE或BE＝FC【解析】【分析】先根据已知条件推得∠B＝∠F，加上AB＝DF，要证△ABC≌△DFE，只需要根据全等三角形的判定方法添加适当的角和边即可．【详解】解：∵AB∥DF，∴，添加∠A＝∠D，在和中，∴；添加∠ACB＝∠DEF，在和中，∴；添加AC∥DE，∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠DEF，在和中，∴；添加BC＝FE，在和中，∴；添加BE＝FC，∵BE＝FC，∴，∴，在和中，∴，综上可得，添加∠A＝∠D或∠ACB＝∠DEF或AC∥DE或BC＝FE或BE＝FC都可得到△ABC≌△DFE．故答案为：∠A＝∠D或∠ACB＝∠DEF或AC∥DE或BC＝FE或BE＝FC【考点】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4、①②③【解析】【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OAC=∠OBD，AC=BD，①②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=α，可得③正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，利用全等三角形的对应高相等得出OG=OH，由角平分线的判定方法得∠AMO=∠DMO，假设OM平分∠BOC，则可求出∠AOM=∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA＜OC，故④错误；即可得出结论．【详解】解：∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC=∠OBD，AC=BD，故①②正确；由三角形的内角和定理得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，∵∠OAC=∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=α，，故③正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，△AOC≌△BOD，∴结合全等三角形的对应高可得：OG=OH，∴MO平分∠AMD，∴∠AMO=∠DMO，假设OM平分∠BOC，则∠BOM=∠COM，∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB+∠BOM=∠COD+∠COM，即∠AOM=∠DOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴OA=OD，∵OC=OD，∴OA=OC，而OA＜OC，故④错误；正确的个数有3个；故答案为：①②③．【考点】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键．5、【解析】【分析】本题先通过三角形内角和求解∠BAC与∠BCA的和，继而利用邻补角以及角分线定义求解∠EAC与∠ECA的和，最后利用三角形内角和求解此题．【详解】∵，∴，又∵，，∴．∵三角形的外角和的平分线交于点E，∴，，∴，即．故填：．【考点】本题考查三角形内角和公式以及角分线和邻补角的定义，难度较低，按照对应考点定义求解即可．6、①③④【解析】【分析】利用AAS可证明△ABE≌△ACF，可得AC=AB，∠BAE=∠CAF，利用角的和差关系可得∠EAM=∠FAN，可得③正确，利用ASA可证明△AEM≌△AFN，可得EM=FN，AM=AN，可得①③正确；根据线段的和差关系可得CM=BN，利用AAS可证明△CDM≌△BDN，可得CD=DB，可得②错误；利用ASA可证明△ACN≌△ABM，可得④正确；综上即可得答案．【详解】在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF，∴AB=AC，∠BAE=∠CAF，∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，即∠FAN=∠EAM，故③正确，在△AEM和△AFN中，，∴△AEM≌△AFN，∴EM=FN，AM=AN，故①正确，∴AC-AM=AB-AN，即CM=BN，在△CDM和△BDN中，，∴CD=DB，故②错误，在△CAN和△ABM中，，∴△ACN≌△ABM，故④正确，综上所述：正确的结论有①③④，故答案为：①③④【考点】本题考查全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：SSA、AAA不能判定三角形确定，当利用SAS证明时，角必须是两边的夹角；熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．7、30【解析】【分析】本题实际上是全等三角形的性质以及根据三角形内角和等于180°来求角的度数．【详解】∵△ABC≌△A1B1C1，∴∠C1=∠C，又∵∠C=180°-∠A-∠B=180°-110°-40°=30°，∴∠C1=∠C=30°．故答案为30．【考点】本题考查了全等三角形的性质；解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．8、6【解析】【分析】由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等则重合的性质求解即可．【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，所以AF=4AD+4BC=4×0.5+4×1=6．故答案为：6．【考点】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找准相互重合的对应边．9、【解析】【分析】先证明Rt△CDA≌Rt△CBA得到，再由角平分线的定义求出∠EDC=45°，最后根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵，，∴∠CDA=∠CBA=90°，在Rt△CDA和Rt△CBA中，，∴Rt△CDA≌Rt△CBA（HL），∴，∵DE平分与∠ADC相邻的角，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，∴∠CED=180°-∠DAE-∠ADC-∠EDC=15°，故答案为：15°．【考点】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．10、4【解析】【分析】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．【详解】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠DBC=∠DCB=20°，∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，同理可得∠NCD=90°，∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，在△BDM和△CDE中，，∴△BDM≌△CDE（SAS），∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，∴∠MDE=∠BDC=140°，∵∠MDN=70°，∴∠EDN=70°=∠MDN，在△MDN和△EDN中，，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=EN=CN+CE，∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；故答案为：4．【考点】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；构造辅助线证明三角形全等是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD【解析】【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE=BE-AD．【详解】解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD+CE=AD+BE；（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，而AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CE-CD=AD-BE；（3）如图3，∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD-CE=BE-AD；DE、AD、BE之间的关系为DE=BE-AD．【考点】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．2、（1）80；（2）是等边三角形；（3）．【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可知，再结合等腰三角形性质可得，，利用平角定义和四边形内角和定理可得，由此求解即可；（2）根据（1）的结论求出即可证明是等边三角形；（3）根据利用对称和三角形两边之差小于第三边，找到当的值最大时的P点位置，再证明对称点与AD两点构成三角形为等边三角形，利用旋转全等模型即可证明，从而可知，