2025-2026学年度人教版9年级数学上册《一元二次方程》单元测评试题（解析卷）

人教版9年级数学上册《一元二次方程》单元测评考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知关于x的方程有一个根为1，则方程的另一个根为（

）A．-1 B．1 C．2 D．-22、x=是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=03、一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（

）A．且 B． C．且 D．或4、将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（

）A．，21 B．，11 C．4，21 D．，695、一元二次方程，配方后可形为（

）A． B．C． D．6、某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%7、某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．78、已知x1，x2是一元二次方程2x2－3x＝5的两个实数根，下列结论错误的是（）A．2－3x1＝5 B．（x1－x2）（2x1＋2x2－3）＝0C．x1＋x2＝ D．x1x2＝9、定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（

）A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根10、若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是_____．2、已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．3、在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程________．4、若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值为_____．5、对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．6、关于x的方程有两个实数根．且．则_______．7、《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少?如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程___________．8、如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______．9、已知，且．则的值是_________．10、如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为_______.三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值.2、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若方程的两根都为整数，求正整数的值．3、一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？4、已知关于x的一元二次方程．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值．5、用指定的方法解下列方程：（1）；（直接开平方法）（2）；（配方法）（3）；（公式法）（4）．（因式分解法）-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据根与系数的关系列出关于另一根t的方程，解方程即可．【详解】解：设关于x的方程的另一个根为x＝t，∴1＋t＝3，解得，t＝2故选：C．【考点】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．2、D【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式进行求解.【详解】一元二次方程的求根公式是，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D.所以答案选D.【考点】本题的解题关键是掌握一元二次方程求根公式.3、A【解析】【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和△≥0列不等式即可．【详解】解：由一元二次方程有实数根，可列不等式组为：，解得，且，故选：A．【考点】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式列不等式，注意：一元二次方程二次项系数不为0．4、A【解析】【分析】根据配方法步骤解题即可．【详解】解：移项得，配方得，即，∴a=-4，b=21．故选：A【考点】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．5、A【解析】【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可【详解】解：x2-8x=2，x2-8x+16=18，（x-4）2=18．故选：A．【考点】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．6、C【解析】【详解】分析：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．详解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．故选C．点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7、C【解析】【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【详解】设共有x个班级参赛，根据题意得：=15，解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛，故选：C．【考点】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据等量关系准确的列出方程．8、D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可．【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2-3x=5的两个实数根，∴，故A正确，不符合题意；这里a=2，b=-3，c=-5，∴，，∵，∴，∴，故B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意．故选：D．【考点】本题考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握根与系数的关系，，是解题的关键．9、B【解析】【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.【详解】解：根据新运算法则可得：，则即为，整理得：，则，可得：，；，方程有两个不相等的实数根；故答案选：B.【考点】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.10、C【解析】【分析】根据一元二次方程的概念可直接得出答案．【详解】∵关于的方程是一元二次方程，∴，故选：C．【考点】本题主要考查一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．二、填空题1、（2，5）．【解析】【详解】试题分析：由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，∴顶点坐标为：（2，5）．故答案为（2，5）．考点：二次函数的性质．2、20【解析】【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．【详解】解：，则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为，故菱形的周长为5×4=20，故答案为20【考点】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．3、x2﹣6x+6＝0【解析】【分析】根据根与系数的关系分别求出b和c即可．【详解】解：根据题意得2×3＝c，1+5＝﹣b，解得b＝﹣6，c＝6，所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．故答案为：x2﹣6x+6＝0．【考点】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．4、﹣1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；根据方程的解的定义得到m2-1=0，由此可以求得m的值．【详解】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m=±1，而m﹣1≠0，所以m＝﹣1．故答案为﹣1．【考点】本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．5、或2【解析】【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．【详解】解：根据新定义内容可得：，整理可得，解得，，故答案为：或2．【考点】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．6、3【解析】【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．【详解】解：由题意得：，，，化成整式方程为，解得或，经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，故答案为：3．【考点】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．7、或【解析】【分析】设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺，依题意得：即或．故答案为：或．【考点】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8、【解析】【分析】如图（见解析），设，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出的值，再根据建立等式，然后根据建立等式求出a的值，最后代入求解即可．【详解】如图，由题意得：，，，是直角三角形，且均为正数则大正方形的面积为小正方形的面积为设则又，即解得或（不符题意，舍去）将代入得：两边同除以得：令则解得或（不符题意，舍去）即的值为故答案为：．【考点】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出的值是解题关键．9、4或-1【解析】【分析】将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】将两边同除以得：令则因式分解得：解得或即的值是4或故答案为：4或．【考点】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．10、（12-x）（8-x）=77【解析】【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．【详解】道路的宽为x米．依题意得：(12-x)(8-x)=77，故答案为(12-x)(8-x)=77.【考点】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．三、解答题1、（1）.（2）.【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，结合|x1-x2|=4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【考点】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1-x2|=4，找出关于m的一元一次方程．2、（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接运用一元二次方程根的判别式列不等式解答即可；（2）先运用求根公式求解，然后根据根为整数以及二次根式有意义的条件列式解答即可．【详解】解：（1）∵关于的方程有两个实数根，∴，解得，；（2）由题意得，，∵为整数，且为正整数，∴或，又∵∴．【考点】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、运用公式法解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．3、（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【解析】【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商