2025年中考数学总复习《锐角三角函数》考试彩蛋押题（基础题）附答案详解

中考数学总复习《锐角三角函数》考试彩蛋押题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，D是AC的中点，则tan∠DBC的值是（）

A． B． C． D．2、计算的值等于（）A． B．1 C．3 D．3、如图，E是正方形ABCD边AB的中点，连接CE，过点B作BH⊥CE于F，交AC于G，交AD于H，下列说法：①；

②点F是GB的中点；③；④S△AHG=S△ABC．其中正确的结论的序号是（）A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④4、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，则下列选项中不能表示tanA的是（）A． B． C． D．5、在科学小实验中，一个边长为30cm正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示．初始状态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P重合，点P的高度PF＝40cm，离斜坡底端的水平距离EF＝80cm．正方形下滑后，点B的对应点与初始状态的顶点A的高度相同，则正方形下滑的距离（即的长度）是（）cm

A．40 B．60 C．30 D．40第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝，则sin∠DEB的值为___．2、如图，在正方形中，对角线，相交于点O，点E在边上，且，连接交于点G，过点D作，连接并延长，交于点P，过点O作分别交、于点N、H，交的延长线于点Q，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________（填入正确的序号）．3、如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE＝α，cosα＝，AB＝4，AD长为_____．4、如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论：①∠AGD＝110.5；②2tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BF＝OF；⑥S△OGF＝1，则正方形ABCD的面积是12＋8，其中正确的是_____．（只填写序号）5、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是_______．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A、点B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求⊙O的半径．2、（1）计算：tan45°+3tan30°•cos60°．（2）解方程：（x﹣2）（x﹣5）＝﹣2．3、（1）计算：．（2）如图，在菱形ABCD中，于点E，，，求菱形的边长．4、先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝2tan60°．5、图1、图2分别是某型号拉杆箱的实物图与示意图，小张获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．（1）求AC的长度：（2）直接写出拉杆端点A到水平滑杆ED所在直线的距离cm．6、计算：-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据正切的定义以及，设，则，结合题意求得,进而即可求得．【详解】解：在ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，设，则，D是AC的中点，．故选D【点睛】本题考查了正切的定义，特殊角的三角函数值，掌握正切的定义是解题的关键．2、C【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】解：．故选C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．3、D【分析】①先证明△ABH≌△BCE，得AH=BE，则，即，再根据平行线分线段成比例定理得：即可判断；②设BF=x，CF=2x，则BC=x，计算FG=即可判断；③根据等腰直角三角形得：AC=AB，根据①中得：即可判断；④根据，可得同高三角形面积的比，然后判断即可．【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠HAB=∠ABC=90°，∵CE⊥BH，∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°，∴∠BCF=∠ABH，∴△ABH≌△BCE，∴AH=BE，∵E是正方形ABCD边AB的中点，∴BE=AB，∴，即∵AH//BC，∴∴，故①正确；②设BF=x，CF=2x，则BC=x，∴AH=x∴∴，故②不正确；③∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AC=AB，∵∴∴，故③正确；④∵∴∴∴，故④正确．故选D．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．4、D【分析】根据题意可推出△ABC、△ADB、△BDC均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tanA即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的高，∴△ABC、△ADB、△BDC均为直角三角形，又∵∠A+∠C=90°，∠C+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，在Rt△ABC中，tanA=，故A选项不符合题意；在Rt△ABD中，tanA=，故B选项不符合题意；在Rt△BDC中，tanA=tan∠DBC=，故D选项不符合题意；选项D表示的是sinC，故D选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．5、B【分析】根据题意可得：A与高度相同，连接，可得，利用平行线的性质可得：，根据正切函数的性质计算即可得．【详解】解：根据题意可得：A与高度相同，如图所示，连接，

∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查平行线的性质及锐角三角函数解三角形，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键．二、填空题1、【解析】【分析】由题意可得，∠DEB=∠EBC，求得CE、的边即可求解．【详解】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴，∠DEC=90°∴∠DEB=∠EBC，DEBC又∵D是斜边AB的中点，∴AB=2AD，∴DEBC=AD在Rt△CDE中，CD=13，DE=2，∴CE=在中，BE=BC∴sin∠DEB=故答案为：．【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，涉及了平行线分线段成比例的性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解．2、①②④【解析】【分析】①由“ASA”可证△ANO≌△DFO，可得ON=OF，由等腰三角形的性质可求∠AFO=45°；④由外角的性质可求∠NAO=∠AQO．②由“AAS”可证△OKG≌△DFG，可得GO=DG；③通过证明△AHN∽△OHA，可得，进而可得结论DP2=NH•OH．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AO=DO=CO=BO，AC⊥BD，∵∠AOD=∠NOF=90°，∴∠AON=∠DOF，∵∠OAD+∠ADO=90°=∠OAF+∠DAF+∠ADO，∵DF⊥AE，∴∠DAF+∠ADF=90°=∠DAF+∠ADO+∠ODF，∴∠OAF=∠ODF，∴△ANO≌△DFO（ASA），∴ON=OF，∴∠AFO=45°，故①正确；如图，过点O作OK⊥AE于K，∵CE=2DE，∴AD=3DE，∴tan∠DAE=DEAD∴AF=3DF，∵△ANO≌△DFO，∴AN=DF，∴NF=2DF，∵ON=OF，∠NOF=90°，∴OK=KN=KF=FN，∴DF=OK，又∵∠OGK=∠DGF，∠OKG=∠DFG=90°，∴△OKG≌△DFG（AAS），∴GO=DG，故④正确；∵∠DAO=∠ODC=45°，OA=OD，∠AOH=∠DOP，∴△AOH≌ODOP（ASA），∴AH=DP，∠ANH=∠FNO=45°=∠HAO，∠AHN=∠AHO，∴△AHN∽△OHA，∴AHHO∴AH2=HO•HN，∴DP2=NH•OH，故②正确；∵∠NAO+∠AON=∠ANQ=45°，∠AQO+∠AON=∠BAO=45°，∴∠NAO=∠AQO，即∠Q=∠OAG故③错误．综上，正确的是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题是四边形综合题，查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．3、【解析】【分析】将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中，得到∠ADE=∠DCE=α，求出AC的值，再由勾股定理计算即可．【详解】∵∠ADC=∠AED=90°，∠DAE+∠ADE=∠ADE+∠CDE=90°∴∠DAE=∠CDE又∵∠DCE+∠CDE=90°∴∠ADE=∠DCE=α∴cosα＝=又∵矩形ABCD中AB=CD=4∴AC=在中满足勾股定理有故答案为：．【点睛】本题考查了已知余弦长求边长，将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键．4、④⑤⑥【解析】【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数，从而求得∠AGD；②利用∠GAD与∠ADG度数求得∠AED度数可得；③证△AEG≌△FEG得AG＝FG，由FG＞OG即可得；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△AEG是等腰三角形，由AE＝FE、AG＝FG即可得证；⑤设OF＝a，先求得∠EFG＝45°，从而知BF＝EF＝GF＝OF；⑥由S△OGF＝1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD＝∠ADO＝45°，由折叠的性质可得：∠ADG＝∠ADO＝22.5°，∴∠AGD＝180°﹣∠GAD﹣∠ADG＝112.5°，故①错误．∵∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠ADE＝67.5°，∴tan∠AED≠1，则2tan∠AED≠2，故②错误；由折叠的性质可得：AE＝EF，∠EFD＝∠EAD＝90°，在△AEG和△FEG中，∵，∴△AEG≌△FEG（SAS），∴AG＝FG，在Rt△GOF中，∵AG＝FG＞GO，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误；∵∠AGE＝∠GAD＋∠ADG＝67.5°＝∠AED，∴AE＝AG，又∵AE＝FE、AG＝FG，∴AE＝EF＝GF＝AG，∴四边形AEFG是菱形，故④正确；设OF＝a，∵四边形AEFG是菱形，且∠AED＝67.5°，∴∠FEG＝∠FGE＝67.5°，∴∠EFG＝45°，又∵∠EFO＝90°，∴∠GFO＝45°，∴GF＝EF＝a，∵∠EFO＝90°，∠EBF＝45°，∴BF＝EF＝GF＝a，即BF＝OF，故⑤正确；∵S△OGF＝1，∴OG2＝1，即a2＝1，则a2＝2，∵BF＝EF＝a，且∠BFE＝90°，∴BE＝2a，又∵AE＝EF＝a，∴AB＝AE＋BE＝2a＋a＝（2＋）a，则正方形ABCD的面积是（2＋）2a2＝（6＋4）×2＝12＋8，故⑥正确；故答案为：④⑤⑥．【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．5、##【解析】【分析】根据题意过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB，BC的长，利用面积法可求出CE的长，再利用正弦的定义即可求出∠ABC的正弦值．【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，如图所示．，∵AC•BD=AB•CE，即×2×3=×3•CE，∴CE=，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE，BC的长度是解题的关键．三、解答题1、（1）见详解；（2）4．【解析】【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=60°，求得∠BAC=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO=∠OAB=30°，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD=2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∵BE=AB，∴∠E=∠BAE，∵∠ABC=∠E+∠BAE=60°，∴∠E=∠BAE=30°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠OBC=30°+60°=90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH=BC=2，∴OA==4，⊙O的半径为4．【点睛】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2、（1）0；（2）【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，再进行化简求值即可（2）先化简为一般式，再根据因式分解法解一元二次方程即可【详解】解：（1）原式==1−（2）xx−3【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，因式分解法解一元二次方程，牢记特殊角的三角函数和掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．3、（1）1；（2）13【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值的含义即可完成；（2）根据菱形的性质可得AB=AD，再由已知条件设，，则由勾股定理可得AE，则由BE=8建立方程即可求得k，从而求得菱形的边长．【详解】解：（1）原式.（2）四边形ABCD是菱形，.，，设，，则，，，∴，即菱形的边长为13.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值，菱形的性质、三角函数及勾股定理，灵活运用这些知识是关键．4、，【解析】【分析】根据分式的运算法则化简，利用特殊角的三角函数值求出x代入即可求解．【详解】÷（1﹣）===∵x＝2tan60°=2×=6∴原式=．【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则及特殊角的三角函数值．5、（1）（40+40）cm；（2）（20）cm．【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥DE于点G，分别利用三角函数求出FG和DG，然后求出CD，进而求出CE，即可求出DE，最后根据AC＝2DE即可求