高中数学重点难点专项训练题

高中数学重点难点专项训练题数学，作为高中阶段的核心学科，其知识的系统性与逻辑性，以及对思维能力的高要求，常常让同学们感到挑战。而在数学学习中，对重点难点内容的突破，往往是提升整体成绩与数学素养的关键。专项训练，正是针对这些核心内容进行集中攻克的有效途径。它不仅能够帮助同学们深化对知识点的理解，更能锻炼解题技巧，培养数学思维。本文将围绕高中数学的几个重点难点模块，提供一些专项训练题的思路与示例，并附上简要的解题指导，希望能为同学们的数学学习助一臂之力。一、函数与导数：构建数学分析的基石函数是贯穿高中数学的主线，而导数则是研究函数性质、解决函数问题的锐利工具。此模块的难点在于函数概念的深度理解、函数性质的综合应用，以及导数在研究函数单调性、极值、最值等方面的灵活运用，同时还常常与不等式、方程等知识交汇命题。专项训练方向：1.函数的定义域、值域与解析式的求解，特别是复合函数与抽象函数。2.函数的单调性、奇偶性、周期性的判定与应用。3.利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能解决相关的含参问题。4.导数在实际生活中的优化问题模型。5.函数与导数的综合不等式证明或恒成立问题。典型题示例与解析思路：题目1：已知函数\(f(x)=x^3-3ax^2+3x+1\)在区间\((2,+\infty)\)上是增函数，求实数\(a\)的取值范围。思路分析：本题考查利用导数研究函数的单调性。函数在某区间上单调递增，则其导函数在该区间上非负。首先，对\(f(x)\)求导：\(f'(x)=3x^2-6ax+3\)。依题意，\(f'(x)\geq0\)在\((2,+\infty)\)上恒成立。即\(3x^2-6ax+3\geq0\)，化简得\(x^2-2ax+1\geq0\)在\((2,+\infty)\)上恒成立。接下来，分离参数\(a\)：\(2a\leqx+\frac{1}{x}\)在\((2,+\infty)\)上恒成立。设\(g(x)=x+\frac{1}{x}\)，则问题转化为求\(g(x)\)在\((2,+\infty)\)上的最小值（或下界），使得\(2a\leqg(x)_{\text{min}}\)。对\(g(x)\)求导：\(g'(x)=1-\frac{1}{x^2}\)，在\((2,+\infty)\)上，\(g'(x)>0\)，故\(g(x)\)在\((2,+\infty)\)上单调递增。因此，\(g(x)>g(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)。所以\(2a\leq\frac{5}{2}\)，即\(a\leq\frac{5}{4}\)。（此处需注意，因为\(g(x)\)在\((2,+\infty)\)上无最小值，只有下确界\(\frac{5}{2}\)，故\(a\)可以取到\(\frac{5}{4}\)。）题目2：已知函数\(f(x)=\lnx+ax^2-(2a+1)x\)，其中\(a\)为常数。讨论函数\(f(x)\)的单调性。思路分析：本题考查含参数函数的单调性讨论，这是导数应用中的一个重点和难点。首先，确定函数定义域：\(x>0\)。求导：\(f'(x)=\frac{1}{x}+2ax-(2a+1)=\frac{2ax^2-(2a+1)x+1}{x}=\frac{(2ax-1)(x-1)}{x}\)。接下来，关键在于分析导函数分子的零点，即方程\((2ax-1)(x-1)=0\)的根，以及这些根在定义域\((0,+\infty)\)内的分布情况，并结合\(a\)的取值进行分类讨论。需要考虑的情况包括：\(a=0\)，\(a>0\)（此时需比较\(\frac{1}{2a}\)与\(1\)的大小），\(a<0\)（此时\(\frac{1}{2a}<0\)，不在定义域内）。针对每种情况，确定导函数的正负区间，从而得到原函数的单调区间。二、立体几何：培养空间想象与逻辑推理能力立体几何是高中数学中培养空间想象能力和逻辑推理能力的重要载体。其难点主要体现在空间几何体的结构特征的理解、空间点线面位置关系的判定与证明，以及空间角与距离的计算。专项训练方向：1.空间几何体的三视图与直观图的相互转化，以及表面积与体积的计算。2.空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定定理与性质定理的应用。3.利用空间向量法或传统几何法求解空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）与距离（点到平面的距离等）。4.折叠问题、存在性问题等综合性较强的立体几何题。典型题示例与解析思路：题目3：如图，在棱长为\(a\)的正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)为棱\(DD_1\)的中点。(1)求证：平面\(AEC\perp\)平面\(BDD_1B_1\)；(2)求直线\(BE\)与平面\(AEC\)所成角的正弦值。思路分析：(1)证明面面垂直，通常可转化为证明线面垂直，即证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面。在正方体中，易知\(AC\perpBD\)，\(AC\perpDD_1\)（因为\(DD_1\perp\)底面\(ABCD\)）。而\(BD\)与\(DD_1\)交于点\(D\)，且都在平面\(BDD_1B_1\)内，故\(AC\perp\)平面\(BDD_1B_1\)。又因为\(AC\subset\)平面\(AEC\)，所以平面\(AEC\perp\)平面\(BDD_1B_1\)。(2)求线面角，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解，思路相对固定。以\(D\)为坐标原点，分别以\(DA,DC,DD_1\)所在直线为\(x,y,z\)轴建立空间直角坐标系。写出各点坐标：\(A(a,0,0),C(0,a,0),E(0,0,\frac{a}{2}),B(a,a,0)\)。求出平面\(AEC\)的法向量\(\mathbf{n}\)。向量\(\overrightarrow{AE}=(-a,0,\frac{a}{2})\)，\(\overrightarrow{AC}=(-a,a,0)\)。设\(\mathbf{n}=(x,y,z)\)，由\(\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{AE}=0\)和\(\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)可解得法向量。再求出向量\(\overrightarrow{BE}=(-a,-a,\frac{a}{2})\)。设直线\(BE\)与平面\(AEC\)所成角为\(\theta\)，则\(\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{BE},\mathbf{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot\mathbf{n}|}{|\overrightarrow{BE}|\cdot|\mathbf{n}|}\)。代入坐标计算即可。三、解析几何：运用代数方法研究几何问题解析几何的核心思想是用代数方法研究几何问题，其特点是运算量大，综合性强。重点难点包括圆锥曲线的定义与性质、直线与圆锥曲线的位置关系，以及定点、定值、最值等探究性问题。专项训练方向：1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质（焦点、离心率、渐近线等）。2.能熟练求解直线与圆锥曲线相交、相切、相离等位置关系问题，特别是与弦长、中点弦相关的问题。3.运用韦达定理、设而不求等技巧解决解析几何中的综合问题。4.探究性问题的求解策略，如定点、定值的证明，最值的探求。典型题示例与解析思路：题目4：已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，且过点\((1,\frac{\sqrt{2}}{2})\)。(1)求椭圆\(C\)的标准方程；(2)过椭圆\(C\)的右焦点\(F\)作直线\(l\)交椭圆于\(A,B\)两点，问：在\(x\)轴上是否存在定点\(M\)，使得\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}\)为定值？若存在，求出点\(M\)的坐标和定值；若不存在，请说明理由。思路分析：(1)求椭圆标准方程，通常利用已知条件建立关于\(a,b,c\)的方程组。由离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，得\(c=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)。又\(a^2=b^2+c^2\)，故\(a^2=b^2+\frac{1}{2}a^2\)，即\(a^2=2b^2\)。椭圆过点\((1,\frac{\sqrt{2}}{2})\)，代入方程得\(\frac{1}{a^2}+\frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{b^2}=1\)，即\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2b^2}=1\)。联立解得\(a^2=2\)，\(b^2=1\)。所以椭圆\(C\)的标准方程为\(\frac{x^2}{2}+y^2=1\)。(2)这是一个典型的定点定值探究问题。首先，求出右焦点\(F\)的坐标。由\(a^2=2\)，\(c=\frac{\sqrt{2}}{2}a=1\)，故\(F(1,0)\)。设直线\(l\)的方程。当直线\(l\)斜率存在时，设其方程为\(y=k(x-1)\)，与椭圆方程联立，消去\(y\)得到关于\(x\)的一元二次方程。设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，利用韦达定理求出\(x_1+x_2\)和\(x_1x_2\)。设\(M(t,0)\)为\(x\)轴上的定点，则\(\overrightarrow{MA}=(x_1-t,y_1)\)，\(\overrightarrow{MB}=(x_2-t,y_2)\)。计算\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(x_1-t)(x_2-t)+y_1y_2\)。将\(y_1=k(x_1-1)\)，\(y_2=k(x_2-1)\)代入，化简表达式，使其成为关于\(k\)的多项式。要使其为定值，则含\(k\)的项的系数必须为零，从而求出\(t\)的值，并得到定值。同时，需要验证直线\(l\)斜率不存在的情况（即\(x=1\)），看此时\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}\)是否也等于该定值。若都满足，则存在定点\(M\)。四、专项训练的策略与建议1.明确目标，有的放矢：在进行专项训练前，首先要明确自己在哪个模块存在薄弱环节，是概念不清、方法不熟练还是综合应用能力不足。针对具体问题进行训练，才能事半功倍。2.精选题目，注重质量：题目不在多，而在精。选择那些能够体现核心概念、典型方法和思想的题目进行练习。历年高考真题和高质量的模拟题是不错的选择。3.独立思考，勤于动手：做题时务必独立思考，不要轻易翻看答案。即使遇到困难，也要尝试从不同角度去分析，实在无法解决再寻求帮助。解题过程要规范书写，培养良好的解题习惯。4.错题整理，反思总结：建立错题本，不仅要记录错误的题目和正确的解法，更要分析错误的原因：是计算